第7章多项式矩阵理论

1、线性系统的复频率域理论线性系统的复频率域理论 经典控制理论中频域法以传递函数（频率特经典控制理论中频域法以传递函数（频率特性性 ）为基础，研究单输入）为基础，研究单输入/单输出线单输出线性定常系统，它和时域法比较有如下优点：性定常系统，它和时域法比较有如下优点：1)计算量小（相对于微分方程的求解）计算量小（相对于微分方程的求解）2）物理意义强；）物理意义强；3）可用图形表示，直观地进行分析；）可用图形表示，直观地进行分析；4）可通过实验建模。）可通过实验建模。js) s (G)j (G状态空间表达式为数模，研究多输入状态空间表达式为数模，研究多输入/多输出系统的多输出系统的状态空间理论，建立了

2、系统能控能观测的概念，提出状态空间理论，建立了系统能控能观测的概念，提出了状态反馈，状态观测器。与此同时，在线性系统状了状态反馈，状态观测器。与此同时，在线性系统状态空间法影响下，以多项式矩阵理论为基础的复频域态空间法影响下，以多项式矩阵理论为基础的复频域理论应运而生，理论应运而生，Kalman探讨并提出最优控制问题的探讨并提出最优控制问题的频域描述，频域描述，H.H.Rosenbrock的的“逆奈奎斯特阵列设逆奈奎斯特阵列设计多变量系统计多变量系统”和和W.A.Wolovich提出的特征轨迹设提出的特征轨迹设计法等开创了复频域理论。该方法既可用于计法等开创了复频域理论。该方法既可用于SISO

3、系系统又适应统又适应MIMO系统；既可提供系统性能分析又可揭系统；既可提供系统性能分析又可揭示系统结构特性；还可用于系统补偿器综合。示系统结构特性；还可用于系统补偿器综合。第第7章章 多项式矩阵理论多项式矩阵理论7.1 多项式矩阵多项式矩阵以多项式为元组成的矩以多项式为元组成的矩阵阵nmmnmmnnsqsqsqsqsqsqsqsqsq)()()()()()()()()() s (Q212222111211其中，其中， 的的S多项式多项式)(),()(实数域实数域ssqij7.2 奇异和非奇异奇异和非奇异方多项式矩阵方多项式矩阵Q(s)如果如果detQ(s)=0,则称则称Q(s)为奇异多项式矩阵

4、；如果为奇异多项式矩阵；如果detQ(s)=0,则称则称Q(s)为非奇异多项式矩阵。为非奇异多项式矩阵。Q(s)有逆的充分必要条件为有逆的充分必要条件为Q(s)为非奇异的，为非奇异的，且存在且存在)()()()()()()(1sRsQsQsRsQsQsR的逆的逆有有理理分分式式矩矩阵阵多多项项式式多多项项式式矩矩阵阵) s (detQ) s (adjQ) s (Q1 -7.3 线性相关和线性无关线性相关和线性无关多项式向量组多项式向量组 为线性相关，为线性相关，当且仅当存在一组不全为零的多项式当且仅当存在一组不全为零的多项式 使成立使成立)()(),(21sqsqsqm)()(),(21sss

5、m0)()()()()()(2211sqssqssqsmm)()()()()()()()()()()()()()()()(m2121m212211ssqsqsqssssqsqsqsqssqssqsmmm等价于等价于奇异与线性无关奇异与线性无关Q(s)非奇异方多项式矩阵等价于非奇异方多项式矩阵等价于Q(s)行行/列多列多项式向量线性无关。项式向量线性无关。多项式矩阵非奇异多项式矩阵非奇异线性无关等价于线性无关等价于)()()()()()(2121sqsqsqsqsqsqmm线性相关性线性相关性/无关性对组合系数属性的依赖性无关性对组合系数属性的依赖性多项式向量组多项式向量组 线性相关线性相关/无

6、无关不仅依赖于向量本身，而且同时依赖于标量关不仅依赖于向量本身，而且同时依赖于标量组组 的取值的域（有理分式域的取值的域（有理分式域 或实数域或实数域 。)()(),(21sqsqsqm)()(),(21sssm) s ( 域域上上线线性性无无关关在在和和即即，仅仅当当显显然然，上上式式为为零零，当当且且（域域上上，域域上上线线性性相相关关，而而在在在在和和即即（和和（可可取取多多项项式式) s () s (00) 1()23() 1s ()2() s () s () s (s) s () s () s (00123123) s () s () s (s)1) s (1ss)123) s (,

7、12) s (212122221122112122222211212221qqssssqqqqssssssqqsssqssq7.4 秩秩定义：如果至少存在一个子式定义：如果至少存在一个子式 不恒等于不恒等于零，而所有等于和大于零，而所有等于和大于 的子的子式恒等于零，则称式恒等于零，则称 多项式矩阵多项式矩阵Q(s)的的秩为秩为r.即即rankQ(s)=r1)秩的取值范围：对一秩的取值范围：对一 多项式矩阵多项式矩阵Q(s)rrnm) 1(1)(rr),min()(1nmsrankQnm2) 满秩与降秩满秩与降秩降秩降秩若若满秩满秩若若) s (Q),(min rankQ(s) s (Q),(

