第7章应力状态和强度理论(12)

1、1第第 七七 章章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论低碳钢低碳钢拉伸拉伸 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸铸铁拉伸7.17.1 概述概述一、问题的提出一、问题的提出( (观察实验现象）观察实验现象）脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁钻头的变形钻头的变形扭转扭转+ +压缩压缩如果如果 max max是否强度没问题了？是否强度没问题了？4x x x x yx x y x yx xx 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上

2、的应力，而且也要研究斜截面上的应力。要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。 5哪一个面上哪一个面上？哪一点哪一点？哪一点哪一点？哪个方向面哪个方向面？ 研究点的应力状态，就是要明确构件在什么地方、什么研究点的应力状态，就是要明确构件在什么地方、什么方向最危险，从而建立复杂应力状态下的强度条件方向最危险，从而建立复杂应力状态下的强度条件6单元体很小，可以认为单元体很小，可以认为: :(1)(1)各个面上的应力均匀分布；各个面上的应力均匀分布；(2)(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。7yxz x y z xy yx yz zy z

3、x xz8xyx yyx9xyxxyyx10点的应力状态的描述点的应力状态的描述示例一示例一：FPl/2l/2S平面平面1154321 5432 11x 12 2x 2 23 3 3S S平面平面4PlFMz 2PF12示例二示例二FPlaS13xzy4321S S平面平面FPlaS14F laS1pWT zzWM 3pWT zzWM zMzT4321yxM FlT Fa2AFsWTp34 15xyx yy x a 0 nF 0 tF y a a x dAx y 16 0 nF0 sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxx 0 tF0 cos)

4、sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxy a ax d dA Ax y 17利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xy 222121sincos)()(xyxyx 2221cossin)(xyx 18xyx y y x a使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角角：由由x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。y a a x ntx y x19试求试求 斜面上

5、的应力；斜面上的应力；例题例题 一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30 ，MPa60 x MPa,30 xy ,MPa40 y 已知已知20解：解： 斜面上的应力斜面上的应力 2222sincosxyyxyx )sin()cos(6030602406024060 MPa029. y x xy 。30 ，MPa60 x MPa,30 xy ,MPa40 y 已知已知21 斜面上的切应力斜面上的切应力 222cossinxyx )cos()sin(60306024060 MPa358. y x xy 。30 ，MPa60 x MPa,30 xy ,MPa

6、40 y 已知已知22 xyxyx222222 )()(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆。应力圆。23xyxyx222222 )()(RCxyxR222 )(2yx 24应力圆的画法应力圆的画法A( x , x)D( y , y)c xy 2RxyxR222 )(y yxADx25几种对应关系几种对应关系A( x , x)D( y , y)c xy 2y y xx H ),(aa H 226 y x y x oc20 AD0 0 27 o o28 2214212xyxyx 2224212xyxyx oc A12 y x y x02 29yxx 220t

7、an oc A1 2 y x y x02 30A max 半径）(minmax22314212xyx c o min31xyx 221 tan02 12 45A maxc o min12 321 时，正应力是否为零时，正应力是否为零 ？A maxc o min最大切应力所在截面最大切应力所在截面正应力一般不为零。正应力一般不为零。最大（最小）正应力所在截面上的最大（最小）正应力所在截面上的切应力为零。切应力为零。33试求试求（1 1） 斜面上的应力；（已完成）斜面上的应力；（已完成） （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。一点处的平面应力

8、状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x x。30 ，MPa60 x MPa,30 x ,MPa40 y 已知已知34（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面（推荐使用）（推荐使用）2yx xyx222 )( MPa3 .682yx xyx222 )( MPa348. MPa3480MPa,368321.,. y x x35主平面的方位：主平面的方位：0.6406060220 yxx tan,.5150 105.59015.5900 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15150. 主应力主应力 方向：方向：3 51050. y x x36（3 3）主应力单元

9、体：）主应力单元体：y x x 515.1 3 37定义定义三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。321 x y z xy yx yz zy zx xz2 3 1 38I 1 2 3 x x max=zpypxp 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 1 3 2 3 2 1三向应力分析三向应力分析（1 1）弹性理论证明，图弹性理论证明，图 a 单元体任意一个截面上的应单元体任意一个截面上的应 力都对应着图力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点。的应力圆上或阴影区内的一点。（2 2）整个单元体内的最大切应力为整个单元体内的最大切应力为:231 m

