方程的根与函数的零点

1、人教社人教社 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 必修必修1第三章第三章 函数的应用函数的应用 3.1函数与方程函数与方程 第一课时第一课时方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点4教学过程教学过程2教法学法教法学法1教材分析教材分析教学反思教学反思53重点难点重点难点对教材的理解与把握对教材的理解与把握教材地位：教材地位： 必修一第三章必修一第三章“函数与方程函数与方程”是高是高中中数学的数学的新增内容新增内容，是近年来高考关注的，是近年来高考关注的热点热点. .本章函数与方程是中学数学的本章函数与方程是中学数学的核心核心概念概念，并且与其它知识具有广泛的联系性，并且与其它

2、知识具有广泛的联系性，地位重要。地位重要。对教材的理解与把握对教材的理解与把握教材分析：教材分析：本节课方程的根与函数的零点是整章内本节课方程的根与函数的零点是整章内容的容的一个链结点一个链结点,它从不同的角度它从不同的角度,将数将数与形与形,函数与方程有机的联系在一起。函数与方程有机的联系在一起。教材分析：教材分析：本节课是培养学生本节课是培养学生“等价转化思想等价转化思想”、 “数形结合思想数形结合思想”、 “方程与函数思想方程与函数思想”的优质载体的优质载体.本节课为下节本节课为下节“二分法求方程的近似二分法求方程的近似解解”和后续的和后续的 “算法学习算法学习”提供了基础，提供了基础，

3、具有具有承上启下承上启下的重要作用的重要作用.对教材的理解与把握对教材的理解与把握承上承上启下启下 本课内容本课内容是在刚刚学是在刚刚学习完了前两章函数性质习完了前两章函数性质的基础上，利用函数的的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，上存在零点的判定方法，是前两章内容的延续是前两章内容的延续 。 本节课的主要教本节课的主要教学内容是函数零点学内容是函数零点的概念和函数零点的概念和函数零点存在的

4、判定依据，存在的判定依据，这又为下一节这又为下一节“用用二分法求方程近似二分法求方程近似解解”以及为后续的以及为后续的学习提供理论基础。学习提供理论基础。教材分析教材分析结构分析结构分析教材的地位和作用教材的地位和作用学情分析学情分析(1)基本初等函数的图基本初等函数的图象和性质；象和性质；(2)初步了解一元二次初步了解一元二次方程的根和相应二次方程的根和相应二次函数图像与函数图像与x 轴的关系；轴的关系；(3)初步具备将初步具备将“数数”与与“形形”相结合及转相结合及转化的意识。化的意识。学生具备的学生具备的学生欠缺的学生欠缺的(1)应用函数解决问题应用函数解决问题的意识还不强；的意识还不强

5、；(2)由特殊到一般的归由特殊到一般的归纳总结能力还不够；纳总结能力还不够；(3) 数形结合及转化数形结合及转化的思想意识需进一步的思想意识需进一步培养培养教材分析教材分析学情分析学情分析结构分析结构分析l知识与技能目标知识与技能目标l过程与方法目标过程与方法目标l情感与价值观目标情感与价值观目标教学目标教学目标了解函数零点的概念了解函数零点的概念了解函数零点与方程根的联系了解函数零点与方程根的联系掌握零点存在的判定方法掌握零点存在的判定方法提高由特殊到一般的归纳思维能力提高由特殊到一般的归纳思维能力经历经历“探究探究归纳归纳应用应用”的过程的过程感悟由具体到抽象的研究方法感悟由具体到抽象的研

6、究方法体验自主探究，合作交流的乐趣体验自主探究，合作交流的乐趣培养学生严谨的科学态度培养学生严谨的科学态度激发学生的学习兴趣激发学生的学习兴趣教材分析教材分析学情分析学情分析结构分析结构分析目标分析目标分析重点与难点重点与难点了解函数的零点与方程根的联系，了解函数的零点与方程根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。掌握函数零点存在性的判定依据。引导探究函数零点的概念及零点存引导探究函数零点的概念及零点存在性原理，确定函数零点的个数。在性原理，确定函数零点的个数。问题情境问题情境建立模型建立模型解释解释应用和拓展应用和拓展讨论探究讨论探究实践体验实践体验归纳总结归纳总结升华提高升华提高教材分析教

7、材分析学情分析学情分析结构分析结构分析目标分析目标分析重点难点重点难点教法与学法教法与学法教法学法教法学法教法分析教法分析教法选择采用采用提出问题提出问题引导探究引导探究得出结论得出结论实实际应用际应用教学方法，通过学生亲身经历和教师预设教学方法，通过学生亲身经历和教师预设的各种问题情景，引导学生开展创造性的学习活的各种问题情景，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养学生动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养学生的独立探究能力和态度。的独立探究能力和态度。学法选择元认知理论元认知理论: 学习过程既是认识过程又是情感过程，是学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、知、