8、minrankQ(s)nmnm3）秩和线性无关性）秩和线性无关性rankQ(s)=r Q(s)中有且仅有中有且仅有r个线性无关的个线性无关的列列/行向量行向量4）秩和奇异性）秩和奇异性Q(s)非奇异非奇异 rankQ(s)=n秩的性质：秩的性质：1）对任意非零）对任意非零 多项式矩阵多项式矩阵Q(s),任取非任取非奇异阵奇异阵 P(s)和和 阵阵R(s),则必有则必有rankQ(s)=rankP(s)Q(s)=rankQ(s)R(s)2)Q(s)为为 ，R(s)为为 多项式矩阵，多项式矩阵，则必成立则必成立nmmmnnnmpn)s (rankR),s (rankQ(min) s (R) s (

9、rankQn) s (rankR) s (rankQ7.5 单模矩阵单模矩阵(unimodular matrices)定义：方多项式矩阵定义：方多项式矩阵Q(s)为单模矩阵，当且仅当行为单模矩阵，当且仅当行列式列式detQ(s)=c为独立于为独立于s的非零常数。的非零常数。性质：性质：1.一个方多项式矩阵为单模矩阵，当仅当其逆阵也一个方多项式矩阵为单模矩阵，当仅当其逆阵也为多项式且是单模的；为多项式且是单模的；2.单模矩阵具有非奇异多项式矩阵的基本属性，但单模矩阵具有非奇异多项式矩阵的基本属性，但反命题不成立；反命题不成立；3.任意两个同维单模矩阵的乘积也为单模矩阵；任意两个同维单模矩阵的乘积

10、也为单模矩阵；4.单模阵的逆也为单模阵；单模阵的逆也为单模阵；5.奇异，非奇异，单模矩阵奇异，非奇异，单模矩阵0) s (detQ(s)(Q0) s (detQ(s)(Q0) s (detQ(s)(Q复数域）成立复数域）成立对所有的对所有的单模单模复数域）成立复数域）成立对几乎所有的对几乎所有的非奇异非奇异复数域）成立复数域）成立不存在一个不存在一个奇异奇异sss7.6 初等变换初等变换第一种初等变换（行初等变换或列初等变换）：第一种初等变换（行初等变换或列初等变换）：功能功能：任意交换多项式矩阵的两行或两列。：任意交换多项式矩阵的两行或两列。实现实现：初等矩阵的生成初等矩阵的生成列初等矩阵列

11、初等矩阵为为两列后，两列后，交换交换行初等矩阵行初等矩阵为为两行后，两行后，交换交换nnE,E) s (Q) s (QQ(s)mmE),s (QE) s (QQ(s)1c1c1c1r1r1r导导出出的的常常阵阵；和和行行的的行行为为交交换换和和列列交交换换列列的的对对应应列列初初等等矩矩阵阵导导出出的的常常阵阵；和和列列的的列列为为交交换换和和行行交交换换行行的的对对应应行行初初等等矩矩阵阵jiji) s (QnmEnnjiji) s (QnmEmmn1cm1r4216538142694131536362231153633814269413421656223111111) s (QE) s (

12、Q1111111111E,1536338142694134216562231) s (Q1r1r521r交换交换和列和列列列对对Q(s)作行作行2和行和行5的交换：的交换：第二种初等变换第二种初等变换功能功能：用非零常数：用非零常数c乘于多项式矩阵乘于多项式矩阵Q(s)的某行或的某行或某列。某列。实现实现：初等矩阵的生成：初等矩阵的生成：列初等矩阵列初等矩阵为为乘于列后，乘于列后，中用中用行初等矩阵行初等矩阵为为乘于行后，乘于行后，中用中用nnE,E) s (Q) s (QcQ(s)mmE),s (QE) s (QcQ(s)2c2c2c2r2r2r导导出出的的矩矩阵阵；行行乘乘为为列列的的乘乘

13、于于对对应应列列初初等等矩矩阵阵导导出出的的矩矩阵阵；列列乘乘为为行行的的乘乘于于对对应应行行初初等等矩矩阵阵jcj) s (QnmcEnnici) s (QnmcEmmn2cm2r第三种初等变换第三种初等变换功能功能：将非零多项式：将非零多项式d(s)乘于多项矩阵乘于多项矩阵Q(s)的的某行某行/某列所得结果加于另某行某列所得结果加于另某行/另某列。另某列。实现实现：初等矩阵的生成初等矩阵的生成：3c3c3r3rE)s (Q)s (Q)s (Q)s (QE)s (Q)s (Q中中对对列列运运算算后后中中对对行行运运算算后后交交点点处处导导出出的的矩矩阵阵；和和列列行行为为置置于于后后再再加加

14、到到列列列列的的乘乘于于对对应应列列初初等等矩矩阵阵交交点点处处导导出出的的矩矩阵阵；和和行行列列置置于于为为后后再再加加到到行行行行的的乘乘于于对对应应行行初初等等矩矩阵阵jiji) s (Qnm) s (dEnnji) s (dji) s (Qnm) s (dEmmn3cm3r4d(s)12d(s)5d(s)36d(s)65d(s)33814269413421656223115363381426941342165622311d(s)1111) s (QE) s (Q1d(s)111111111E,1536338142694134216562231) s (Q3r3r52d(s)3r交交点点

