第八讲_欧式空间

1、 线性空间中，向量之间的基本运算只有加线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的内容与方法。内容与方法。知识脉络图解知识脉络图

2、解内积欧氏空间欧氏空间的同构标准正交基 长度、夹角与正交对称变换正交变换对称矩阵正交矩阵 实对称阵正交相似于对角阵 正交变换化实二次型为标准形正交子空间正交补空间重点、难点解读重点、难点解读 本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处

3、。要求准确理解和掌握标准这是引入标准正交基的好处。要求准确理解和掌握标准正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基。法由一组基求出标准正交基。 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换的概念及性质，能够

4、运用它们与对应特殊矩阵之间的的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的关系解题对实对称矩阵关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵，要求能熟练地找到正交矩阵Q，使，使 为对角阵，以及以另一种形式出现的同一为对角阵，以及以另一种形式出现的同一个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。TQ AQ 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种

5、分解是很重要的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会求某些子空间的正交补。求某些子空间的正交补。一、内积的构造、判定与证明一、内积的构造、判定与证明1、欧氏空间的概念、欧氏空间的概念 设设V 是实数域是实数域R上的线性空间。如果对上的线性空间。如果对V 中任意两个中任意两个向量向量 有一个确定的实数有一个确定的实数 与它们对应，且满足与它们对应，且满足, , （1）,; （2）,;kkkR （3）,;V （4） 当且仅当当且仅当 时时,0, o,0. 则称则称 为为 与与 的内积，定义了内积的线性空间的内积，定义了内积的线性空间V称为欧氏空间

6、。称为欧氏空间。, 一些常见的欧氏空间一些常见的欧氏空间 （1） 对于实向量对于实向量nR12,na aa12,nb bb内积为内积为1 122,Tnnaba ba b （2） 对于实矩阵对于实矩阵m nR ,ijijm nm nAaBb内积为内积为11,mnijijijA Ba b2、内积的性质、内积的性质 （3） 对于对于 上实连续函数上实连续函数 ， 内积为内积为0,1C ,f xg x ,baf xg xf t g t dt0,1 V 是欧氏空间，是欧氏空间， ，则，则, , , ,iiiiV k k lR （1）,;kk （2）,; （3）,0;oo（4）1111,;mnmniijj

7、i jijijijklk l （5）2, 当且仅当当且仅当 线性相关线性相关, 时，等号才成立。时，等号才成立。3、长度、夹角与正交、长度、夹角与正交（1）长度公式）长度公式,;V （3） 与与 正交正交,0. （2）夹角公式）夹角公式,arccos; 4、长度的性质、长度的性质（1）（非负性）（非负性） ，当且仅当，当且仅当 时时0o0;（2）（齐次性）（齐次性）;kk（3）（三角不等式）（三角不等式）.5、正交向量组的性质、正交向量组的性质（1）当）当 与与 正交时，正交时， 222; （2）如果）如果 两两正交，则两两正交，则12,s 22221212;ss（3）两两正交的非零向量组是线

8、性无关的。）两两正交的非零向量组是线性无关的。 6、度量矩阵的概念、度量矩阵的概念 设设V 是是 维欧氏空间，维欧氏空间， 是是V 的一组基，则的一组基，则称称n12,n 111212122212,nnnnnn 为基为基 的度量矩阵。的度量矩阵。 12,n 7、度量矩阵的性质、度量矩阵的性质 （1）设）设 在基在基 下的坐标分别为下的坐标分别为,V 12,n 1212,TTnnxx xxyy yy则则,Tx Ay 其中其中 是基是基 的度量矩阵，这表的度量矩阵，这表明任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘积明任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积

9、；表示出来，即度量矩阵完全确定了内积；,ijn nA 12,n （2）度量矩阵是对称正定的；）度量矩阵是对称正定的； （3）设）设 是是V 的另一组基，且由基的另一组基，且由基 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为C，则基，则基 的度的度量矩阵量矩阵A和基和基 的度量矩阵的度量矩阵B满足满足 即不同基的度量矩阵是合同的，且合同变换矩阵是两即不同基的度量矩阵是合同的，且合同变换矩阵是两组基得过渡矩阵。组基得过渡矩阵。12,n 12,n 12,n 12,n 12,n .TBC AC8、构造内积的方法、构造内积的方法 在实线性空间在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通中构造内积使之构成欧氏空间，通

