麦克斯韦电磁场理论

1、电电磁磁波波 一麦克斯韦电磁场理论的 建立詹姆斯克拉克麦克斯韦（18311879 ），英国物理学家、数学家。科学史上，称牛顿把天上和地上的运动规律统一起来，是实现第一次大综合，麦克斯韦把电、光统一起来，是实现第二次大综合。经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一。麦克斯韦被普遍认为是对二十世纪最有影响力的十九世纪物理学家。他对基础自然科学的贡献仅次于牛顿、爱因斯坦。麦克斯韦1831年6月13日生于英国爱丁堡，18471850年于爱丁堡大学学习。18501854年进入剑桥三一学院攻读数学。18561860年担任阿伯丁郡的马里查尔学院教授。18601865年在伦敦英皇学院执教，并从事气体运动理

2、论的研究。1860年成为英国皇家学会院士。1871年任剑桥大学教授，创建并领导了英国第一个专门的物理实验室卡文迪许实验室。 形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx：矢量线矢量线OM FdrrrdrzzyyxxFeFeFeFdzedyedxerdzyx（共线平行）（共线平行） 如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 dddnSSFSF eSddnSe S其中其中面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF e

3、S穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面，矢量场对闭合曲面的通量是，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SnSSeFSFdd0通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的量与

4、曲面内产生矢量场的的关系。的关系。3. 矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点任意点（小（小体积元）的体积元）的通量源与矢量场通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0 = 0= 0 = = 0 0 = - = - 0

5、 0 矢量的散度是空间坐标点的函数矢量的散度是空间坐标点的函数, ,描述空间描述空间。圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系)()(xzxyxxzyxFeFeFezeyexeF直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：zFyFxFFzyxzeyexezyx4. 散度定理散度定理VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含

6、体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。证明：将证明：将V划分为许多体积元划分为许多体积元、1dV 2dV对应的面积为对应的面积为S1、S2 由（由（1.4.8）式，得）式，得iSiiSdFdVF)(), 2 , 1( i各体积元求和，相邻面积抵消，命题得证各体积元求和，相邻面积抵消，命题得证VSdFFFdivSV0lim1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。 存在

7、另一类不同于通存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。分不为零。FFq 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为又称为保守场保守场。ClzyxFd),(环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q 如果矢量场对于

8、任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意宏观联系。为了给出空间任意矢量场与旋涡矢量场与旋涡的关系，引入的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 SCMFn2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度CSnlFSFd1limrot0称为矢量场在点称为矢量场在点M 处

9、沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n特点特点：其值其值与与 处的方向处的方向 有关。有关。n 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限nF旋度的计算公式旋度的计算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系FzyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零

10、标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u0uzeyexezyxzueyuexueuzyx)()(zueyuexuezeyexeuzyxzyxzyxzyxzyxBBBAAAeeeBA AB得到旋度为得到旋度为0 0的结果的结果2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符）（）（zeyexezeyexezyxzyx222222zyx u2uzyx)(222222222222zuyuxu 拉普拉斯运算拉普拉斯运算旋度有一个重要性质，即旋度有一个重要性质，即，下面在直角坐标系中证明，下面在直角坐标系中证明0

11、)(A)()()(yAxAexAzAezAyAexyzzxyyzx证明：证明：因因所以所以)()()(yAxAexAzAezAyAexyzzxyyzx)(A)(zeyexezyx)()()(yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyz0此式说明，对于一个散度为零的矢量场此式说明，对于一个散度为零的矢量场B B，可以将它表示成另一个矢量场的旋度，可以将它表示成另一个矢量场的旋度如如0 B则可令则可令AB（A A称为磁场的矢势）称为磁场的矢势）zyxzyxeeeAAAAyyx,SCSFlFdd3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与

12、曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即CSlFSFd1lim0iCilFSdFd）（）（ , 2 , 1i4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是

13、标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）源在一给定点的（体）旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种路的环量，在给定点上，这种无旋场与无散场无旋场与无散场 FJF2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场0dClF性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有

14、散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EEuF()0Fu 0 F而而（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：0dSSF0 F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场AB0BAF0)(AF0F而而 若矢量场在若矢量场在中处处单值，且其导数连续有界，源分中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给