15、和和行行置置于于列列将将初等矩阵的性质：初等矩阵的性质：1）初等矩阵均是可逆的；）初等矩阵均是可逆的；2）初等矩阵均为单模矩阵。）初等矩阵均为单模矩阵。单模变换和初等变换单模变换和初等变换定义：对定义：对 的多项式矩阵的多项式矩阵Q(s)，设，设 的多项式矩阵的多项式矩阵R(s)和和 的多项式矩阵的多项式矩阵T(s)为为任意单模矩阵，则称任意单模矩阵，则称R(s)Q(s),Q(s)T(s),R(s)Q(s)T(s)为为Q(s)的单的单模变换。模变换。nmmmnn推论推论1：初等矩阵的乘积阵为单模阵，对矩阵：初等矩阵的乘积阵为单模阵，对矩阵Q(s)作行初等变换等价于作行初等变换等价于Q(s)左乘

16、相应的单模阵，即左乘相应的单模阵，即相应于左单模变换；对矩阵相应于左单模变换；对矩阵Q(s)作列初等变换等作列初等变换等价于价于Q(s)右乘相应的单模阵，即相应于右单模变右乘相应的单模阵，即相应于右单模变换。换。推论推论2：对矩阵：对矩阵Q(s) 左乘单模阵，即左单模变换，左乘单模阵，即左单模变换，可等价的化为对可等价的化为对Q(s)的相应一系列行初等变换；的相应一系列行初等变换；对矩阵对矩阵Q(s) 右乘单模阵，即右单模变换，可等价右乘单模阵，即右单模变换，可等价的化为对的化为对Q(s)的相应一系列列初等变换。的相应一系列列初等变换。推论：对给定单模阵推论：对给定单模阵Q(s),设设“使使Q

17、(s)按列按列初等变换化为单位阵初等变换化为单位阵I”的各初等矩阵依次的各初等矩阵依次为为 ，其逆，其逆为为 ，则单模阵，则单模阵Q(s)的初等矩阵乘积表达式为的初等矩阵乘积表达式为) s (U),s (U),s (Ua21) s (U),s (U),s (U1a1211) s (U),s (U),s (U),s (UQ(s)111211 -a1a推论：对给定单模阵推论：对给定单模阵Q(s),设设“使使Q(s)按行按行初等变换化为单位阵初等变换化为单位阵I”的各初等矩阵依次的各初等矩阵依次为为 ，其逆，其逆为为 ，则单模阵，则单模阵Q(s)的初等矩阵乘积表达式为的初等矩阵乘积表达式为初等矩阵乘

18、积表达式不唯一。初等矩阵乘积表达式不唯一。) s (V),s (V),s (Va21) s (V),s (V),s (V1a1211) s (V) s (V) s (VQ(s)1a1211 推论推论3：单模变换与初等变换的关系：单模变换与初等变换的关系R(s)Q(s) 对对Q(s)作等价一系列行初等变换作等价一系列行初等变换Q(s)T(s) 对对Q(s)作等价一系列列初等变换作等价一系列列初等变换R(s)Q(s)T(s) 对对Q(s)同时作等价一系列行同时作等价一系列行和列初等变换。和列初等变换。推论推论4：如果：如果Q(s)经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成B(s）则）则称称Q(s)与

19、与B(s)是等价的，且是等价的，且rankQ(s)=rankB(s) 7.7 埃尔米特形埃尔米特形埃尔米特（埃尔米特（Hermite)形是多项式矩阵的一种规范形。形是多项式矩阵的一种规范形。行埃尔米特形：设多项式矩阵行埃尔米特形：设多项式矩阵Q(s),rankQ(s)=rmin(m,n)，则行埃尔米特形，则行埃尔米特形QHr(s) 0000) s (00) s () s () s () s () s () s () s () s () s (00Qrr3r32r321k , rk , 3k , 3k , 1k , 2k , 2k , 1k , 1k , 1k , 1Hr列埃尔米特形设多项式矩阵

20、列埃尔米特形设多项式矩阵Q(s),rankQ(s)=rmin(m,n)，则列埃尔米特，则列埃尔米特形形QHc(s)的形式对偶于行埃尔米特形的形式对偶于行埃尔米特形QHr (s)对于多项式矩阵对于多项式矩阵Q(s)，其行埃尔米特形可由单，其行埃尔米特形可由单模阵模阵V(s)左乘左乘Q(s)得到，其列埃尔米特形可由得到，其列埃尔米特形可由单模阵单模阵U(s)右乘右乘Q(s)得到，即得到，即) s (Q) s (QTHrHc) s (U) s (Q) s (Q) s (Q) s (V) s (QHcHr例：采用初等变换法，化例：采用初等变换法，化Q(s)为行埃尔米特形为行埃尔米特形001s02100

21、1s02ss11sss01s02ss11s01sss02ss112ss1-1sss02ss112ss1-13ss2ss112ss1-2ss113ss) s (Q2) s (rankQ,12ss1-2ss113ss) s (Q22322322232222222变换阵变换阵001s021) s (Q) s (V1)(s-1ss111-0s-1s011111s111111111) 1(s-1111s1) s (V2227.8 公因子和最大公因子公因子和最大公因子使成立，和存在多项式矩阵的一个右公因子，如果和式矩阵为列数相同的两个多项多项式矩阵称pqpppqpp(s)N) s (DN(s) s (DR

