高数A1第一讲映射与函数.

1、课程简介课程简介l高等数学-微积分(calculus,源于calculate) 是十七世纪后期建立的一门研究计算的数学分支,主要工作由牛顿,莱布尼兹完成,起源于计算不规则图形面积和变速运动的路程.l主要思想方法:细分,求和,取极限.l研究对象:函数.l核心思想:极限方法.第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节 映射与函数l一、映射l二、函数一、映射一、映射1、映射概念某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座例例定义设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f 使得,Xx有唯一确定的Yy

2、与之对应 , 则记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .Y 的子集)(XfRfXxxf)(称为 f 的 值域值域 注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy集合 X 称为映射 f 的定义域定义域称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,例例1 设设 , 对每个对每个 , . RRf:Rx 2)(xxf 显然显然, 是一个映射是一个映射, 的定义域的定义域 ,值域值域 ffRDf ,0 yyRf它是它

3、是R的一个真子集的一个真子集. 对于对于 中的元素中的元素y, 除除y=0外外,它的原它的原fR像不是唯一的像不是唯一的. 如如y=4的原像就有的原像就有x=2和和x=-2两个两个.例例2 设设 ,1),(22 yxyxX ,1)0 ,( xxY,:YXf对每个对每个 ,有唯一确定的有唯一确定的 Xyx ),(Yx )0 ,(与之对应与之对应.显然显然, 是一个映射是一个映射, 的定义域的定义域 ,值域值域ffXDf .YRf Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在原这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到点的单位圆周上的点投影到x轴的区间轴的区间-1,1上上.例例3 设设

4、,1 , 12,2 : f对每个对每个 ,2,2 x.sin)(xxf f这这 是一个映射是一个映射,其定义域其定义域 ,值域值域2,2 fD.1 , 1 fR 为为X到到Y上的映射（或上的映射（或满射满射）：）：f 为为X到到Y的的单射单射：f是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射，的映射，f若若,YRf 都是都是X中某元素的像中某元素的像.即即Y中任一元素中任一元素y若对若对X中任意两个不同元素中任意两个不同元素,21xx 它们的像它们的像).()(21xfxf f为一一映射（或为一一映射（或双射双射）：）： 若映射若映射 既是单射，又是满射既是单射，又是满射.f如如:例例1 既非单射既非

5、单射, 又非满射又非满射;例例2 不是单射不是单射,是满射是满射;例例3 既是单射既是单射,又是满射又是满射,因此是一一映射因此是一一映射.2. 2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g即,:XRgf对每个,fRy 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f 的逆映射,记作 其定义域,1 f,1ffRD 值域.1XRf 注意:只有单射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:,1 , 1,arcsin)(1 xxxf11 1,1,.2 2ffDR )(XfXf1f设有两个映射,:,:21ZYfYXg其中.21YY 则可以确定

6、一个从X 到Z 的映射, 称为复合映射记作, gf 即即,:ZXgf .,)()(Xxxgfxgf 注意:(1)映射g 和f 构成复合映射的条件:.fgDR (2) fggf两者也不同时有意义.Z)(ufy )(xgf2YXx)(xgu gfgf )(Xg例4 设有映射,1 , 1: Rg对每个对每个,sin)(,xxgRx ,1 , 01 , 1 : f对每个对每个.1)(,1 , 12uufu ,1 , 0:Rgf )(sin)()( ,xfxgfxgfRx .cossin12xx 三三. .函数函数1.函数的概念函数的概念定义定义设数集设数集,RD 则称映射则称映射RDf:为定义在为定义

7、在D上的函数上的函数, 记为记为)(xfy ,Dx x称为自变量称为自变量y称为因变量称为因变量D称为定义域称为定义域 记为记为fD即即fD Dx Dfy称这个值称这个值y为函数为函数f在在x处的函数值处的函数值记为记为)(xf,即即)(xfy 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集),(),(DxxfyyxP 称为函数Dxxfy ),(的图形.Doxy),(yxxyfR )(xfy 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值-称为自然定义域。例如例如函数函数21xy 的定义域是的定义域是1 , 1 函数函数211xy 的定义域是的定义域是)

8、1 , 1( 常见的几种函数常见的几种函数例5 函数y=2它的定义域它的定义域),( D值域值域,2 fR它的图形是一条平行它的图形是一条平行于于x轴的直线轴的直线.Oxyy=2例6 函数 0 , , 0 ,|xxxxxy定义域定义域 D=(=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).fR这个函数称为绝对值函数.Oxyxy 1-1xyoxxx sgn 010001sgnxxxxy当当当当当当例7 函数称为符号函数,定义域 D=(,+),值域 =1,0,1.fR注:对任意的x,有 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x表示

9、不超过x的最大整数例8 取整函数 y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,. 075 定义域 D=(,+),值域 =Z.fR例例9 函数函数 1,110 ,2)(xxxxxfy是一个分段函数.它的定义域它的定义域 D=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431) 3(), 1 (3 fxy 1xy2 yxO12、函数的特性、函数的特性(1)函数的有界性函数的有界性:设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为D，数集数集DX 如果存在数如果存在数1K， 使得使得1 )(Kxf 对每个对每个Xx 都成立，都成立，则称函数则称函数)(xf在在X上有上界上有上界.)