10、常采用如下两种方法：常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意）直接构造：对任意 ，直接构造二元实，直接构造二元实函数函数 ，并验证其满足内积的四条公理。，并验证其满足内积的四条公理。,V , 1212,nnbba aaAb 其中其中 11221122,nnnnaaabbb则易验证则易验证 是是V 的内积。的内积。, （2）由正定矩阵确定内积：若）由正定矩阵确定内积：若V 为为 维实线性空间，维实线性空间，任取任取V 的基的基 ，以及，以及 阶正定矩阵阶正定矩阵A，定义：，定义：n12,n n 上面构成内积的两种方法实质上是一回事。这是由上面构成内积的两种方法实质上是一回事。这是由于度量矩阵

11、是正定矩阵，方法（于度量矩阵是正定矩阵，方法（2）由正定矩阵确定内）由正定矩阵确定内积时，基积时，基 的度量矩阵恰为正定矩阵。所以的度量矩阵恰为正定矩阵。所以上述两种方法可以说前者是由二元函数确定度量矩阵，上述两种方法可以说前者是由二元函数确定度量矩阵，后者是由度量矩阵确定二元函数。但值得注意的是，在后者是由度量矩阵确定二元函数。但值得注意的是，在同一组基上以不同的正定矩阵为度量矩阵得到的是不同同一组基上以不同的正定矩阵为度量矩阵得到的是不同的欧氏空间。的欧氏空间。12,n 例例1、试利用正定矩阵确定、试利用正定矩阵确定 的一个内积。的一个内积。 3P x100021 ,011A解解 取取 的

12、基的基 及正定矩阵及正定矩阵 3P x21, , x x对任意对任意 ，其中，其中 3,f xg xP x 20122012f xaa xa xg xbb xb x令令 001210 01211222,2bf xg xa a aA ba baabaabb则则 就是就是 的一个内积。的一个内积。 ,f xg x 3P x 例例2、在、在 维欧氏空间维欧氏空间V 中，证明：中，证明：n（1）不同基的度量矩阵彼此合同；）不同基的度量矩阵彼此合同；（2）度量矩阵是正定矩阵。）度量矩阵是正定矩阵。 证证 设设 ，分别是，分别是V 的基的基 ,ijijn nn nAaBb12,n 和和 的度量矩阵，又设的

13、度量矩阵，又设12,n 1212,nnC 其中其中 是由基是由基 到基到基 的过渡的过渡矩阵。矩阵。 ijn nCc12,n 12,n 法法1 （1）由于）由于11221,2,iiinincccin所以所以11,nnijijsistitstbcc 11,nnsitjststc c 1212,jjiininjcccccAc此即此即TBC AC法法2（1）对任何）对任何 ，若，若 在基在基 下下,V , 12,n 的坐标分别为的坐标分别为 和和 ；在基；在基12,Tnx xx12,Tny yy12, ,n 下的坐标分别为下的坐标分别为 和和 ，则，则由坐标变换公式知由坐标变换公式知12,Tnx x

14、x 12,Tny yy11112222,nnnnxxyyxxyyCCxxyy11221212,Tnnnnyyyyx xxAx xxC ACyy 且有且有1212,nnyyx xxBy 因此因此 ，即，即A与与B合同。合同。TBC AC（2）任取）任取12,Tnxx xxo则则12,nxV 且且o从而从而,0Tx Ax 故度量矩阵故度量矩阵A是正定矩阵。是正定矩阵。 例例3、设、设 是欧氏空间是欧氏空间V 的的 个向量，用个向量，用V 的内积构造出的的内积构造出的 阶行列式阶行列式12,n nn11121212221212,nnnnnnnG 称为称为 的的Gram行列式，证明：行列式，证明： 线