22、(s)pp) s (N) s (R) s (N),s (D) s (R) s (DLLLLLL) s (R) s (N) s (N),s (R) s (D) s (D使成立，和存在多项式矩阵的一个左公因子，如果和式矩阵为行数相同的两个多项多项式矩阵称pqLqqLpqLqqLL(s)N) s (D(s)N) s (D(s)Rqq最大公因子的定义：最大公因子的定义：最大右公因子最大右公因子gcrd:)s (R)s (W)s (RW(s)R(s)s (RN(s)D(s),)2(N(s)D(s),R(s) (1)使成立矩阵多项式即存在一个的右乘因子均为如的任一其它右公因子的一个右公因子，是pp如果的一

23、个最大右公因子，和式矩阵为列数相同的两个多项多项式矩阵称pqppN(s) s (DR(s)pp最大右公因子最大右公因子gcrd:) s (W) s (R) s (R(s)Wqq(s)R) s (R(s)N(s),D)2(s)N(s),D(s)R (1)LLLLLLLLLL使成立多项式矩阵即存在一个的左乘因子为均如的任一其它左公因子的一个左公因子，是公因子和最大公因子是不唯一的。公因子和最大公因子是不唯一的。如果的一个最大左公因子，和式矩阵为行数相同的两个多项多项式矩阵称pqLqqLL(s)N) s (D(s)Rqq最大公因子的构造定理最大公因子的构造定理 首先，任意两个列数相同的多项式矩阵首先

24、，任意两个列数相同的多项式矩阵D(s),N(s)的的最大右公因子总是存在的最大右公因子总是存在的。) s (N) s (D) s (N) s (N) s (D) s (D) s (N) s (DI00I例例如如合合成成矩矩阵阵I0III0II) s (N) s (N) s (D) s (N) s (D) s (N) s (N) s (D) s (N) s (N) s (N) s (D) s (D) s (N) s (N) s (D再比如右因子.gcrd) s (N),s (D) s (N) s (D的一个最大右公因子是因此，合成矩阵结论结论7.11gcrd构造定理构造定理 对列数相同的两对列数

25、相同的两个多项式矩阵个多项式矩阵D(s),N(s)，如果可找到，如果可找到 的一个单模阵的一个单模阵U(s),使成立使成立则导出的多项式矩阵则导出的多项式矩阵R(s)就为就为D(s),N(s)的的一个一个最大右公因子最大右公因子。0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (U22211211)()(qpqp证明证明：（1）R(s)为为D(s),N(s)的右公因子。的右公因子。单模阵单模阵U(s)的逆为的逆为V(s),的右公因子。，为)s (N) s (D) s (R) s (R) s (V) s (N),s (R) s

26、 (V) s (D) s (R) s (V) s (R) s (V0) s (R) s (V) s (V) s (V) s (V) s (N) s (D) s (V) s (V) s (V) s (V) s (UV(s)2111211122211211222112111 -(2)证明证明D(s),N(s)的任一其它右公因子均为的任一其它右公因子均为R(s)的右乘因子。的右乘因子。R(s)就为就为D(s),N(s)的一个的一个最大右公因子最大右公因子。的右乘因子。为为多项式矩阵，所以) s (R) s (R) s (W) s (R) s (W) s (R)s (N) s (U) s (D) s

27、(U) s (N) s (U) s (D) s (U) s (R) s (R) s (N) s (N),s (R) s (D) s (D12111211具体求取方法：具体求取方法：gcrd) s (R)3qp0) s (R) s (N) s (D)2) s (N) s (D) 1为的则维维行为零最后进行初等行变换，使得对维维形成矩阵ppqqp例：例：gcrd1s) s (N,2-3ss2s3s2ss) s (D22求求73ss1)3s ()2s (0110000101010010001) 12s(00110)2s (0100010101000011)3s (0010001) s (U101s)

28、 s (R00101s3-s0101s103s01s3s2ss2-3ss2s1s1s2-3ss2s3s2ssN(s)D(s)22222再利用再利用gcrd不唯一属性，任取于不唯一属性，任取于R(s)同同维的一个单模阵维的一个单模阵则导出给定则导出给定D(s),N(s) 的另一个的另一个gcrd4s3s2s1s) s (W4s)3s ( s2s) 1s ( s101s4s3s2s1s) s (R) s (W(s)R结论结论7.12gcld构造定理构造定理 对行数相同的两个对行数相同的两个多项式矩阵多项式矩阵DL(s),NL(s)，如果可找到，如果可找到 的一个单模阵的一个单模阵U(s),使成立使

29、成立则导出的多项式矩阵则导出的多项式矩阵RL(s)就为就为DL(s),NL(s)的一个最大左公因子。的一个最大左公因子。0) s (R) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (U) s (N) s (DL22211211LLLL)()(qpqp最大公因子的性质最大公因子的性质1）最大公因子的不唯一性）最大公因子的不唯一性结论结论7.13 令令 多项式矩阵多项式矩阵R(s)为具有相同列为具有相同列数数p的多项式矩阵对的多项式矩阵对 的的一个一个gcrd，则对任意，则对任意 单模矩阵单模矩阵W(s)R(s)也必是的也必是的gcrd.证明：证明：gcrd构造定

