概率论第02讲

1、古典概型试验下古典概型试验下事件事件A A的概率的计算的概率的计算上一次课部分内容回顾上一次课部分内容回顾设 事 件设 事 件 A包含包含k个样个样本 点 ， 定本 点 ， 定义义 P(A) = k/n 样本空间样本空间S 只含只含有有限个元素有有限个元素 S =e=e1 1, , e, en n 试验中，每个基试验中，每个基本事件发生是等可能本事件发生是等可能的的. .排列组排列组合是计合是计算古典算古典概率的概率的重要工重要工具具 .在概率论发展早期，人们就已经注意到在概率论发展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个样本点的随机试只考虑那种仅有有限个样本点的随机试验是不够的，还必须考虑

2、试验结果是验是不够的，还必须考虑试验结果是无无穷多个的情形穷多个的情形，这中间最简单的一类是，这中间最简单的一类是试验结果是无穷多个，而又有某种试验结果是无穷多个，而又有某种“等等可能可能”的情形的情形.G. g.如如 二二. 几何概率几何概率1.1.定义定义 向任一可度量区域向任一可度量区域G G内投一点，如果内投一点，如果所投的点落在所投的点落在G G中任意可度量区域中任意可度量区域g g内内的可能性与的可能性与g g的度量成正比，而与的度量成正比，而与g g的的位置和形状无关，则称这个随机试验位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验。或简称为几何概为几何型随机试验。或简称为几何概

3、型。型。2、 概率计算概率计算 P(A)=A的度量的度量/S的度量的度量 4 4 频率与概率频率与概率1. 1. 事件的频率事件的频率 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的一个事件，的一个事件，把试验把试验E重复进行重复进行n次，这次，这n次试验中事件次试验中事件A发生的发生的次数次数 nA 称为事件的频数，比值称为事件的频数，比值 nA/n 称为在这称为在这n次试次试验中验中事件发生的频率事件发生的频率，记作，记作 fn(A)，即，即 fn(A) = nA /n直观想法是用直观想法是用频率频率来近似来近似事件事件 A 在一次在一次试验中发生的试验中发生的可能性的大小可能性的大

4、小，但是这种，但是这种近似是否可行呢？近似是否可行呢？掷一枚均匀硬币，记录前掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中频率次掷硬币试验中频率P*的波动情况。的波动情况。（横轴为对数尺度）（横轴为对数尺度） 2. 频率的稳定性频率的稳定性 长期实践表明长期实践表明，在重复试验中，事件，在重复试验中，事件A发生的发生的频率频率 fn(A)总在一个常数值附近摆动，而且，随总在一个常数值附近摆动，而且，随着重复试验次数着重复试验次数 n 的增加，频率的摆动幅度越的增加，频率的摆动幅度越来越小来越小. 观测到的大偏差越来越稀少观测到的大偏差越来越稀少 ，呈现出，呈现出一定的稳定性一定的稳定性.3概率的频

5、率定义概率的频率定义 在一组不变的条件下，重复作在一组不变的条件下，重复作 n 次试验，当试次试验，当试验次数验次数 n 很大时，事件很大时，事件A发生的频率发生的频率 fn(A) 稳定稳定地在某数值地在某数值 p 附近摆动。称数值附近摆动。称数值 p 为事件为事件 A 在在这一组不变的条件下发生的概率，记作这一组不变的条件下发生的概率，记作 fn (A)=p4频率定义概率的意义频率定义概率的意义（1）它提供了一种可广泛应用的，近似计算事）它提供了一种可广泛应用的，近似计算事件概率的方法。件概率的方法。（2）它提供了一种检验理论正确与否的准则。）它提供了一种检验理论正确与否的准则。5. 频率的

6、基本性质频率的基本性质 （1） 对任意事件对任意事件A，有，有 1)(0Af（2）1)(Sf0)(f（3）若）若A1，A2，An是互不相容的，则是互不相容的，则 )()(11nkknkkAfAf五、概率的公理化定义五、概率的公理化定义 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S， 为包含为包含S, ，以及，以及满足一定条件的满足一定条件的S的一些子集组成的集合，的一些子集组成的集合，P为定为定义在义在 上的一维实函数上的一维实函数 P : R1 A P(A) 该函数满足下面三条公理：该函数满足下面三条公理：公理公理1：对任一事件：对任一事件A，有，有P(A) 0；公理公理2：对必然事件：对必然事

