高等数学-概率74 几个常用统计量的分布new

1、 第七章第四节 几个常用统计量的分布 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.一、一、 统计量统计量 设设(X1, X2 ,Xn)是从某总体中抽得的样本是从某总体中抽得的样本，f (X1, X2 , , Xn) )是是(X1, X2 ,Xn)的函数，且的函数，且其中不含任何未知参数，则其中不含任何未知参数，则称称f (X1, X2 ,Xn)维一个统计量。维一个统计量。样本的函数样本的函数不含任何未知不含

2、任何未知参数参数例、例、设设(X1, X2 )是来自正态总体是来自正态总体 的的样本，其中样本，其中 未知，未知， 已知。则下列哪些是已知。则下列哪些是统计量？统计量？12,XX2,N 12,XX2212X X是是不是不是是是 二、几个常见统计量二、几个常见统计量样本均值样本均值样本方差样本方差它反映了总体均值它反映了总体均值 的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差 的信息的信息11,niiXXn22111niSXXn样本标准差样本标准差2111niSXXn样本样本 k 阶（原点）矩阶（原点）矩样本样本 k 阶中心矩阶中心矩 k=1,2, 它反映了总体它反映了总体k 阶矩阶矩 的信息的信

3、息 它反映了总体它反映了总体k 阶阶 中心矩的信息中心矩的信息11nkkiiAXn11nkkiiBXXn 三、抽样分布三、抽样分布 统计量是样本这个统计量是样本这个 n维随机变量的维随机变量的函数，因此也是一个随机变量，它的函数，因此也是一个随机变量，它的分布称为分布称为“抽样分布抽样分布” 。抽样分布应如何确定呢？抽样分布应如何确定呢？ 首先，我们介绍数理统计中常用的三大分布首先，我们介绍数理统计中常用的三大分布（1） 分布分布2设设X1, X2, , Xn相互独立，且都服从标准正态相互独立，且都服从标准正态分布分布 N ( 0, 1 )，则称，则称221niiX服从自由度为服从自由度为n的

4、的 分布，简记为分布，简记为 22 2n（2） 分布分布t/XTY n设设X N(0,1)，Y ，且，且X与与 Y 相互独立，相互独立，则称则称 2n服从自由度为服从自由度为n的的 分布，简记为分布，简记为T t t n（3） F 分布分布12/X nFY n服从自由度为服从自由度为 ( n1, n2 ) 的的 F 分布，简记为分布，简记为 F F(n1, n2)设设X ，Y ，且，且 X 与与 Y 相互相互独立，则称独立，则称21n22n下面，我们给出几个来自正态总体的常用抽下面，我们给出几个来自正态总体的常用抽样分布样分布定理定理1 2,N 设设X1, X2, , Xn是来自同一正态总体是

5、来自同一正态总体 的样本，的样本， 是样本均值，则有是样本均值，则有X(2) /Xn0,1NX2,/Nn (1) 定理定理2 2,N 设设X1, X2, , Xn是来自同一正态总体是来自同一正态总体 的样本，的样本， 和和 分别是样本均值和样本方差，分别是样本均值和样本方差，则有则有X2S(2) 和和 相互独立。相互独立。X2S221nS21n(1) 定理定理3 2,N 设设X1, X2, , Xn是来自同一正态总体是来自同一正态总体 的样本，的样本， 和和 分别是样本均值和样本标准分别是样本均值和样本标准差，则有差，则有XS/XTSn1t n定理定理4 Y22S22,N 21,N 设设X1,

6、 X2, , Xn1和和Y1, Y2, , Yn2分别是来自两分别是来自两个相互独立的正态总体个相互独立的正态总体 和和 ， ， ， 分别是两个样本各自的样本分别是两个样本各自的样本均值和样本方差，则有均值和样本方差，则有X21S12221122121211112XYTnSnSnnnn122t nn定理定理5 22S222,N 211,N 设设X1, X2, , Xn1和和Y1, Y2, , Yn2分别是来自两分别是来自两个相互独立的正态总体个相互独立的正态总体 和和 ， 分别为两个样本各自的样本方差，则分别为两个样本各自的样本方差，则21S22112222/SFS121,1F nn本章小结一

7、、一、总体，样本，样本的分布总体，样本，样本的分布二、二、 统计量及其分布统计量及其分布 1. 几个常见统计量几个常见统计量 2. 统计三大分布统计三大分布样本均值样本均值, 样本方差，样本样本方差，样本 k 阶阶(原点原点)矩矩, 样本样本 k 阶中心矩阶中心矩t 分布分布,F分布分布2分布，分布， 3. 正态总体的常用抽样分布正态总体的常用抽样分布 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体 的样本的样本, 则则2,N X2,/Nn (1) ， /Xn0,1N221nS21n(2) /XSn1t n(3)22,N 21,N 设设X1, X2, , Xn1和和Y1, Y2, , Yn2分别是来自两分别是来自两个相互独立的正态总体个相互独立的正态总体 和和 222,N 211,N 设设X1, X2, , Xn