30、理，构造定理，pppppqpp) s (N,) s (D0) s (R) s (N) s (D) s (UI00) s (W) s (UU(s)为单模阵，现构造另一个单模阵为单模阵，现构造另一个单模阵0) s (W(s)R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U0) s (W(s)R0) s (RI00) s (W) s (N) s (D) s (U) s (U为单模阵为单模阵结论结论7.14 令令 多项式矩阵多项式矩阵R1(s)和和R2(s)为具为具有相同列数有相同列数p的多项式矩阵对的多项式矩阵对 的任意两个的任意两个gcrd，则有，则有ppI) s (W)

31、 s (W, I) s (W) s (W) s (R) s (W) s (W) s (R) s (R) s (W) s (W) s (R) s (R) s (W) s (R),s (R) s (W) s (R) s (W),s (W,gcrd) s (R),s (R1221212212111222112121则则存存在在多多项项式式矩矩阵阵为为证证明明：pqpp) s (N,) s (D为单模为单模为单模为单模非奇异非奇异非奇异非奇异) s (R) s (R) s (R) s (R21212)最大公因子在非奇异性和单模性上的唯一性最大公因子在非奇异性和单模性上的唯一性3）最大公因子非奇异的条件

32、）最大公因子非奇异的条件结论结论7.15 对于具有相同列数对于具有相同列数p的多项式矩阵的多项式矩阵对对 ，当且仅当，当且仅当pqpp) s (N,) s (D都为非奇异。都为非奇异。的所有的所有几乎所有几乎所有列满秩列满秩gcrd) s (N) s (Ds),(p) s (N) s (Drankp) s (N) s (Drankp) s (rankR) s (N) s (Drank) s (N) s (D) s (rankU0) s (Rrank) s (rankR0) s (R) s (N) s (D) s (U证明：证明：结论结论7.16 令令 多项式矩阵多项式矩阵R (s) 为具有相同

33、为具有相同列数列数p的多项式矩阵对的多项式矩阵对 的一个的一个gcrd，则必存在，则必存在 多项式矩多项式矩阵阵X(s)和和Y(s)，有，有R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)证明：由证明：由gcrd构造定理，得构造定理，得 R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)令令U11(s)=X(s),U12(s)=Y(s)pppqpp) s (N,) s (D4)最大公因子的基于矩阵对表达式最大公因子的基于矩阵对表达式qppp和和结论结论7.17对多项式对对多项式对d(s),n(s)，其，其gcrdr(s)的次数必小于的次数必小于d(s)和和n(s)的次数。的次数。 对相同列数对相

34、同列数p的多项式矩阵对的多项式矩阵对 其最其最大公因子大公因子gcrd ，则必存在多项式矩阵，则必存在多项式矩阵R (s) 的元多项式次数可能大于的元多项式次数可能大于D(s)和和N(s)的元多项式的元多项式次数。次数。pp5)最大公因子在次数上的特点最大公因子在次数上的特点pqpp) s (N,) s (D例：例：1) 1s ( s11s111s111111) 1s ( s11) s (U100s) s (R00100ssss100sss10ss) s (N) s (Dgcrdss-) s (N,10ss) s (D222其其若取单模阵若取单模阵10s1) s (W11s1s) s (W2k

35、kk或或根据根据gcrd的不唯一性，知的不唯一性，知W(s)R(s)也是也是D(s),N(s)的的gcrd.10ss100s10s1) s (R) s (W(s)R1ss1s100s11s1s) s (R) s (W(s)R2k2k11k1kkk1或或R1(s)中元的次数显然大于中元的次数显然大于D(s),N(s)中元多项式中元多项式的次数。的次数。 7.9 互质性（互质性（co-primeness)定义：定义：7.13 右互质右互质列数相同的多项式矩阵列数相同的多项式矩阵 为右互质，为右互质，如果其最大右公因子如果其最大右公因子gcrd为单模阵为单模阵。定义：定义：7.14 左互质左互质行数

36、相同的多项式矩阵行数相同的多项式矩阵 为左互质，为左互质，如果其最大左公因子如果其最大左公因子gcld为单模阵为单模阵。互质性的常有判据互质性的常有判据1）贝佐特）贝佐特(bezout)等式判据等式判据) s (N),s (D) s (N),s (D结论结论7.18 列数相同的列数相同的 多项式矩阵多项式矩阵D(s)和和N(s) 为右互质，当且仅当存在为右互质，当且仅当存在 多项式矩阵多项式矩阵X(s),Y(s)，是贝佐特等式成立：，是贝佐特等式成立：X(s)D(s)+Y(s)N(s)=Ippqpp和和qppp和和结论结论7.19 行数相同的行数相同的 多项式矩阵多项式矩阵DL(s)和和NL(

