第二章(4)——刚体定轴转动的转动定理

1、11） 每一质点均以各自每一质点均以各自的半径作圆周运动，圆的半径作圆周运动，圆面为转动平面；面为转动平面； 2） 不同质点不同质点 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐运动描述仅需一个坐标标角坐标角坐标 ., a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 00zz刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向vr 刚体刚体定轴定轴转动转动( (一维转动一维转动) )只需用标量如只需用标量如表示，其表示，其转动转动方向方向可用可用正、负正、负来表示。来表示。2.4 2.4 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 角动量守恒定律角动量守恒定律 0. 回顾、补充回顾

2、、补充2tervte2ntraran2tereratddtt22ddddavrtana角量角量与与线量线量的关系的关系 3PzOFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 0. 回顾、补充回顾、补充M*0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用的转动作用 力矩力矩4zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在转动平面内，把力分解不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量为平行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故

3、对转对转轴的力矩轴的力矩zFF5O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM6OrmzFtFnFrFMsinmrmaFttM （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM tMrF 1. 刚体的转动定律刚体的转动定律72iejjjjrmMM（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2ei,jjjjji jMMm r,0ijjiiji jMMM8 刚体

4、定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量mrJd2OzjmjrjFejF9讨论讨论JM（1）tJJMdd（2）u 转动定律转动定律JM （3） 不变不变M，10u 转动惯量转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmJ11v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布

5、222ddj jjJmrr mrV ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd2rdS2rdl ：面积元：面积元dS ：线元：线元12刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的密度与刚体的密度有关有关（2）与刚体的几何形状及密度与刚体的几何形状及密度分布有关分布有关说说 明明13例例1、求长为求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。轴的转动惯量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：解： 取如图坐标，取如图坐标，dm=dm= dxdx202

6、31mLdxxJLA2212122mLdxxJLLC/m L14例例2、求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：解：任取半径为任取半径为r r 宽为宽为dr dr 的同心的同心细细圆环圆环, ,lrdrdm 2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 2221mRJlRm 转动惯量与其厚度转动惯量与其厚度 l 无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也转动惯量也是是221mRJ 152mdJJCOu 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚

7、体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CJmddCO16质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O17竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？18例题例题3 3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的

8、两端分别悬有质量为分别悬有质量为m m1 1和和m m2 2的物体的物体1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如图所示。如图所示。设滑轮的质量为设滑轮的质量为m m ，半径为，半径为r r。绳与滑轮之间无相对滑。绳与滑轮之间无相对滑动，试求物体的加速度和绳的张力。动，试求物体的加速度和绳的张力。解解: :用隔离体法受力分析用隔离体法受力分析21T rTrJa1m2m1T1T2T2Taa2m1m1G2G111222TGm aGTm a对对12,mm对滑轮对滑轮1911122221TGm aGTm aT rT rJra 约束条件：约束条件：212122121/ 2mmgmmgammJrmm

9、m2121212/ 2()/ 2mmmgTm gammm1211212/ 2()/ 2mmmgTm gammm1T1T2T2Taa2m1m1G2G20当不计滑轮质量即令当不计滑轮质量即令m m=0=0时，有时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m m1 1、 m m2 2 、r r和和J J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a a，再通过加速度把再通过加速度把g g算出来

10、。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m m1 1和和m m2 2相近，从而使它们的加速度相近，从而使它们的加速度a a和速度和速度v v都较小，都较小，这样就能较精确地测出这样就能较精确地测出a a来。来。21稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例5一长为一长为 l 、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lO22 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lO23ttdddddd由角加速度的定义由角加速度的定义lgdsin23d代入初始条件积分得代入初始条件积分得)cos1 (3lgddNFm,lO247-3 如图所示，质量为如图所示，质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直的匀质圆盘，可绕通过盘