15、定后，该矢量场可表示为表示为 )()()(rArurF式中：式中：VrrrFruVd)(41)(VVrrrFrAd)(41)( 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其域，矢量场可由其及及确定确定。亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理有界区域有界区域SVrrSrFVrrrFrud)(41 d)(41)(SVrrSrFVrrrFrAd)(41d)(41)( 。?F? F?SSdF?Cl dF解微分方程解微分方程或积分方程或积分方程亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。奥斯特法拉第麦克斯韦对电磁学发展作出杰出贡献的三个物理学

16、家主主 要要 内内 容容MaxwellMaxwell方程组、宏观电磁场的边界条件及坡印廷定理方程组、宏观电磁场的边界条件及坡印廷定理麦克斯韦方程p 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组p 本构关系本构关系p 电磁场的边界条件电磁场的边界条件p坡印廷定理及坡印廷矢量坡印廷定理及坡印廷矢量麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基本方程组；麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基本方程组；时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体。时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体。 0B DBEt DHJt 全电流定律全电流定律 电磁感应定律电磁感应定律 磁场的散度定律磁场的散度定

17、律（磁通连续性原理、（磁通连续性原理、不存在磁单极子）不存在磁单极子）电场的散度定律电场的散度定律（电场的通量定（电场的通量定理）理）3.1 3.1 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 l 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组lSDH dlJd St lSBE dldSt 0SB dS SVD dSdV 0B BEt H：磁场强度，：磁场强度，B：磁感应强度；：磁感应强度；E：电场强度；：电场强度；D：电位移矢量：电位移矢量第一项第一项 全电流安培定律全电流安培定律 表示磁场的“漩涡源”是由传导电流 和位移电流 ； 由电荷的定向运动形成的电流 电场随时间变化形成的“电流” Maxwell对位移电流的认识DH

18、Jt JDtMaxwell 认为：电流由两个部分组成，一部分为传导认为：电流由两个部分组成，一部分为传导电流，另一部分他称之为位移电流电流，另一部分他称之为位移电流 ，即总电流密度：，即总电流密度：d JJJJ J总传导位移第二项第二项 推广的法拉第电磁感应定律推广的法拉第电磁感应定律BEt Faraday电磁感应定律电磁感应定律 Faraday 从从1820年开始探索磁场产年开始探索磁场产生电场的可能性，生电场的可能性，1831年实验发现，年实验发现，当穿过闭合线圈的磁通量发生变化当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，闭合导线中有感应电流产生，时，闭合导线中有感应电流产生，感应电流方向总是以激发

19、磁通量对感应电流方向总是以激发磁通量对抗原磁通量的改变抗原磁通量的改变sltsBlEdddd曲面磁通曲面磁通量改变率量改变率回路的电动势BEt BEt 第三项和第四项第三项和第四项 ()()0()000DDHJHJttDDJJttDJt 0B D旋度的散度恒为零DHt 0B 0DBEt DHJt 0B DBEt 00J思考：麦克斯韦方程的物理意义是什么呢？思考：麦克斯韦方程的物理意义是什么呢？l 麦克斯韦方程组揭示的物理涵义麦克斯韦方程组揭示的物理涵义时变电场的时变电场的激发源激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场；

20、的激发源除传导电流以外，还有变化的电场； 电场和磁场电场和磁场互为激发源互为激发源，相互激发；，相互激发； 电场和磁场不再相互独立，而是电场和磁场不再相互独立，而是相互关联相互关联，构成一个整体，构成一个整体电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量；电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量； 麦克斯韦方程预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。麦克斯韦方程预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。（他的这一预言在Maxwell去世后（1879年）不到10年的时间内，由德国科学家Hertz通过实验证实。）说明说明：静态场只是时变场的一种：静态场只是时变场的一种特殊情况特殊情况。 振荡偶极子类似一个