37、s) 为左互质，当且仅当存在为左互质，当且仅当存在 多项式矩阵多项式矩阵X(s),Y(s)，是贝佐特等式成立：，是贝佐特等式成立：DL(s)X(s)+NL(s) Y(s)=Iqpqqq和和qpqq和和证明证明（1）必要性。即已知）必要性。即已知D(s)和和N(s)为右互为右互质，证明贝佐特等式成立。质，证明贝佐特等式成立。I) s (N) s (Y) s (D) s (X) s (U) s (R) s (Y),s (U) s (R) s (XI) s (N) s (U) s (R) s (D) s (U) s (R) s (R) s (R) s (N) s (D) s (N) s (U) s

38、(D) s (U) s (R0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (Ugcrd121 -111 -121 -111 -1 -121122211211令存在且为多项式矩阵，为单模矩阵，为右互质，则，由构造定理关系：根据（1）充分性。即已知）充分性。即已知贝佐特等式成立，证明贝佐特等式成立，证明D(s)和和N(s)为右互质。为右互质。右互质，为单模矩阵，为多项式矩阵。存在，且代入贝佐特等式，多项式矩阵则存在的一个，为) s (N) s (D) s (R) s (N) s (Y) s (D) s (X) s (R) s

39、(RI) s (R)s (N) s (Y) s (D) s (X) s (R) s (N) s (N) s (R) s (D) s (D) s (N) s (Dgcrd,) s (N) s (D) s (R1 -1 -2)秩判据秩判据结论结论7.20右互质秩判据右互质秩判据对列数相同对列数相同 多项式矩阵多项式矩阵D(s),N(s)，其中，其中D(s)为非奇异，则有为非奇异，则有pqpp和和p) s (N) s (Drank) s (N) s (D右互质右互质和和值降秩的多项式矩阵不存在同时中全部判别式右互质和s) s (N) s (D) s (N) s (Dpp推论：推论：结论结论7.21左

40、互质秩判据左互质秩判据对行数相同对行数相同 多项式矩阵多项式矩阵DL(s),NL(s)，其中，其中DL(s)为非奇异，则为非奇异，则有有pqqq和和q) s (N) s (Drank) s (N) s (DLLLL右互质右互质和和值。降秩的多项式矩阵不存在同时全部中判别式右互质和s) s (N) s (D) s (N) s (DLLLLqq推论：推论：1s , 1s , 0) 1s)(1s (1s2s01sdet2s , 1s , 0s , 0)2s)(1s ( s1s2s1-s2ssdet1s , 1s , 0) 1s)(1s (1s2ss01sdet221s2s1s2ss01s) s (N

41、) s (D.1s2s) s (N,1s2ss01sD(s)2222况：的多项式矩阵降秩的情判别阵判别矩阵对是否右互质例不存在使判别式全部多项式矩阵同时降秩的不存在使判别式全部多项式矩阵同时降秩的s值，值，D(s),N(s)为右互质为右互质3）行列式次数判据）行列式次数判据结论结论7.22右互质行列式次数判据右互质行列式次数判据 对列数相对列数相同同 多项式矩阵多项式矩阵D(s),N(s)，其中，其中D(s)为非奇异为非奇异，则，则D(s)和和N(s)为右互质，当且仅为右互质，当且仅当存在当存在 多项式矩阵多项式矩阵A(s)和和B(s)，使，使同时成立同时成立：pqpp和和degdetD(s)

42、degdetA(s)0) s (N) s (D) s (A) s (B) s (N) s (A) s (B(s)D-pqqq和和结论结论7.23左互质行列式次数判据左互质行列式次数判据 对行数相对行数相同同 多项式矩阵多项式矩阵DL(s),NL(s)，其中，其中DL(s)为非奇异，则为非奇异，则DL(s)和和NL(s)为左互质，当且为左互质，当且仅当存在仅当存在 多项式矩阵多项式矩阵A(s)和和B(s)，使同时成立使同时成立：pqpp和和(s)degdetDdegdetA(s)0) s (A) s (B-) s (N) s (D) s (A) s (NB(s) s (D-LLLLLpqqq和和

43、0sysxsxY(s)X(s),0ysysxx-1sysxsx-1sysyxsx100110ss) s (Yss-1-s) s (XI) s (N) s (Y) s (D) s (XBezout)1) s (D10s)1s ( s) s (detD) s (D10ss) s (N,ss-1-s) s (D2122221121121211222222112111221122P322不不存存在在多多项项式式矩矩阵阵等等式式判判据据非非奇奇异异。时时，的的奇奇异异性性解解：右右互互质质性性，所以，所以，D(s),N(s)非右互质。非右互质。降降秩秩对对降降秩秩对对降降秩秩对对降降秩秩对对秩秩判判据据

44、, 0s ,10ssrank-1s1,s , 0s ,s-sss-rank-1s1,s , 0s ,s-s1srank1s , 0s ,ss1srank,10ssss1s) s (N) s (D)22222222所以，所以，D(s),N(s)非右互质。非右互质。非非单单模模阵阵最最大大公公因因子子法法,ss10) s (R0000ss101-s0ss0ss101-sssss1010ssss1s) s (N) s (D) 3223222222所以，所以，D(s),N(s)非右互质。非右互质。左互质性左互质性10011s1s10ss0100ss-1-sY(s)X(s),I) s (Y) s (N)