10、ax 1xyz图图a 2 3图图b max1 2 3 40最大主应力：最大主应力： max= 1极值切应力：极值切应力：222313132322121 ，最大切应力：最大切应力： max= 1,3极值切应力所在平面与主平面夹角极值切应力所在平面与主平面夹角 45图图b max1 2 3 41求图示单元体的主应力和最大切应力求图示单元体的主应力和最大切应力（MPa）xyz504030ABC解：解：(1)(1)由图知由图知 yz 面为主平面之一面为主平面之一501 （2 2）主应力计算）主应力计算（平面应力的主应力公式计算）（平面应力的主应力公式计算）122584043021230 42xyz50

11、4030ABC322274043021230 442131 )(max 5012 431. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy x1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 44 32111 E1 E1 E2 E3 11232345231 32111 E 13221 E 21331 E46)(zyxxE 1Gxyxy )(xzyyE 1)(yxzzE 1Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz47a1a2a3体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系321aaaV )(

12、)()()(3213213322111111 aaaaaaV321 VVV体积应变：体积应变：48)()(zyxEE 2121321代入本构关系，得到体积应变与应力分量间代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系的关系: :对于平面纯剪应力状态（如扭转）对于平面纯剪应力状态（如扭转）1 1= -= -3 3 = = ，可见：这种情况的可见：这种情况的 = = 049为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容器表面环向应变器表面环向应变 t = =350l0-6；容器平均直径；容器平均直径D = 500 mm，壁厚壁厚 =10 mm，E =

13、210GPa， =0.25。 求：求：1.1.横截面和横截面和纵截面上的正应力表达式；纵截面上的正应力表达式； 2.2.内压力内压力pppx t mlpODxABy50 4pDm 2pDt 容器的环向和轴向应力为容器的环向和轴向应力为以应力应变关系求内压：以应力应变关系求内压： 241EpDEmttMPa363250250103500101021042469.).(.)( DEpt t m已知环向应变已知环向应变 t =350l0-6求：求：1.1.横截面和纵截面上的正应力表达式；横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.2.内压力内压力51 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在弹性范围内

14、，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能应变能，用用V 表示表示。 某点处单位体积内的应变能称为该点的应变能密某点处单位体积内的应变能称为该点的应变能密度，用度，用 v 表示。表示。单向应力状态单向应力状态( (轴向拉伸轴向拉伸) )的的应变能密度：应变能密度：21 v52空间应力状态的空间应力状态的应变能密度：应变能密度：形状改变能密度形状改变能密度vd体积改变能密度体积改变能密度vVdVvvv 2321V621 Ev 213232221d61 Ev 33221121 v2321 m53max,max AFN（拉压）（拉

15、压）maxmax WM（弯曲）（弯曲）*max zzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）max pWTmax max 54max max 满足满足max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？55强度理论：强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。理论。56 (1) (1) 脆性断裂：脆性断裂：材料无

16、明显的塑性变形即发生断裂，材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论 (2) (2) 塑性屈服（流动）塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂

17、的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论571 1、最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）u1 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得bu u 58b1 断裂条件断裂条件 nb1强度条件强度条件最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转592 2、最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的

18、最大拉应变（线变形）达到简单拉都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。伸时的破坏伸长应变数值。 u1 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得uE/)(3211 E/bu 60 实验表明：实验表明：最大拉应力理论适合以拉应力为主的的情况。最大拉应力理论适合以拉应力为主的的情况。最大伸长拉应变理论与石料、混凝土在压缩时的纵向开裂现象一最大伸长拉应变理论与石料、混凝土在压缩时的纵向开裂现象一致，该理论适用以压为主的情况。但因它不如最大拉应力理论应致，该理论适用以压为主的情况。但因它不如

19、最大拉应力理论应用方便故在工程中应用较少。用方便故在工程中应用较少。)( nb321最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEb )(3211b )(321即即61 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。u max3 3、最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得u2u/s 231/ )

