直线与抛物线的位置关系

1、目标：目标： 1 1、能用坐标法解决一些与抛物线有关的、能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题（直线与抛物线的位置关系）和简单几何问题（直线与抛物线的位置关系）和实际问题；实际问题； 2 2、通过对位置关系的学习，进一步体会、通过对位置关系的学习，进一步体会数形结合的思想。数形结合的思想。 xyO 相交 相离相离相切相切一个交点或一个交点或者两个交点者两个交点 探究探究方法方法2：焦点弦的弦长公式：焦点弦的弦长公式小结：求解抛物线与小结：求解抛物线与过焦点的直线过焦点的直线相交的弦长相交的弦长pxxAB21方法方法1：利用弦长公式：利用弦长公式 4)(1 (212212xxxxkAB题型

2、一：弦长问题题型一：弦长问题2 22 2例例1 1 已已知知抛抛物物线线的的方方程程为为y = 4x,y = 4x,直直线线l l过过定定点点P -2, 1 ,P -2, 1 ,斜斜率率为为k,kk,k为为何何值值时时, ,直直线线l l与与抛抛物物线线y = 4x:y = 4x:只只有有一一个个公公共共点点; ;有有两两个个公公共共点点; ;没没有有公公共共点点? ?:,12lyk x 解 由题意 设直线 的方程为2124yk xyx 由方程组 2 2消消去去x x得得,ky -4y+4 2k+1 =0 1,ky -4y+4 2k+1 =0 1 1 当k =0时,由方程 1 得y =1214

3、 ,.4xx将代入得y =1y1,14l这时直线 与抛物线只有一个公共点题型二：交点个数问题题型二：交点个数问题 22k0116 21kk 当时，方程的判别式为2(2)0210,112kkk 当时即解得 2(1)当=0时,即2k +k-1=0，1解得k =-1,或k =21于是当k =-1,或k =时,方程 1 只有一个解,从而2方程组只有一个解.此时直线l与抛物线有一个交点。1综上所述：当-1k 且k0时，直线和抛物线有两个交点；21 当k =-1或k =或k =0时，直线和抛物线有一个交点；21 当k 时，直线和抛物线没有交点。2 1于是当-1k时,方程 1 有两个解,从而2方程组有两个解

4、.此时直线l与抛物线有两个交点。2(3)0210,112kkk 当时,即解得k或 1 1于于是是当当k -1k k 时时, ,方方程程 1 1 没没有有解解, ,从从而而2 2方方程程组组没没有有解解. .此此时时直直线线l l与与抛抛物物线线没没有有交交点点。直线与抛物线直线与抛物线相切交于一点相切交于一点000直线与抛物线相离直线与抛物线相离一元方程的一元方程的二次项系数为二次项系数为0，则得到关于，则得到关于x(或或 y)的的 一一 元一次方程，则直线与抛物线元一次方程，则直线与抛物线相交于一点相交于一点。 所得所得方程的方程的二次项系数不为二次项系数不为0，（1） 通法（代数法）：通法

5、（代数法）：02cbxax).0(2cbyay或（2）数形结合法数形结合法（几何法）（几何法）：小结：求解抛物线与小结：求解抛物线与直线直线的交点个数的交点个数变式变式1：过点过点(1,1)与抛物线与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线条只有一个公共点的直线条 数是数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3变式变式2： 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一只有一个公共点的直线的方程个公共点的直线的方程.2xy2 练习练习2240.xyPlxy例例2 2. .求求抛抛物物线线上上一一点点 到到直直线线的的距距离离最最小小值值及及P P的的坐坐标标Oxy题型三：最值问题题型三

6、：最值问题2240.xyPlxy例例 2 2 . . 求求 抛抛 物物 线线上上 一一 点点到到 直直 线线的的 距距 离离 最最 小小 值值 及及 P P 的的 坐坐 标标解法一解法一:平行直线系平行直线系2lxy2x-y+ c= 0解解 法法 一一 ： 设设 与与 直直 线线 平平 行行 且且 于于 抛抛 物物 线线= = 相相 切切的的 直直 线线 方方 程程 为为4 401cc 22202x-y+c=0 xxcxy由由：min4133 5555d (1,1)P题型三：最值问题题型三：最值问题221 0 xx 切切线线方方程程为为：221011xxxy= 由由得得，此此时时2240.xy

7、Plxy例例2 2. .求求抛抛物物线线上上一一点点 到到直直线线的的距距离离最最小小值值及及P P的的坐坐标标解法二解法二:用用坐标坐标表示出距离，求距离的最小值表示出距离，求距离的最小值（注意（注意在不同的抛物线标准方程中点的坐标的设法）在不同的抛物线标准方程中点的坐标的设法）2),P(x,yyx解解法法二二：设设抛抛物物线线上上任任意意一一点点2222424521Plxxxy则则 到到直直线线 的的距距离离d=d=2224(1)355xxxmin33 555d=当当x x= =1 1时时，11P此此时时（， ）题型三：最值问题题型三：最值问题解法一：平行直线系解法一：平行直线系解法二：用坐标表示出距离，可转化为解法二：用坐标表示出距离，可转化为 求函数的最小值求函