2015届高考数学(理)二轮练习：数列、不等式(含答案)

1、数列、不等式要点回扣 用Si1 .已知刖 n 项和 Sn = ai +a2+a3+ an,则 an= iSn- Sn i (n2)由Sn求an时，易忽略n = 1的情况.n= 1n 2问题1已知数列an的前n项和Sn=n2+1,则an =.2, 答案2n 1,2 .等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an+1 an=d(d为常数)或an+1-an= an-an 1(n2).(2)等差数列的通项：an=a+(n 1)d 或 an=am+ (nm)d.nfa annfn 1(3)等差数列的前 n项和：Sn = -2 Sn=na1 + U2一任等差数列的性质当公差dw。时，等差数

2、列的通项公式an= a+(n1) d= dn+a1一d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和S1=na1 + n(n2_1 d = 2n2+(a_2)n是关于n的二次函数且常数项为 0.若公差d0,则为递增等差数列；若公差 d2).如ananan-15一个等比数列an共有2n+1项，奇数项之积为 100,偶数项之积为120,则an+1 = .(2)等比数列的通项：an= aqn 1或an= amqn m.等比数列的前n项和：当q=1时，Sn=na1；当qw1时，Sn=a1-q)= a1： anq1 - q 1 - q易错警示：由于等比数列前 n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和

3、时，首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q = 1和qw 1两种情形讨论求解.等比中项：若a, A, b成等比数列，那么 A叫做a与b的等比中项.值得注意的是，不是 任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为平b.如已知两个正数a, b(awb)的等差中项为 A,等比中项为 B,则A与B的大小关系为 AB.(5)等比数列的性质当 m+n=p+q 时，则有 am an=apaq,特别地，当 m+n=2p 时，则有 am an= a2p.问题3 (1)在等比数列an中，a3+a8=124, a4a7=-512,公比q是

4、整数，则aIo =. (2)各项均为正数的等比数列 an中，若a5 a6=9,则log3a + log 3a2+ log3a10=. 答案(1)512 (2)104 .数列求和的方法公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；错位相减法；(5)裂项法；如：七) n(n+1) n n+1 n(n+k) kF n+k/(6)并项法.数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法.1问题 4数列an满足 an+an+1 = 2(nC N , n 1),右 a2= 1, Sn无an的刖 n 项和，则 S2i 的 值为.9答案25 .在求不等式的解集、定义域

5、及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等 式表木.问题5不等式3x2+5x 20的解集为 .答案31)6 .不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘 时，必须注意同向同正时才能进行.问题6已知a, b, c, d为正实数，且cd,贝U ab是acbd”的 条件.答案充分不必要a+ b易错点1忽视对等比数列中公比的分类讨论致误【例1】设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则数列的公比q是【错解】1【找准失分点】当q=1时，符合要求.很多考生在做本题时都想当然地认为qw1.正解 当 q=1 时，S3+S5=9a1, S9 = 9an

6、 S3+ &= & 成立.当qw1时，由0 + &=&a1(1-q9)1-q .q9-q6-q3+ 1 = 0,即(q3 1)(q6- 1)=0., qw1, /.q3- 10, .-.q6=1, /.q = - 1.答案 1或1易错点2忽视分类讨论或讨论不当致误(1)推广:/a2+ b2、a + b7 .基本不等式：一2一牺(a, b0)一 2dab b0)一 十 二a b(2)用法：已知x, y都是正数，则若积xy是定值p,则当x= y时，和x+y有最小值2麻若和x+y是定值s,则当x=y时，积xy有最大值也2易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.问题7

7、 已知a0, b0, a+b=1,贝U y= 1+4的最小值是 .a b答案 98 .解线性规划问题，要注意边界的虚实； 注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.x0,问题8设定点A(0,1),动点P(x, y)的坐标满足条件1 则|PA|的最小值是 ywx,答案_22易错警示例2若等差数列an的首项ai = 21,公差d=4,求：&=团|十版|+|a3|+ |ak|.【错解】 由题意，知 an=21-4(n-1)=25-4n, 25 因此由an0,解得nW1,即数列an的前6项大于0,从第7项开始，以后各项均小于0.|ai|+ |a2|+ |a3|+ + |ak|=(ai+ az+ a

8、3 + + a6) (a7+ a8 + + ak)=2(ai + a2+ + a6)一(ai + a2+ a6 + a7 + a8+ + ak)= 2k2- 23k+i32所以 Sk= 2k223k+i32.【找准失分点】忽视了 k7的情况.25 正斛由题忌，知 an= 2i - 4(n - i)= 25- 4n,因此由an 0,斛得n7 时，|a|+庇|+|a3|+ |ak|=(a1+ a2+ a3 + + a6) (a7 + a8+ ak)=2(a + a2 + + a6) (ai + a2+ a6 + a7 + a8+ + ak)= 2k2- 23k+132,-2k2 + 23k(k 7

9、)易错点3忽视等比数列中的隐含条件致误【例3】各项均为实数白等比数列an的前n项和为Sn,若Si0= 10,$3。= 70,则S40=.【错解】150或200【找准失分点】数列Si0, S20-Si0, S30-S20, S40S30的公比q100.忽略了此隐含条件，就产生了增解200.正解 记 bi = S10, b2= S20 S10, b3= S30 S20, b4 = S40 S30,bi, b2, b3, b4是以公比为r = q100的等比数歹U.bi + b2+ b3= 10+ 10r+ 10r2= S30 = 70, -r2+r-6=0,，r = 2 或 r= 3(舍去)，41