21、正负电荷相对中心作谐振动的弹簧振荡偶极子类似一个正负电荷相对中心作谐振动的弹簧,可激发涡旋电场可激发涡旋电场.电偶极矩电偶极矩: p = p0 cos t 电源电源LCRLC振荡器振荡器传输线传输线偶极子天线偶极子天线电磁波电磁波发射无线电短波的电路示意图发射无线电短波的电路示意图EBEcccc+-B振荡电偶极子附近的电磁场线振荡电偶极子附近的电磁场线3.2 本构关系媒质电磁特性相联系的常量之间或源与场量之间的关系，又称本构方程。包括媒质分子极化、磁化和电子传导机理；本构关系是对各种媒质的一种描述，包括电介质、磁介质和导电媒质；9700F/mH/mS/m;,110/,410/36F mHmDE

22、BHJE、 和 分别称为介电常数、磁导率和媒质的电导率，它们的单位分别为、和数值与媒质的类型有关真空中l 麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程组的限定形式 在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性媒质中：各向同性媒质中： DEBH JE 将将本构关系本构关系代入麦克斯韦方程组，则得代入麦克斯韦方程组，则得0H ()EHEt EHEt 麦克斯韦方程组限定形式麦克斯韦方程组限定形式 注：麦克斯韦方程组限定形式与注：麦克斯韦方程组限定形式与媒媒质特性质特性相关。相关。 3.3 电磁场的边界条件 思考：边界上的电磁场问题思考：边界上的

23、电磁场问题 实际电磁场问题都是在一定的空间和时间实际电磁场问题都是在一定的空间和时间 范围内发生的，它有起始状态（静态电磁范围内发生的，它有起始状态（静态电磁 场例外）和边界状态。即使是无界空间中场例外）和边界状态。即使是无界空间中 的电磁场问题，该无界空间也可能是由多的电磁场问题，该无界空间也可能是由多 种不同介质组成的，不同介质的交界面和种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。无穷远界面上电磁场构成了边界条件。所谓边界条件，即电磁场在不同介质的边所谓边界条件，即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可以理解为界面两界面上服从的条件，也可以理解为界面两侧相邻

24、点在无限趋近时所要满足的约束条侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面件。边界条件是完整的表示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。两侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。所以场在界面两侧也发生突变。所以MaxwellMaxwell方程方程组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方要求电磁场量连

25、续，从积分形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件。程组出发，导出电磁场的边界条件。本节内容 H的切向分量的边界条件 E的切向分量的边界条件 D的法向分量的边界条件 B的法向分量的边界条件H的切向分量的边界条件1212 () ()JssnNJ Nn H HH HlSDH dlJdSt E的切向分量的边界条件1212 () 0 () 0nEEnEE lSBE dldSt D的法向边界条件12()snDDSVD dSdV B的法向边界条件12()sBBn0SB dS 12121212HHJ0 ( BB )0 ( DD )ssnnEEnn介质边界条件一般表达式介质边界条件一般表达式: :3.3

26、.2 理想导体表面的边界条件电导率无穷大的导体称为理想导体。通常电导率很大的导体都认为是理想导体，如金、银、铜等常见金属。电力线不能进入理想导体内部，故其内部不存在电场；由于理想导体内部不存在电场，所以也就不存在时变磁场；2212120012111211HHJ0 ( BB)0J0B)D0D( DsEHsssnHnEnnnnEEnn 一侧为导的边界条件表达式一侧为导的边界条件表达式结论：结论：电力线垂直于金属表面，磁力线平行于金属表面电力线垂直于金属表面，磁力线平行于金属表面3.4 坡印廷定理及坡印廷矢量坡印廷定理坡印廷矢量 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化电磁能量符合自然界物质运

27、动过程中能量守恒和转化定律定律坡印廷定理坡印廷定理 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印廷定理(Poynting theorem)关于电磁场中能量流动的一个定理。1884年由J.H.坡印廷提出。他认为电磁场中的电场强度E与磁场强度H叉乘所得的矢量,即EH，代表场中能流密度，即在单位时间内穿过垂直于此矢量方向的单位表面的能量。坡印廷定理HBED2121mewww（1）VHBEDVd21dVVwW）（2）电场能量密度磁场能量密度坡印廷矢量 表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。HESW/m2 定义坡印廷矢量电磁波的传播补充介质极化、磁化和传导电流分析 介质是物质的一种统称，由原子或原子团、分子或分子团组成。介质内部大量带电粒子的不规则的运动，在微观尺度