10、(2K) (2K (有下界有下界)如果存在正数如果存在正数M， 使得使得Mxf | )(| 对每个对每个Xx 都成立，都成立，则称函数则称函数)(xf在在X上有界上有界.如果这样的如果这样的M不存在不存在则称函数则称函数)(xf在在X上无界上无界.oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x无界无界有界有上界且有下界函数函数)(xf在在X上无界上无界, 即即:如果对于任意正数如果对于任意正数M,总存在总存在Xx 1,使使Mxf | )(|1成立成立.例如例如:函数函数xxfsin)( ,在在),( 内内显然显然,xxfsin)( 1 , 对每个对每个),( x都成立都成立.xxfsi

11、n)( 在在),( 内有上界内有上界.又易知又易知,xxfsin)( 1 , 对每个对每个),( x都成立都成立.xxfsin)( 在在),( 内有下界内有下界.还可知道还可知道:|sin| )(|xxf 1 , 对每个对每个),( x都成立都成立.xxfsin)( 在在),( 内有界内有界.又例如又例如: 函数函数xxf1)( ,在在) 1 , 0(内内有有xxf1)( 0 xxf1)( 在在) 1 , 0(内内有下界有下界.但是但是, 它在它在) 1 , 0(内内没有上界没有上界,它在它在) 1 , 0(内内是无界的是无界的.不存在这样一个正数不存在这样一个正数M, 使使Mx |1|对每个

12、对每个) 1 , 0( x都成立都成立.(2) 函数的函数的单调性单调性:)(xfy )(1xf)(2xfxyoI设函数f (x)的定义域为D, 区间,DI 1212()(),( ()()f xf xf xf x如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1x2时,恒有则称函数f (x)在区间I上是单调增加的(单调减少的);)(xfy )(1xf)(2xfxyoI(3) 函数的函数的奇偶性奇偶性:偶函数偶函数yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数 y

13、=cosx是偶函数.奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于,Dx 有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.函数 y=sinx是奇函数.函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.(4) 函数的函数的周期性周期性:2l 2l23l 23l函数sinx, cosx的周期是.2 函数tanx的周期是. （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期.有)()(xflxf 对于任一一Dx ,)(Dlx 且恒成立,设函数f (x)的定义域

14、为D,如果存在一个正数l ,使得有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo cQxQxxDy, 0, 1)(例10 狄利克雷函数 它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.3. 反函数与复合函数反函数与复合函数反函数的定义: :设函数)(:DfDf是单射,则它存在如:函数Rxxy ,3是单射,其反函数为.,31Rxxy 若函数f (x)在D上是单调函数,则 也是也是f (D)上的上的单调函数单调函数.0 x0yxyD)(yx 反函数反函数ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函数函数,)(:1DDff 称此映射1 f为函数f 的反函数.逆映射1f1f1f)(xfy 直直接接

15、函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数 直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.相对于反函数),(1xfy 原来的函数y=f (x)称为直接函数.复合函数复合函数定义:设函数 y=f(u)的的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有定义,且,)(1DDg 则由下式确定的函数 Dxxgfy , )(称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f 构成的复合函数通常记为. gf 函数g与函数f 构成复合函数gf的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域fD内,即.)(fDDg -“代入” 注:1.

16、不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;)2arcsin(2xy 2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,uy ,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx ,2cotxy 如如:4. 4. 函数的运算函数的运算设函数f (x), g (x)的定义域依次为,2121 DDDDD则可以定义这两个函数的下列运算：和(差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 积积:gf ;),()()(Dxxgxfxgf 商商:gf .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf5、初等函数、初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数i).幂函

17、数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy ii).指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey iii).对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( iv).三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 1 |sin| x对任意实数对任意实数, x有有| |sin|xx xycos xycos 余弦函数余弦函数1 |cos| x对任意实数对任意实数, x有有正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc v).反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数2 arcsin2 xxyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数 arccos0 xxyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数2 arctan2 x 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数