10、0(12)S4o= b+ b2+ b3+ b4= 150.1 2答案 150易错点4忽视基本不等式中等号成立的条件致误【例4 已知：a0, b0, a+b=1,求3+ ； ：+9+ 1b ；的最小值.【错解】由 g + a；+, + bj2=a2+b2+a2+b2+42ab + 0b+ 44-yab b+ 4= 8,得3+；j+ N + b，2的最小值是8.【找准失分点】两次利用基本不等式，等号不能同时取到.正解a+a 2+ b+12 b2.2112.2=a + b +/7+ 4= (a + b )+小= (a+b)2 2ab+ + b%l=(1 2ab)，+ 券 i：+ 4由ab1-2=2,

11、-11且 a2b2 16,1+a2b2 17.原式2x 17 + 4=25（当且仅当a=b = 1时，等号成立），. s+；,2+（b + bj的最小值是g.查缺补漏1.在等差数列an中，已知a3+a8=10,则3a5+a7等于（A. 10B. 18C. 20D. 28答案 C解析 因为a3+a8=10,所以由等差数列的性质，得a5+a6=10,所以 3a5 + a7 = 2a+2a6= 20 ) 选 C.2.若110,则下列不等式：a+b|b|;ab中，正确的不等式有（）a bA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案 B1 1 一斛析 由 ab。，得 a0, b0,故a+b0,所以a+

12、bab,即正确;,1 1 一由ab|a|,故错误;由知|b|a|, a0, bb,即错误，选B.113 .已知，x1 , y1,且41n x, 4, ln y成等比数列，则 xy有（）A .最小值eB .最小值加C.最大值eD,最大值Ve答案 A解析-11x1, y1,且41n x,In y 成等比数歹U,1121n x+1n y 241n x In y= (4),即 4= In x In y 1, ln xy 1,故 xy e.4 .设等比数列an的前n项和为Sn,若Go：Ss=1 ： 2,则孔：S5等于()A. 3 ： 4B. 2 ： 3C. 1 ： 2D. 1 ： 3答案 A解析.an是

13、等比数列，1 S5, S10 S5, 95S10也构成等比数列，记 S5= 2k(kw 0),则 S1o=k,可得 SoS5=k,一r 一 一 1 .一3进而得S15 S1o= 2七 于是$15=2七3故 Si5 : S5 = k ： 2k=3 ： 4.5 .把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四 个括号内一个数，循环分为 (1), (3,5), (7,9,11), (13), (15,17), (19,21,23), (25),，则第50个括号内各数之和为()A. 195B. 197D. 396C. 392答案 C解析将三个括号作为一组,则由50=16

14、X3+ 2,知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16X6 = 96项，第50个括号的第一个数应为数列 2n1的第98项，即为2X 98 1= 195,第二个数为 2X 99 1= 197,故第 50个括号内各数之和为195+ 197=392.故选C.6 .已知点 A(m, n)在直线x+ 2y1 = 0上，则2m+4n的最小值为 .答案 2 2解析 点 A(m,n)在直线 x+ 2y1 = 0 上，则 m + 2n=1;2m+ 4n= 2m+22nA242m 22n =2272n =2 .2.

15、f a + b 一7 .已知x0, y0, x, a, b, y成等差数列，x, c, d,y成等比数列，则1 一不的取小值是 Cd答案 4解析 由x, a, b, y成等差数列知a+b=x+y,2(a+ b).F的最小值为4.cd由x, c, d, y成等比数列知cd=xy,(a+ b 2 (a + b 2 (x+ y 2 x2+y2+2xy把代入曾得宣=hr=40 x 28 .已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组y y2 给定.若M(x, y)为D上的x/2x+z,令 lo： y=或x,将lo平移到过点(位,2)时，截距z有最大值，故 Zmax=啦 X 2(2 +2=4.9 .已

16、知函数 f(x)= 2,+x 6(a0, aw 1).数列an满足 an= f(n)(nC N*),且an1ax 5 x6是单调递增数列，则实数a的取值范围是 .答案 (4,8)解析.%是单调递增数列，a，a1、a44-20a1a2(4-2 ) 6 + 4a4a2, nCN).由一得 8an= (an an- 1)(an + an- 1) + 4an 4an 1 , 整理得(an an 1 4)(an+ an 1) = 0(n 2, n C N).an为正项数列, an + an- 10 ,.an-an-1=4(n2, nC N).an为公差为4的等差数列，由8a1 = a2+4a1 + 3,得a = 3或a=1.当a1=3时，a2=7, a7=27,不满足a2是a1和a7的等比中项.当ai= 1时，a2=5,a7=25,满足a2是ai和a7的等比中项. an = 1 + (n 1)4= 4n 3.an+ 3(2)由 an= 4n 3 得 bn= log 2(-4-) = log2n,由符号x表示不超过实数x的最大整数知，当2mWn2m+1时，log 2n=m,所以令 S= b + b2 + b3 + b2n= log21 +