第6讲二次曲面

1、1高等院校非数学类本科数学课程 多元微积分学多元微积分学 大大 学学 数数 学学（二二）第一章第一章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何2上节内容回顾上节内容回顾第五节第五节 空间曲面、空间曲线及其方程空间曲面、空间曲线及其方程本节教学要求： 了解空间曲面、空间曲线的概念。 熟悉球面方程、柱面方程、旋转曲面方程。 了解空间曲线的一般方程、参数方程。 能计算空间曲线在坐标面上的投影。3第六节第六节 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程了解了解常见的二次曲面的方程与图形、特性.4xyzxyzo平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平

2、行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzoo：5xzy2l柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l6例解解 2 , 与曲面准线为平面轴求母线平行于zz 194222的交线的柱面方程。zyx 准线方程1

3、94222zyx 2z 2 上的曲线即为平面z ) 2 ( , 59422上在平面zyx 故所求柱面方程为 ) ( 59422轴的椭圆柱面母线平行于。zyx7一条平面曲线 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :8的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM9xy12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转12

4、2222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z10 :曲面的对称性 , ),(),( . 1zyxFzyxF若 )( 其余类推对称。则曲面关于坐标面 xy , ),(),( . 2zyxFzyxF若)( 其余类推轴对称。则曲面关于坐标轴 x , ),(),( . 3zyxFzyxF若 称。则曲面关于坐标原点对11 常见的二次曲面常见的二次曲面1.椭球面2. 双曲抛物面3. 椭圆抛物面4. 单叶双曲面5. 双叶双曲面12定义定义: 上三元二次方程所表示的曲面称二次曲面.其中 不全为0.0321321222fzeyexeyzdxzdxydczbyax321,dddcb

5、a截痕法截痕法思想思想:用一些平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线的形状,然后加以综合,进而了解曲面的全貌.一、二次曲面方程一、二次曲面方程131. 方程:1222222czbyax(a, b, c 0) 椭球面zyxz14讨论:3)截痕:22022221czbyaxz = z0为椭圆族. z0 = 0时, 最大.| z0 | = C 时, 缩为一点(0, 0, z0)若 a=b=c, 为一球面.1) 有界性.zoxyOabbcca1222222czbyax2) 对称性.15 当 ab 时为旋转椭球面;z162. 方程zqypx2222(p, q 同号)讨论: 椭圆抛物面.2)02222z

6、qypxz = z0z00 椭圆.qyzpx22202y = y0 抛物线. 开口朝上.1) p, q 0时, z 0 . z = 0时, x = y = 0zyxo图2117pxzqy22202x = x0 抛物线. 开口朝上.若 p, q 0) 单叶双曲面单叶双曲面.221zc20by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 2222xyab221zc21虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221bycz

7、ax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0225. (a, b, c 0) 双叶双曲面双叶双曲面.0zxy2222xyab22zc123),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面24),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到. )xyz25下列方程表示怎样的曲面.(1)194222zyx(2)36493622zyx(3)09222zyx(4)022xzy( 椭 球 面椭 球 面 )(椭圆抛物面椭圆抛物面)( 圆 锥 面圆 锥 面 )(旋转抛物面旋转抛物面)思考思考261. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .27三元二次方