20、(max 62s31 屈服条件屈服条件 ss31n强度条件强度条件最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转63实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性：2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%

21、。2最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）64 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。dudvv 213232221d)()()(61 Ev 构件危险点的形状改变比能。构件危险点的形状改变比能。dv2du31sEv 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得duv6522132322212)()()(s ss213232221)()()(21n66231r强度理论强度理论r67 1r,1)( 321r,2

22、213232221r,4)()()(21 r 31r,3r6835.7MPa0.17000163 tWTMPa37. 6101 . 050432 AP2222)( MPa323935.7)26.37(26.3722 32MPa 0 39MPa321 , 1AA A A69各种强度理论的适用范围归纳：各种强度理论的适用范围归纳：1 1、本章介绍的四种常用的强度理论及、本章介绍的四种常用的强度理论及* *莫尔理论莫尔理论( (未介绍）未介绍）仅适仅适用于常温、静载条件下的匀质、连续、各向同性材料。用于常温、静载条件下的匀质、连续、各向同性材料。2 2、不论脆性或塑性材料，、不论脆性或塑性材料，在三

23、向拉伸应力状态下，都将发生在三向拉伸应力状态下，都将发生脆性断裂。脆性断裂。3 3、对于脆性材料，二向拉伸应力状态应采用最大拉应力理论；、对于脆性材料，二向拉伸应力状态应采用最大拉应力理论；而复杂应力状态而复杂应力状态 10，30，30 的情况，的情况，* *宜采用莫尔理论。宜采用莫尔理论。4 4、低碳钢一类的塑性材料，除三向拉伸应力状态外，第三、低碳钢一类的塑性材料，除三向拉伸应力状态外，第三、四理论均可用，第三理论简便，第四理论较准确。四理论均可用，第三理论简便，第四理论较准确。5 5、在三向压缩应力状态下，塑性、脆性材料都将发生屈服失在三向压缩应力状态下，塑性、脆性材料都将发生屈服失效效

24、。用第四理论更妥。用第四理论更妥。108填空题填空题1 1 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于因是冰处于 应力状态，而水应力状态，而水管处于管处于 应力状态。应力状态。三向压三向压二向拉二向拉课堂练习课堂练习109填空题填空题2 2石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第截面裂开，这与第 强度理论强度理论的论述基本一致。的论述基本一致。110填空题填空题3 3一球体在外表面受均布压力一球体在外表面受均布压力 p = 1 MPa 作用，作用，则在球心处的主应力则在球心处的主应力 1 = MPa，

25、2 = MPa， 3 = MPa。111填空题填空题 4 4三向应力状态中，若三个主应力都等于三向应力状态中，若三个主应力都等于，材料的弹性模量和泊松比分别为材料的弹性模量和泊松比分别为 E 和和 ，则三个主应变为则三个主应变为 。 ）（）（）（213313223211111 EEE112填空题填空题 5 5第三强度理论和第四强度理论的相当应力第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为分别为r3及及r4，对于纯剪应力状态，恒有，对于纯剪应力状态，恒有r3r3r4r4。 3210， 2313 )(r 3212132322214 )()()(r32/113填空题填空题 6 6危险点接近于三向均匀受

26、拉的塑性材料，应选危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用用 强度理论进行计算，因为强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为此时材料的破坏形式为 。114轴向拉伸构件，按四个强度理论中的（轴向拉伸构件，按四个强度理论中的（ ）强度理）强度理论计算的相当应力相同。论计算的相当应力相同。 A.第一和第二；第一和第二； B. 第三和第四；第三和第四；C.第一和第三；第一和第三； D. 第一、第二、第三和四。第一、第二、第三和四。圆轴受扭时，轴表面各点处于（圆轴受扭时，轴表面各点处于（ ）。）。A. 单向应力状态；单向应力状态； B. 二向应力状态；二向应力状态； C. 三向应力状态；三向应力状态