7、件S，有，有P(S)=1；公理公理3：若事件：若事件A1,A2,Ak,互不相容，则有互不相容，则有 11)()(kkkkAPAP那么称那么称P(A)为事件为事件A的的概率概率, 称称(S , , P)为一为一概率空间概率空间 2概率的性质概率的性质0)(P (1)（2）有限可加性）有限可加性: 若若A1，A2，An互不相容，则互不相容，则nkknkkAPAP11)()()(1)(APAP(3) 若若A B, 则有则有 P(B A) = P(B) P(A) P(A) P(B) 特别地，对任何事件特别地，对任何事件A，都有，都有P(A) 1;ASBA 对事件对事件A，有，有)()()()(ABBP

8、APABBAPBAPBAB 又因又因再由性质再由性质 3便得便得 )(ABBASABAB)()()()(ABPBPAPBAP(4) 对任何两个事件对任何两个事件A, B，都有，都有 三个事件和的概率为三个事件和的概率为 =P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC) + P(ABC)(CBAP (5) 对任何对任何n个事件个事件A1，A2，An,都有都有 )() 1()() 1()()()(11111111212211nkknnkkkkkmknkkknkknkkAPAAAPAAPAPAPmm例例 3 3 (1) 若事件若事件A与与B互不相容互不相容, 求求 )(ABP（2）

9、若）若A B, 求求 )(ABP（3）若）若P(AB)=1/8, 求求 )(ABP设设P(A)=1/3, P(B)=1/2 提示提示:81)()3(),()()2( , 0)() 1 (),()()()(ABPAPABPABPABPBPABBPABP例例4 4 设元件盒中装有设元件盒中装有5050个电阻，个电阻，2020个电感，个电感，3030个电个电容，从盒中任取容，从盒中任取3030个元件，求所取元件中至少有一个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率个电阻同时至少有一个电感的概率. . )(1)(ABPABP)(1BAP )()()(1BAPBPAP所求概率为所求概率为P

10、(AB)解解: : 设设A=所取元件中至少有一电阻所取元件中至少有一电阻 B=所取元件中至少有一所取元件中至少有一电感电感 )()()(1)(BAPBPAPABP301001308030501例例 5.5. 甲、乙两人先后从甲、乙两人先后从5252张牌中各抽取张牌中各抽取1313张张, ,求甲或乙拿到求甲或乙拿到4 4张张A的概率的概率. . (1) (1) 甲抽后不放回，乙再抽甲抽后不放回，乙再抽; ; (2) (2) 甲抽后将牌放回，乙再抽甲抽后将牌放回，乙再抽. . (1)(1)A、B互不相容互不相容 =P(A)+P(B)解：设解：设A=甲拿到甲拿到4张张A， B=乙拿到乙拿到4张张A所

11、求为所求为计算计算P(A)和和P(B)时用古典概型时用古典概型1339135293513481352948CCCCCC 13529482CC )(BAP )(BAP (2) A、B相容相容 =P(A)+P(B) P(AB)解：设解：设A=甲拿到甲拿到4张张A， B=乙拿到乙拿到4张张A所求为所求为1352135294894813529482CCCCCC )(BAP )(BAP 在实际应用中，除了要研究事件在实际应用中，除了要研究事件A的概率的概率P(A)之外，有时还需要研究在之外，有时还需要研究在事件事件B已经发生已经发生的条件，的条件，事件事件A发生的概率发生的概率。我们称这种概率为。我们称

12、这种概率为事件事件B已发已发生的条件下事件生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率，记为，记为5 5 条件概率条件概率 P(A|B)一般说来一般说来 P(A|B) P(A)P(A )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是可能结果构成的集合就是B， B中共中共于是于是 P(A|B)= 1/3.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)有有3个元素，它们的出现是等可能的个元素，它们的出现是等可能的,其中只有其中只

13、有1个在集个在集 A 中中 又如，向长方形又如，向长方形S内随机均匀投点，若已知点内随机均匀投点，若已知点落在区域落在区域B内，求在此条件下点落在区域内，求在此条件下点落在区域A A内的概率内的概率 SABAB条件概率条件概率P(A|B)实质就是缩减了样本空间实质就是缩减了样本空间上的事件的概率。由于已知事件上的事件的概率。由于已知事件B已经发生已经发生，原样本空间，原样本空间S缩减为缩减为B，在该空间上再进，在该空间上再进一步计算事件一步计算事件A发生的概率发生的概率可以证明，在古典概型下，若可以证明，在古典概型下，若P(B)0, 有有)()()|(BPABPBAP1.定义定义 设设A、B是