45、 s (X) s (DBezout)12222qLL存存在在多多项项式式矩矩阵阵等等式式判判据据所以，所以，D(s),N(s)左互质。左互质。降降秩秩对对降降秩秩对对降降秩秩对对降降秩秩对对降降秩秩对对秩秩判判据据, 1s ,1ss1-rank, 0s ,10s-srank1s , 0s ,1ss-srank, 0s ,0sssrank-1s1,s , 0s ,ss1srank10ssss1s) s (N) s (D)2222222222LL不存在使不存在使D(s),N(s)同时降秩的同时降秩的s，所以，所以D(s)和和N(s)左互质。左互质。为为单单模模阵阵最最大大公公因因子子法法0110)

46、 s (R,0001001000s10010s-0s10s10s-0s1ss1010ss0s1s10ssss1s) s (N) s (D)2L22222222LL所以，所以，D(s),N(s)左互质。左互质。最大公因子构造关系式性质的进一步讨论最大公因子构造关系式性质的进一步讨论gcrd构造关系式构造关系式0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (U22211211D(s)为为 非奇异多项式矩阵，非奇异多项式矩阵，N(s)为为 多项式矩阵，多项式矩阵， 矩阵矩阵U(s)为单模阵，为单模阵，U11(s)为为 阵，阵，U

47、12(s)为为 阵，阵，U21(s) 为为 阵，阵，U22(s)为为 阵。阵。pp qqpq )()(qpqpqp pp pq 推论推论7.10 行数相同的行数相同的 多项式矩多项式矩阵阵U22(s)和和U21(s)为左互质为左互质pqqq和和推论推论7.11 多项式矩阵多项式矩阵U22(s) 为非奇异，为非奇异，且成立：且成立：qq ) s (U) s (U) s (D) s (N21-122-1推论推论7.12 D(s)和和N(s)为右互质，当且仅当为右互质，当且仅当) s (degdetU) s (degdetD22证明：证明：U(s)为单模阵，其逆一定存在，设为单模阵，其逆一定存在，设

48、非奇异非奇异为非奇异，则为非奇异，则为单模阵，为单模阵，) s (V) s (D) s (R) s (R) s (V) s (N) s (R) s (V) s (D) s (R) s (V) s (R) s (V0) s (R) s (V) s (V) s (V) s (V) s (N) s (D0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (U112111211122211211222112111 -) s (V) s (V) s (V) s (V*I) s (V) s (V0I0) s (V) s (V-) s (VI

49、) s (V) s (V0I0) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (U) s (U) s (U) s (U) s (U, c)s (V) s (V) s (Vdet) s (detV) s (detV) s (V) s (V) s (V0) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (VI) s (V) s (V0I12111212211112111121 -111 -11111211121112221121122211211111212211111212212112221121111121非零常数（单模阵）非零常数（单模阵）左

50、互质为又且为非奇异阵(s)U(s)Usq(s)U(s)rankUqprankU(s)q),p(q)p() s (U) s (U) s (U) s (D) s (N0) s (N) s (U) s (D) s (U) s (U)s (V) s (V) s (V) s (V) s (U22212221211221 -2221221121112122221(s)degdetU) s (degdetD0degdetR(s)R(s)N(s)D(s),) s (degdetR(s)degdetU) s (degdetD(s)degdetU) s (degdetVc(s)detU/ ) s (detV) s

51、 (detV) s (degdetV) s (degdetR) s (degdetV) s (degdetD) s (R) s (V) s (D222222112211111111则有为单模阵，右互质，如果且已知因 7.10 列次数和行次数列次数和行次数定义定义7.15 多项式向量的次数多项式向量的次数对列或行多项式向量对列或行多项式向量其次数定义为组成向量的元多项式次数的最大值，即其次数定义为组成向量的元多项式次数的最大值，即) s () s (,) s () s (p1q1(s)(s)p2, 1i),s (degmaxq2, 1i),s (degmaxii(s)(s)(s)(s)的的次次数

52、数的的次次数数定义定义7.16 列次数和行次数列次数和行次数对对 多项式矩阵：多项式矩阵：M(s)的列次数定义为其列向量的列次数定义为其列向量mj(s),j=1,2p的的次数，次数， M(s)的行次数定义为其行向量的行次数定义为其行向量mj(s),j=1,2p的次数，即的次数，即) s (m) s (m) s (m) s (mMp1q1(s)q2, 1i ,mkMp2, 1j,(s)mkMiririjcjcj(s)M(s)(s)M(s)的的次次数数的的次次数数pq 列次表达式和行次表达式列次表达式和行次表达式结论结论7.24列次表达式列次表达式对对 多项式矩阵多项式矩阵M(s),令列次数为令列

53、次数为 ，再表，再表pq p2, 1j,kMcjcj(s)p1jcjpn1 -k1kcppkkCkn,1ss1ss) s (ss) s (cpc1cpc1S则可表则可表M(s)为列次表达式：为列次表达式：多多项项式式次次数数低低于于则则有有即即方方阵阵若若有有的的低低次次多多项项式式矩矩阵阵，且且为为的的系系数数组组成成的的列列，中中相相应应列列列列的的列列次次系系数数阵阵，且且有有为为cjkhccjkks )(detMdetM(s)M(s),qpp,.2 , 1j ,kp.2 , 1jsjjcjcj(s)MM(s)(s)MM(s)(s)MM(s)(s)M(s)M(s)M(s)M(s)(s)S