27、； D. 各向等应力状态。各向等应力状态。115等截面杆受轴向拉力作用，如图所示，等截面杆受轴向拉力作用，如图所示，A A、B B、C C三点三点的应力状态（的应力状态（ ）。）。 A. 各不相同；各不相同； B. 相同；相同； C . 仅仅A、C两点的应力状态相同；两点的应力状态相同； D. 仅仅B、C两点的应力状态相同。两点的应力状态相同。116图示某危险点的应力状态，其最大正应力图示某危险点的应力状态，其最大正应力1和最大切应力为（和最大切应力为（ ）。）。A 120MPa，30 MPa；130 MPa, 80 MPa；150MPa，60 MPa；140 MPa, 80MPa。117 两

28、应力单元分别如图（两应力单元分别如图（a）（）（b）所示，且正应力所示，且正应力与切应力的数值相等，由第三强度理论比较两者与切应力的数值相等，由第三强度理论比较两者的危险程度，则（的危险程度，则（ ）。）。A（a）为平面应力状态，（）为平面应力状态，（b）为空间应力状态，）为空间应力状态，两者无法比较；两者无法比较；应力状态图（应力状态图（b）较图（）较图（a）危险；）危险；两者的危险程度相同；两者的危险程度相同；应力状态图（应力状态图（a）较图（）较图（b）危险。）危险。（a）（b）118以下结论中（以下结论中（ ）是正确的。）是正确的。A第一、二强度理论主要用于塑性材料；第一、二强度理论主

29、要用于塑性材料；第三、四强度理论主要用于脆性材料；第三、四强度理论主要用于脆性材料；第一强度理论主要用于单向应力状态；第一强度理论主要用于单向应力状态； 第四强度理论可用于塑性屈服的任何应力状态。第四强度理论可用于塑性屈服的任何应力状态。119一个应力状态有（一个应力状态有（ ）主平面。）主平面。A两个；两个； 最多不超过三个；最多不超过三个； 无限多个；无限多个； 一般情况下有三个，特殊情况下有无限多个。一般情况下有三个，特殊情况下有无限多个。 120图示矩形截面梁上属于图示矩形截面梁上属于复杂应力状态的是（复杂应力状态的是（ ）。）。A截面下边缘；截面下边缘； 截面上边缘；截面上边缘；只在

30、中性轴只在中性轴z上；上；除上、下边缘以外的其它位置。除上、下边缘以外的其它位置。121图示应力圆所在的应力状态是图示应力圆所在的应力状态是( ) A 二向应力状态；二向应力状态； B 单向应力状态；单向应力状态； C 三向应力状态。三向应力状态。122 以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，建立起来的经验性强度理论。建立起来的经验性强度理论。 图（图（a）中各应力圆）中各应力圆为材料在各种应力状态下为材料在各种应力状态下破坏时，由最大、最小主破坏时，由最大、最小主应力画出的应力画出的极限应力圆极限应力圆，它们的它们的包络线包络线ABC，即为，即为

31、判断材料破坏与否的依据，判断材料破坏与否的依据，当某点的当某点的应力不超过应力不超过ABC时，则认为该点不破坏时，则认为该点不破坏。（a）123 由于得到该包络线需要大量的试验，工程中常由于得到该包络线需要大量的试验，工程中常采用单向拉伸和压缩两个应力圆的切线代替该包络线。采用单向拉伸和压缩两个应力圆的切线代替该包络线。图（图（b）所示。）所示。（b）强度计算时引入适当的安强度计算时引入适当的安全因数，即全因数，即cctt 124（c）对于图（对于图（c）应力圆）应力圆O3代表的代表的任意应力状态，任意应力状态，强度条件表达式为：强度条件表达式为： t 3ct1或写成：或写成： 3ct1rM

32、t rM125求图示单元体的主应力及主平面的位置求图示单元体的主应力及主平面的位置 ( (单位：单位：MPa) )4532532595150解：解：(1)(1) 应力坐标系如图应力坐标系如图(3) AB的垂直平分线与的垂直平分线与 轴的交点轴的交点 C 即即是圆心，是圆心， 以以 C 为圆心，以为圆心，以 AC为为 半径画圆半径画圆),(32545B),(32595A(2)(2)在在坐标系内画出点坐标系内画出点BAC 3 1 2 (MPa) (MPa)20MPa02 1 2 0126 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPa02 EDF4532532595150(4)(4)按按图计算图计算圆心坐标圆心坐标和和半径半径 OC