14、两个事件，且是两个事件，且P(B)0，则称则称 一、一、条件概率条件概率为在事件为在事件B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A的条的条件概率件概率. .)()()|(BPABPBAP2. 性质性质 设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0，则则P(.|B)满足概率的三满足概率的三条公理，即条公理，即(1). 非负性：对任一事件非负性：对任一事件A，0P(A|B)1;(2). 规范性：规范性： P (S | B) =1 ；(3). 可列可加性：可列可加性：设设 A1,An互不相容，则互不相容，则 11)|()|(iiiiBAPBAP条件概率条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质也具有

15、三条公理导出的一切性质如如)|()|()|()|(BACPBCPBAPBCAP )|(1)|(BAPBAP （2） 在缩减的样本空间上计算在缩减的样本空间上计算 3. 条件概率的计算条件概率的计算（1） 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B B 发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A A 所含样本点所含样本点个数个数解法解法1: ()(|)( )P ABP B AP A解法解法2: 62(|)93P B A 应用定义

16、应用定义在在A发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算2234112334A /2/3AA AA例例3 一盒子装有一盒子装有4只产品，其中只产品，其中3只一等品，只一等品，1只二等只二等品。从中取产品品。从中取产品2次，每次任取一件，做不放回抽样。次，每次任取一件，做不放回抽样。设事件设事件 A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品”，事件，事件 B为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”，试求，试求P(B|A). P(AB)=P(B)P(A|B) (1) 二二. 乘法公式乘法公式公式（公式（1 1）和（）和（2 2）均称为概率的乘法公式或称）均称为概率的乘法公式或

17、称为概率的乘法定理为概率的乘法定理 如果如果 P(A)0，由条件概率公式得由条件概率公式得 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) 1. 定义定义 设有两个事件设有两个事件A，B，如果，如果P(B)0，由条，由条件概率公式得件概率公式得 乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况，如乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况，如 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)当当P(A1A2An-1)0时，有时，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)当当P(AB)0，有，有 例例4 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5 5个球迷

18、个球迷好不容易才搞到一张入场券好不容易才搞到一张入场券. .大家都想去大家都想去, ,只只好用抽签的方法来解决好用抽签的方法来解决. .入场入场券券“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”解我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示

19、“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.)|()()()(121212AAPAPAAPAP 212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 = (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 也就是说也就是说“抽签与顺序无关抽签与顺序无关.” 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1，第，第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽

20、到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.B1B2B3B4B5B6B7B8A在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就提出如下问题：复杂事件提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？的概率如何求？三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式定义定义 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间，B1,Bn为为E的一组事件。若的一组事件。若（1）B1,Bn互不相容互不相容，i=1,n （2）SBnii1则称则称B1,Bn为样本空间为样本空间S的一个划分。的一个划分。一一. . 全概率公式全概率公式)|()()(1iniiBAPBPAP上

21、式称为全概率公式上式称为全概率公式 定理定理 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间， A 为为E的事件，的事件，B1,Bn为为S的一个划分，且的一个划分，且P(Bi)0, i=1, n, 则则例例6 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有号箱装有1个个红球红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率.解：记解：记 A =取得红球取得红球 且且 AB1、AB2、AB3 两两互斥两两互斥P(A)=P(

22、AB1)+P(AB2)+P(AB3)运用加法公式得123Bi=球取自球取自i 号箱号箱, i=1, 2, 3; 321ABABABA 对求和中的每一项运用乘法公式得 31)()()(iiiBAPBPAP代入数据计算得：代入数据计算得：P(A)=8/15P(A)=P( AB1)+P(AB2)+P(AB3) 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因（或途径，的发生有各种可能的原因（或途径，或前提条件），或前提条件），i=1, 2, n。如果。如果A是由原因是由原因Bi 所所引起，则引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率发生的概率是各原

23、因引起是各原因引起A发生概率的总和，即发生概率的总和，即全概率公式全概率公式.P(BiA)=P(Bi)P(A|Bi) 由此可以形象地把全概率公式看成为由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因由原因推结果推结果”，每个原因对结果的发生有一定的，每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作用作用”大大小有关小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .诸诸Bi是原因是原因A是结果是结果B1B2B3B4B5B6B7B8A例例7 发报机发出发报机发出“.”的概率为的概率为0.6，发出，发出“”的的概率为概率为0.40；收报机将；收报机将“.”收为收为“.”的概率为的概率为0.99，将将“”收为收为“.”的概率为的概率为0.02。求收报机将任一。求收报机将任一信号收为信号收为“.”的概率的概率 实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已