8、情、意、行情、意、行”的和谐统一。的和谐统一。教法与学法教法与学法教法学法教法学法教法分析教法分析学法分析学法分析学法学法: 自主探究、合作交流、自主探究、合作交流、观察发现观察发现、归纳总结归纳总结等等课堂教学流程课堂教学流程创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题合作交流，形成概念合作交流，形成概念 初步运用，示例练习初步运用，示例练习 讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理 教学过程教学过程教材分析教材分析教法学法教法学法巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维归纳总结，整体认识归纳总结，整体认识 课后反馈，作业布置课后反馈，作业布置 教学过程教学过程教材分析教材分析教法学法教法学法预案一：预案一

9、：解方程（求根公式或因式分解）；解方程（求根公式或因式分解）；32)(2xxxf预案三：预案三：设设 ，画出函数图象，画出函数图象. 预案二：预案二：计算判别式计算判别式 的值；的值；问题问题1 1：创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题方程方程 有实根吗？有实根吗？你能用多少种方法解决这个问题？你能用多少种方法解决这个问题？0322 xx知识探究（一）：函数零点的概念知识探究（一）：函数零点的概念 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与

10、与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.y= x22x+3结论结论: : 二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。(1)y=x(1)y=x2 2-2x-3-2x-3与与x x2 2-2x-3=0-2x-3=0 (2)y=x(2)y=x2 2-2x+1-2x+1与与x x2 2-2x+1=0-2x+1=0(3)y=x(3)y=x2 2-2x+3-2x+3与与x x2 2-2x+3=0-2x+3=0问题问题2 2：下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x x轴交点

11、和相应方程轴交点和相应方程的根有何关系？的根有何关系？创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题教学过程教学过程教材分析教材分析教法学法教法学法 设计意图：设计意图：从学生最熟悉的问题入手，从学生最熟悉的问题入手，对教材进行二对教材进行二次处理，从学生的次处理，从学生的“最近发展区最近发展区”提问提问, ,为学生归纳方为学生归纳方程与函数的关系打下基础。程与函数的关系打下基础。yx012112xy0132112543教学过程教学过程教材分析教材分析问题问题3 3：上述结论对其他函数成立吗？上述结论对其他函数成立吗？ 看下列函数的图象：看下列函数的图象：)5ln()3( 82)2( 42) 1 (xy

12、yxyx试一试试一试创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题教法学法教法学法12108642-2-4-6-10-551015y=ln(x-6)y=2x-8y=2x-4xB = 3.00 xC = 6.00 xA = 2.00ABC设计意图：设计意图：通过观察几个特殊函数图象，将通过观察几个特殊函数图象，将结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。 3.1.1方程的根与函数的方程的根与函数的零点零点合作交流，形成概念合作交流，形成概念教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析1、函

13、数零点的概念：、函数零点的概念：.)(0)(),( 的零点叫做函数的实数把使对于函数xfyxxfxfy初步应用，示例练习初步应用，示例练习3 , 2, 1 )( )0 , 3(),0 , 2(),0 , 1( )(2, 1 )( 1 )() ()3)(2)(1()(. 1 DCB Axxxxf的的零零点点为为函函数数例例设计意图：设计意图：通过实例区分概念，函数零点是具体通过实例区分概念，函数零点是具体的自变量的取值，而不是一个点，突破了本节课的自变量的取值，而不是一个点，突破了本节课的第一个重点，同时也为得出下面的三个等价关的第一个重点，同时也为得出下面的三个等价关系做好铺垫系做好铺垫。练一

14、练练一练教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析初步应用，示例练习初步应用，示例练习有有实实数数根根方方程程0)()1( xf轴轴有有交交点点的的图图象象与与函函数数xxfy)()2( 有有零零点点函函数数)()3(xfy 问题问题4：以下三个结论有相关性吗？以下三个结论有相关性吗？ 归纳：归纳： 有些方程问题可以转化为函数问题来求解，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，函数问题有时也可转化为方程问题，这正是函数函数问题有时也可转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。与方程思想的基础。想一想想一想教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析初步应用，示例练习初步应用，示例练习

15、)44lg()()2(232)()1(22 xxxfxxxf设计意图：设计意图：巩固概念，熟悉函数零点的求法，即求巩固概念，熟悉函数零点的求法，即求相应方程的实数根，由此渗透了方程与函数的思想，相应方程的实数根，由此渗透了方程与函数的思想，并把握住了教学重点。并把握住了教学重点。用一用用一用教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析练习练习1：求下列函数的零点：求下列函数的零点： 1. 1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会不小心忽略一些镜头，但一个瞬间，一个镜头。有时我们会不小心忽略一些镜头

16、，但我们仍能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），我们仍能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组说明他的行程一定曾渡过河？哪一组说明他的行程一定曾渡过河？ 知识探究二：零点存在性原理讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析设计意图：设计意图：从现实生活从现实生活中的问题，让学生体会动中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部与静的关系，系统与局部的关系，提炼出数学模型的关系，提炼出数学模型.问题问题5:5:在什么情况下，函数在什么情况下，函数 在区间（在区间（a a，b b）一定存在零点？一定存在零点？)(xf教学过程教学过程