15、性线性无关的充分必要条件是无关的充分必要条件是12,n 12,0.nG 12,n 证证 设有实数设有实数 ，使得，使得12,nk kk1122nnkkko分别用分别用 与之作内积得与之作内积得1,2,iin111212112122221122,0,0,0nnnnnnnnnkkkkkkkkk 该齐次线性方程组的系数矩阵恰为该齐次线性方程组的系数矩阵恰为 ，12,nG 于是于是 线性无关的充分必要条件是上述齐次线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解，即线性方程组只有零解，即 12,0.nG 12,n 例例4、设、设 是欧氏空间是欧氏空间V的一个非零向量，的一个非零向量，12, nV满足

16、条件满足条件,01,2,iin ,0,1,2, ,iji jn ij 证明：证明： 线性无关。线性无关。12,n 证证 设有实数设有实数 ，使得，使得12,nk kk1122nnkkko且假定且假定11,0,0, 1rrnkkkkrn令令1111rrrrnnkkkk 则则1111,rrrrnnkkkk 11,rnijijij rkk 11,rnijijij rkk 由已知条件和假定条件知，上式右端非正，即由已知条件和假定条件知，上式右端非正，即,0, 但由内积的定义知但由内积的定义知 ，从而，从而 ，即有，即有,0, o1111,rrrrnnkkokko于是于是11110,rrrrkkkk 1

17、1110,rrnnrrnnkkkk 由已知条件和假定条件知由已知条件和假定条件知,0 1iikir ,01jjkrjn 结合上两式得结合上两式得,0 1iikir ,01jjkrjn 从而从而01,2,.ikin故故 线性无关。线性无关。12,n 二、标准正交基的求法二、标准正交基的求法 维欧氏空间维欧氏空间V 必存在正交基与标准正交基。必存在正交基与标准正交基。n1、标准正交基的有关结果、标准正交基的有关结果 设设V 是是 维欧氏空间，维欧氏空间， 是是V 的一组标的一组标准正交基，则准正交基，则n12,n （1）标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；）标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；（2）设）设

18、 ，且，且 在基在基 下的坐标为下的坐标为,V , 12,n 1212,TTnnx xxy yy则则1122,Tnnx yx yx y （3）V 中任意向量中任意向量 在基在基 下的坐标为下的坐标为12,n 12,Tn （4）标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩）标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。又若两组基的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基阵。又若两组基的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基。是标准正交基，则另一组基也是标准正交基。2、求标准正交基的方法、求标准正交基的方法 方法方法1 正交化方法正交化方法 设设 是是 维欧氏空维欧氏空间间V的一

19、组基，先用的一组基，先用Schmidt正交化方法将其正交化，正交化方法将其正交化，得到一组正交基得到一组正交基n12,n 1111111111,2,3,iiiiiiiiin 再单位化得到再单位化得到V 的一组标准正交基的一组标准正交基112212111,nnn 方法方法2 初等变换法初等变换法 设设V 的基的基 的度量的度量矩阵为矩阵为A，则，则A为正定矩阵，故由初等变换可求得可逆为正定矩阵，故由初等变换可求得可逆矩阵矩阵C，使得，使得 。再以。再以C为过渡矩阵，由为过渡矩阵，由 得到一组新基得到一组新基 ，即，即12,n 12,n TC ACE12,n 1212,nnC 则则 的度量矩阵就等

20、于的度量矩阵就等于 ，所以，所以12,n TC ACE12,n 是是V 的一组标准正交基。的一组标准正交基。 注注 一般来说用正交化方法较初等变换法简单些，一般来说用正交化方法较初等变换法简单些，因为它不涉及具体的度量矩阵，且计算有规律，但须特因为它不涉及具体的度量矩阵，且计算有规律，但须特别注意空间的内积。别注意空间的内积。 例例1、设、设 是是3维欧氏空间维欧氏空间V 的一组基，这组的一组基，这组基的度量矩阵是基的度量矩阵是123, 111120104A 求求V 的一组标准正交基。的一组标准正交基。解解 采用初等变换法，由于采用初等变换法，由于12131213311110012001110

21、4013100111010010001001rrrrccccAE 10001000111210121002令令11210121002C则则3.TC ACE又令又令123123,.C 即即1121231231,22所以所以 为为V 的一组标准正交基。的一组标准正交基。123, 例例2、在欧氏空间、在欧氏空间 中，其中，其内积内积41234,iRa a a aaR 4123412341,iiia a a ab b b bab令令121 111,0,0,0 ,0,2 22求求434,R 使使1234, 成为成为 的标准正交基。的标准正交基。4R 解解 已是两两正交的单位向量。令已是两两正交的单位向量

