AR模型谱估计实用教案

1、平稳随机信号的参数(cnsh)模型qkkpkkknubknxanx01)()()(0)()()(kknukhnx)()()(zAzBzHpkkkzazA11)(qkkkzbzB11)(0)()(kkzkhzH)(jwxeP222)()(jwjweAeB212221)(pkjwkkjweaeA0kb为白噪声(zoshng) 的方差2)(kuAR模型全极点：该模型现在的输出(shch)是现在的输入和过去p个输出(shch)的加权和。第2页/共21页第1页/共21页第一页，共22页。 经常使用的参数(cnsh)模型是线性模型, 其中以有理分式 型应用最为普遍, 有理分式模型一般表现为自回归动均 模型

2、, 即ARMA模型, 自回归模型( AR模型) 和动均模 型( MA模型) 都是YuleWalker 模型的特殊情况。事 实上, 白噪声序列通过全极点型、全零点型滤波器会分 别产生AR, MA和ARMA过程。在这三种参数(cnsh)模型 中, AR模型得到了普遍应用, 因为AR模型的参数(cnsh)计 算是线性方程, 比较简单, 与建立在外推自相关函数时 保持原概率空间的最大熵法是等价的, 同时很适合表示 很窄的频谱, 在作谱估计时, 由于具有递推特性所以所 需的数据较短; 而MA模型表示窄谱时一般需要数量很多的参数(cnsh); ARMA模型虽然所需的参数(cnsh)数量最少, 但 参数(c

3、nsh)估计的算法是非线性方程组, 其运算远比AR模型 复杂, 故AR模型参数(cnsh)估计是重点。第3页/共21页第2页/共21页第二页，共22页。 AR模型法 AR模型法的基本理论 任何具有功率谱密度的随机信号都可以看成由白 噪声 激励一物理网络所形成, 可写成: 该形式称为(chn wi)p阶自回归模型, 简称AR模型。将其进行z 变换可得AR模型的传递函数为: 自回归模型的H(z) 只有极点, 没有除原点以外的零点, 因此又称为(chn wi)全极点型。当用自回归模型时, 功率谱密度的表达式写成:第4页/共21页第3页/共21页第三页，共22页。 式中: 为 白噪声的功率谱密度。因此

4、只要求解出 及所有 的值, 就可以得到随机(su j)信号x(n) 的功率谱。目前估计AR模型参数的方法有: ( 1) 相关函数类算法: ( 2) 反射系数类算法: ( 3) 最小二乘类算法: 第5页/共21页第4页/共21页第四页，共22页。 ( 1) 相关函数类算法: 先估计自相关序列, 然后解YuleWalker方程算出AR系数, 计算出功率谱。经 常使用有偏自相关估计, 以保证自相关矩阵正定性, 此 法适于较长的序列。 ( 2) 反射系数类算法: 它不需要(xyo)估计过程的自相关函数, 而是按照Levinson递推公式直接从序列值递推计算预测误差和反射系数( 递推估计反射系数时,是使

5、各阶的平均预测误差功率最小) , 最后得到模型系数, 计算出功率谱。优点是分辨率高, 适于短序列。具体的算法有Burg 算法和Itakura算法, 两者的主要区别在于计算平均预测误差功率的方法不同, 前者采用向前、向后预测误差功率的算术平均而后者取几何平均。 ( 3) 最小二乘类算法: 可有多种算法, 例如直接用LS方法拟合出模型参数或是采用FTF算法求出模 型参数。第6页/共21页第5页/共21页第五页，共22页。 AR模型法的仿真 YuleWalker 方程 采样频率为200Hz, 采样点数为50和200时, 采 用YuleWalker 方程的仿真图。 当采样点数为50时, 在频率为40H

6、z处的谱峰明显向左偏移, 且在频率为60 70Hz之间出现了虚假谱峰。当采样点数为200时, 谱峰回到40Hz处, 且虚假谱峰的幅度变小。因此(ync)YuleWalker 方程的性能可通过增加采样点数来解决。第7页/共21页第6页/共21页第六页，共22页。 AR模型的参数和x(n)自相关函数有如下的关系: 将上式写成矩阵的形式(xngsh): 即是AR模型的正则方程, 又称尤拉沃克 (YuleWalker)方程。第8页/共21页第7页/共21页第七页，共22页。AR模型(mxng)参数估计的典型算法 1.自相关法 自相关法是AR模型参数求解中最简单的一种方法。L-D递推算法是在满足前向预测