17、教法学法教法学法教材分析教材分析 2. 2.将河流抽象成将河流抽象成x x轴，将前后的两个轴，将前后的两个位置视为位置视为A A、B B两点。请问当两点。请问当A A、B B与与x x轴轴怎样的位置关系时，怎样的位置关系时，ABAB间的一段间的一段连续连续不断不断的函数图象与的函数图象与x x轴一定会有交点？轴一定会有交点？ 3.A3.A、B B与与x x轴的位置关系，如何用数学轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？符号（式子）来表示？用用f f（a a）f f（b b）00来表示来表示 设计意图：设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推

18、理，让学生亲历教师预设的层层递进的问题，行合情推理，让学生亲历教师预设的层层递进的问题，体验由原来的图象语言转化为数学语言的语言转化的体验由原来的图象语言转化为数学语言的语言转化的过程，体会成功的喜悦，激发了学生的学习兴趣，并过程，体会成功的喜悦，激发了学生的学习兴趣，并得出原理。得出原理。讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理y)(,(afa)(,(bfbAB0 x讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 零点的存在性原理：零点的存在性原理：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是连续不断的一条曲线连续不断

19、的一条曲线，并，并且有且有f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c (a,b)c (a,b)，使得，使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0 f(x)=0 的根的根. . 说明：说明：判定零点存在性的方法判定零点存在性的方法:（1）利用图象）利用图象; （2）利用原理）利用原理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理abxyOabxyOabxyO教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析问题问题7：观察另三个函数图象你有什么发现观察另三个函数图象

20、你有什么发现？设计意图：设计意图：通过小组通过小组讨论，拓讨论，拓展原理的展原理的内涵，内涵，培培养学生的养学生的概括归纳概括归纳能力。能力。原理不可逆原理不可逆单调仅有一个零点单调仅有一个零点零点的个数不唯一零点的个数不唯一x0yab图象连续是必要的图象连续是必要的问题问题6 6：已知函数已知函数y=f (x)在区间在区间a,b 满足满足f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内存在零点吗内存在零点吗？如果不存在，你能举出一个反例吗如果不存在，你能举出一个反例吗？x0yab巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维.62ln)(. 2的零点的个数求函数例xxxf分析二：该函数

21、有几个零点？分析二：该函数有几个零点？分析一：能否确定零点区间；分析一：能否确定零点区间；用一用用一用教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 由列表和图像可知由列表和图像可知f(2)0f(2)0，即即f(2)f(3)0,f(2)f(3)0,说明这个函数说明这个函数在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数, ,因而因而仅有一个零点。仅有一个零点。解法一：解法一：用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象x0246105y241086121487

22、643219.62ln)(. 2的的零零点点的的个个数数求求函函数数例例 xxxf巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维123456789-4-1.30691.09861.09865.60497.79189.945912.079414.1972x)(xf解法三解法三：通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题转化转化为讨为讨论方程的根个数问题，再论方程的根个数问题，再转化转化为两个简单函数的图象交点个数问题，为两个简单函数的图象交点个数问题，其步骤是：其步骤是： 令令f f（x x）=0, =0, 得方程得方程 方程变形，方程变形，lnx=-2x+6 ,ln

23、x=-2x+6 , 拆成两个函数拆成两个函数g g（x x）=lnx, h=lnx, h（x x）=6-2x=6-2x 画两函数图象画两函数图象 根据两函数图象根据两函数图象交点个数交点个数 即为原函数的即为原函数的零点个数零点个数, ,得结果得结果. .巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维.62ln)(. 2的的零零点点的的个个数数求求函函数数例例 xxxfy=2x +6y= lnx60 x1 2 3 4y1解法二解法二：估算：估算f(x)在各整数处的取值的正负：在各整数处的取值的正负：x1234f(x) 设计意图：设计意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确通过例题分析，学会用零点存在性

24、定理确定零点存在的区间，并能结合函数性质，函数的图像，定零点存在的区间，并能结合函数性质，函数的图像，判断零点个数，判断零点个数，突破了本节课的难点突破了本节课的难点. x)(xf12345672397 115 12 26 2 . 3 . 4 . 5 .) (6 , 1DCBA个个上上的的零零点点至至少少有有则则函函数数在在区区间间巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维练一练练一练教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 练习练习2.已知函数已知函数 的图象是连续不断的图象是连续不断的，有如下的，有如下 ， 对应表对应表)(xf)(xfx巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维), 3.(

25、)1 ,1.( )3 ,2.( )2, 1.() (2ln.3DeCBAxx必有一个根的区间是方程练习设计意图：设计意图：方程与函数思想的体现，数形结合思方程与函数思想的体现，数形结合思想的应用。想的应用。试一试试一试教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析?所所在在的的一一个个整整数数区区间间吗吗你你能能写写出出以以上上函函数数零零点点53)(3 xxxf 变式训练：变式训练：判断函数判断函数 的零点个数？的零点个数？归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识课堂小结知识内容知识内容三种思想三种思想函数零点的概念函数零点的概念函数零点存在性定理函数零点存在性定理数形结合思想数形结合思想函数与方程的思想函数与方程的思想化归与转化的思想化归与转化的思想设计意图：设计意图：对本节课对本节课所学的知识有一