22、。令1234,x x x x12, 则由则由12,0,0. 得得123401110222xxxx求得基础解系求得基础解系340, 1,1,0 ,0, 2,0,1它们与它们与 正交，但本身只是线性无关的。正交化得正交，但本身只是线性无关的。正交化得12, 334110,1,1,0 ,0,122再单位化再单位化34111110,0 ,0,222221234, 为为 的标准正交基。的标准正交基。4R则则三、正交补空间的计算与证明三、正交补空间的计算与证明1、正交子空间与正交补的概念、正交子空间与正交补的概念 （1）设）设 是欧氏空间是欧氏空间V 的两个子空间，如果的两个子空间，如果且对任意且对任意

23、恒有恒有 ，则称，则称 与子空间与子空间 正交，正交，记为记为 ；如果对任意；如果对任意 和任意和任意 都有都有 则称则称 与与 正交，记为正交，记为12,W W,V1W,0 1W1W1W2W,0 1W2W12.WW （2）如果）如果 ，且，且 ，则称，则称 为为 的的正交补，记为正交补，记为12WW12VWW2W1W21.WW 2、正交子空间的有关结果、正交子空间的有关结果 （1）如果欧氏空间）如果欧氏空间V 的子空间的子空间 两两正交，两两正交，则则 是直和；是直和；12,sW WW12sVWWW （2）有限维欧氏空间）有限维欧氏空间V 的每一个子空间的每一个子空间W 都有唯一的正都有唯一

24、的正交补，且交补，且dimdimdim.VWW （3）在）在 维欧氏空间维欧氏空间V 的子空间的子空间W 中取一组正交基中取一组正交基12,0,rrn n将其扩充为将其扩充为V 的正交基的正交基12,r 1,rn则则1,.rnWL3、求正交补空间的方法、求正交补空间的方法（1）利用正交补空间的结果（）利用正交补空间的结果（3）；）； （2）若）若 ，利用，利用 来确定来确定 中的向量中的向量12,sWL ,01,2,iis W. 例例1、证明：、证明： 维欧氏空间的每一个子空间维欧氏空间的每一个子空间 的正的正交补空间是唯一的。交补空间是唯一的。n1W 证证 设设 。当。当 时，时， 。当。当

25、 时，时，1dimWm0m 1WVmn 1.WO当当 时，取时，取 的一组正交基的一组正交基0mn1W12,s 再扩充为再扩充为V 的一组正交基的一组正交基 ，则，则121,srn 112,rrnWL再证唯一性。再证唯一性。设设 都是都是 的正交补，则的正交补，则23,W W1W1213,VWW VWW下证下证23.WW对对 ，有，有 ，其中，其中 ，且，且2W131133,WW11310, 113111, 所以所以1, o从而从而33,W此即此即23.WW类似可证类似可证32.WW故故 23.WW 例例2、设、设 是是 维欧氏空间维欧氏空间V的子空间，且的子空间，且 的的维数小于维数小于 的

26、维数，证明：的维数，证明： 中必有一非零向量正交中必有一非零向量正交于于 中的一切向量。中的一切向量。n12,W W1W2W2W1W 证证 设设 ，且，且 ，则，则12dim,dimWsWtst1dim.Wns令令321,WWW则由维数定理知则由维数定理知这是因为这是因为2WV212121dimdimdimdimWWWWWW3dimtnsW 但但 ，于是，于是21dimdimWWVn3dim,tnsWn即即3dim0.Wts 此即此即 21,WWO从而存在非零向量从而存在非零向量21,WW即即21,.WW四、正交变换与对称变换的判定与证明四、正交变换与对称变换的判定与证明1、正交变换的充要条件

27、、正交变换的充要条件 是欧氏空间是欧氏空间V的正交变换的充分必要条件如下：的正交变换的充分必要条件如下：（1） ,;V （2） ,;V （3）若）若 是是V 的标准正交基，则的标准正交基，则12,n 12, ,n 也是也是V 的标准正交基；的标准正交基；（4） 在在V 的任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵。的任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵。2、正交变换的性质、正交变换的性质（1）正交变换是可逆的，其逆变换也是正交变换；）正交变换是可逆的，其逆变换也是正交变换；（2）两个正交变换的乘积仍是正交变换。）两个正交变换的乘积仍是正交变换。3、对称变换、对称变换 若若 是欧氏空间是欧氏空间V 的线性变换