7、均方误差最小的前提下,先求得观测数据的自相关函数,然后利用YuleWalker 方程的递推性质求得模型参数,进而求得功率谱的估值。它是模型阶次逐次(zh c)加大的一种算法,即先计算阶次m=1时的预测系数 ，再计算m=2时的a2(1) , a2(2)和2,按此依次计算到阶次m=p时的ap(1) , ap(2) , , ap(p)及2p ,当2p 满足精度要求时即可停止递推。第9页/共21页第8页/共21页第八页，共22页。 递推公式为: Burg算法 用Burg算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前向序列误差和后向序列误差前后都不加(b ji)窗,使用LevinsonDurb

8、in递推可快速的求解AR系数。Burg算法与自相关法不同,它是使序列x(n)的前后向预测误差功率之和:第10页/共21页第9页/共21页第九页，共22页。 最小。在上式中,当阶次由1至p时, 和 （n）有以下的递推关系(gun x): 可知 仅为km 的函数。令 ,可得到:第11页/共21页第10页/共21页第十页，共22页。 再利用Levinson2Durbin递推算法可得AR模型(mxng)系数: Burg算法是建立在数据基础之上的,避免了先计算自相关函数从而提高计算速度;是较为通用的方法,计算不太复杂,且分辨率优于自相关法,但对于白噪声加正弦信号有时会出现谱线分裂现象。第12页/共21页

9、第11页/共21页第十一页，共22页。改进(gijn)协方差算法 同Burg算法一样,改进协方差（修正协方差）算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前后向预测误差都不加(b ji)窗,但得到的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵,因此正则方程不能用Levinson递推算法求解。Marple于1980年提出了实现协方差方程求解的快速算法,大大提高了谱估计的性能。第13页/共21页第12页/共21页第十二页，共22页。 参数提取时,利用Matlab工具箱中的信号处理中的Levinson函数和arburg函数来分别进行自相关算法(sun f)和Burg算法(sun f)的AR模型参数估

10、计,以AR模型功率谱估计及Matlab实现 平稳随机信号第14页/共21页第13页/共21页第十三页，共22页。 clc; clear;close all; fs=1000;% 采样率 1000 N=1;% 改变数据长度 p=50;%AR 模型阶数 nfft=512;%fft长度 t=0:1/ fs: N; wn=sqrt(1)+randn(1,N*fs+1); %白噪声,均值0, 方差1 s1=sqrt(20)*sin(2*pi*100*t); % 正弦信号1, 信噪比10db s2=sqrt(2000)*sin(2*pi*110*t); % 正弦信号 2, 信噪比30db x=s1+s2+

11、wn; % 观测(gunc)数据 %figure,plot(t,x); x1=xcorr(x,biased); Pxx,f=pyulear(x1,p,nfft,fs); %Yule -Walker 方程 figure,plot(f,10*log10(Pxx); grid on; title(自相关法); 第15页/共21页第14页/共21页第十四页，共22页。 Pxx1,f1=pcov(x,p,nfft,fs); figure,plot(f1,10*log10(Pxx1); grid on; title(协方差法); Pxx2,f2=pmcov(x,p,nfft,fs); figure,plo

12、t(f2,10*log10(Pxx2); grid on; title(修正(xizhng)协方差法); Pxx3,f3=pburg(x,p,nff t,fs); figure,plot(f3,10*log10(Pxx3); grid on; title(Burg 法); 第16页/共21页第15页/共21页第十五页，共22页。从上图可以看出，采用参数建模的谱估计方法得到的功率谱曲线平滑（方差小），分辨率高，可以明显地观察(gunch)到两个谱峰。第17页/共21页第16页/共21页第十六页，共22页。第18页/共21页第17页/共21页第十七页，共22页。 降低( jingd)模型阶次后，可以发现，谱的分辨率降低( jingd)（两个谱峰几乎变成一个谱峰），但是曲线平滑性变好（估计误差降低( jingd)第19页/共21页第18页/共21页第十八页，共22页。第20页/共21页第19页/共21页第十九页，共22页。thanks 通过对功率谱的仿真比较可以得到:自相关法的计算简单( jindn),但谱估计的分辨率较差,而Burg算法和改进协方差算法是较为通用的方法,计算不太复杂,且具有较好的谱估计质量。第21页/共21页第20页/共21页第二十页，共