54、MM(s)cLcLhchccLccLcLChc例：例：1111ss0102-1-0211-01-0ssss30002111) s (M6kn, 1k, 1k, 1k, 3k3s102-s-22s1s1sss) s (M23cjc4c3c2c13列次表达式列次表达式列次数列次数010221102111000011ss30010001ssM) s () s (M),s (M) s (M) s (S) s (M4kn, , 1k, 3k3s102-s-22s1s1sss) s (M23Lrrrlrlhrrrjr21r 3行行次次表表达达式式行行次次数数7.11 既约性（既约性（reduced pro

55、perty)既约性反应多项式矩阵在次数上的不可简约。既约性反应多项式矩阵在次数上的不可简约。定义定义7.17 方阵的既约性方阵的既约性给定给定 方非奇异多方非奇异多项式矩阵项式矩阵M(s)， 为列为列次数和行次数，则称次数和行次数，则称pp p2, 1j,MMrjcj(s)(s)和和p1jrjp1jcjM) s (degdetM) s (MM) s (degdetM) s (M(s)(s)为为行行既既约约，当当且且当当为为列列既既约约，当当且且当当定义定义7.18 非方阵的既约性非方阵的既约性给定给定 非方多非方多项式矩阵项式矩阵M(s)，pq q1irjqjqjp1icipipik)s (d

56、egdetM)s (Mqq)s (M,qp)s (Mk)s (degdetM,)s (Mpp)s (M,pq)s (M即满足为行既约矩阵，的包含一个至少且为行既约，当且仅当即满足为列既约矩阵的包含一个至少且为列既约，当且仅当3) s (degdetM4k3) s (degdetM3k3) s (degdetM2k, 2k, 1k, 2k7s3ss42s23s2s) s (M21iri21icir2r1c2c122例：例：M(s)为列既约但非行既约为列既约但非行既约既约性判据既约性判据（1）列次）列次/行次系数矩阵判据行次系数矩阵判据结论结论7.26 方多项式矩阵情形方多项式矩阵情形给定给定 方

57、多项方多项式矩阵式矩阵M(s)，令，令Mhc和和Mhr为列次系数和行次系为列次系数和行次系数矩阵，数矩阵，kci和和kri为列次数和行次数，为列次数和行次数，i=1,2,.p.则则M(s)列既约列既约 列次系数矩阵列次系数矩阵Mhc非奇异非奇异M(s)行既约行既约 行次系数矩阵行次系数矩阵Mhr非奇异非奇异pp 结论结论7.27 非方多项式矩阵情形非方多项式矩阵情形给定给定 非方非方满秩多项式矩阵满秩多项式矩阵M(s)，令，令Mhc和和Mhr为列次系数为列次系数和行次系数矩阵，和行次系数矩阵，kcj和和kri为列次数和行次数，为列次数和行次数，i=1,2,.q.j=1,2,.p则则M(s)列既

58、约列既约 且且rankMhc=pM(s)行既约行既约 且且rankMhr=qpq pq qp 0102M,7122M,7s3ss42s23s2s) s (Mhrhc22例：例：（2）多项式向量判据）多项式向量判据结论结论7.28 方多项式矩阵情形方多项式矩阵情形给定给定 方多项方多项式矩阵式矩阵M(s)，kci和和kri为列次数和行次数，为列次数和行次数，i=1,2,.p.则则1）M(s)列既约当且仅当对所有列既约当且仅当对所有 多项式向多项式向量量 使如下构成的使如下构成的 多项式向量多项式向量满足关系式满足关系式pp M(s)p(s)q(s) 0p(s) 1p1pk)s (degpdegc

59、ii0)s(p, imaxiq(s)（2）M(s)行既约当且仅当对所有行既约当且仅当对所有 多项式多项式向量向量 使如下构成的使如下构成的 多项式向量多项式向量满足关系式满足关系式f(s)M(s)h(s) 0f(s) p1k)s (degfdegrjj0)s(f , jmaxjh(s)p1结论结论7.29 既约矩阵的属性既约矩阵的属性在一定限制下（列在一定限制下（列次数次数/行次数序列满足非降性），行次数序列满足非降性）， 列既约矩列既约矩阵的列次数和阵的列次数和 行既约矩阵的行次数在单模行既约矩阵的行次数在单模变换下保持不变。变换下保持不变。pp pp 非既约矩阵的既约化非既约矩阵的既约化结

60、论结论7.30 非既约矩阵的集约化非既约矩阵的集约化给定非既约给定非既约 矩阵非奇异阵矩阵非奇异阵M(s)则必可找到一对则必可找到一对 单模阵单模阵U(s)和和V(s)，使，使M(s)U(s)和和V(s)M(s)为列既约为列既约或行既约。或行既约。pp pp 约约。既既非非列列既既约约，又又非非行行既既例例：) s (M5) s (degdetM, 3k, 4k3,k, 4k2s0)2s (1)s ()2s (1)s ()(r2r1c2c1222sM为为行行既既约约进进行行行行初初等等变变换换对对相相当当于于引引入入单单模模阵阵为为列列既既约约。进进行行列列初初等等变变换换对对) s (M)