28、，的线性变换， 都有都有,V , 则称则称 是是V 的对称变换。的对称变换。4、对称变换的性质、对称变换的性质 （1）对称变换的本征值都是实数，属于不同本征值）对称变换的本征值都是实数，属于不同本征值的的本征向量彼此正交；本征向量彼此正交； （2）若欧氏空间）若欧氏空间V 的子空间的子空间W 是对称变换是对称变换 的不变子的不变子空间，则空间，则 也是也是 的不变子空间；的不变子空间；W （3）欧氏空间）欧氏空间V 的线性变换的线性变换 是对称变换的充分必要是对称变换的充分必要条件是条件是 在在V 的任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵；的任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵； （4）设）设 是欧氏空

29、间是欧氏空间V 的对称变换，则存在一组标准的对称变换，则存在一组标准正交基，使正交基，使 在该组基下的矩阵为对角矩阵。在该组基下的矩阵为对角矩阵。5、判断正交变换与对称变换的方法、判断正交变换与对称变换的方法 判断欧氏空间的线性变换为正交变换或对称变换，判断欧氏空间的线性变换为正交变换或对称变换，除了利用定义之外，也常利用有关的等价条件。除了利用定义之外，也常利用有关的等价条件。 例例1、对于、对于 的线性变换的线性变换 nR ,nn nARAR 证明：（证明：（1）若）若A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 是正交变换；是正交变换；（2）若）若A是对称矩阵，则是对称矩阵，则 是对称变换。是对称变换

30、。 证证 对任意对任意 ，当，当A是正交矩阵时，有是正交矩阵时，有,nR ,TAAAA ,TTTA A 可见可见 是正交变换。是正交变换。当当A是对称矩阵时，有是对称矩阵时，有 ,TAA ,TTTAA 故故 是对称变换。是对称变换。 证证 对对 ，有，有 ，于是于是 Im,Ker o ,0o 所以所以 ，故，故 Ker Im.Ker又因又因dim ImdimdimnKerKer故故 Im.Ker 例例2、已知、已知 为为 维欧氏空间维欧氏空间V 的对称变换，求证：的对称变换，求证： Im Ker是是 的正交补。的正交补。n 例例3、给定、给定 维欧氏空间维欧氏空间V 的标准正交基的标准正交基

31、设设 是是V 的正交变换，的正交变换， n12,n 12,rWL 是是 的不变子空的不变子空间，证明：间，证明：V 的子空间的子空间 也是也是 的不的不变子空间。变子空间。 ,WVW 证证 根据题设条件知根据题设条件知 121,rrnWLWL 由于是由于是 的正交变换，所以的正交变换，所以 也是也是V 的标准正交基。的标准正交基。 12,n 又又 是是 的不变子空间，所以的不变子空间，所以 是是W标准正交基，从而标准正交基，从而W 12,r 1,.rnW 任取任取11,rrnnkkW有有 11rrnnkkW 故故 是是 的不变子空间。的不变子空间。 ,WVW 例例4、设、设V 是有限维欧氏空间

32、，是有限维欧氏空间， 是是V 的一个正交的一个正交变换，记变换，记 12,WWV 显然显然 与与 都是都是V 的子空间，证明：的子空间，证明：1W2W12.VWW 证证 先证先证 。 12WWO12,WW则则 , 且有且有 , ,0 所以所以. o再证再证 是直和。又因为是直和。又因为12WW 1WoKer 2ImWV 且且 ，又，又12WWV12dimdimdimdim ImWWKerdimnV故故12.VWW五、化简对称变换的矩阵五、化简对称变换的矩阵 设设 是是 维欧氏空间维欧氏空间V的对称变换，化简对称变换的对称变换，化简对称变换的矩阵的步骤如下：的矩阵的步骤如下：n 第一步第一步 取取V 的一组标准正交基的一组标准正交基 ，并求，并求在该基下的矩阵在该基下的矩阵A，即，