ch5_2FIR窗函数法

1、数字信号处理数字信号处理 问题：理想滤波器的问题：理想滤波器的Hd (ejW W )已知，设计一物理可实已知，设计一物理可实现的滤波器，使其频响特性逼近现的滤波器，使其频响特性逼近Hd (ejW W )。 WWWde)e(21jjddkHkhhd k一般情况下是非因果无限长序列，一般情况下是非因果无限长序列，需对其进行需对其进行和和处理。处理。(1) 将将hdk 关于关于k =0对称截短，即对称截短，即hk= hdk, L k L(2) 若若 hk非因果系统，可将其右移使其成为因果系统非因果系统，可将其右移使其成为因果系统hk= hdk L， 0 0 k 2L只能设计只能设计I型或型或III型

2、线性相位型线性相位FIR滤波器滤波器(1) 将线性相位因子将线性相位因子加入加入Hd (ejW W ) 中中(2) 计算出计算出hdk后，取其在后，取其在0 k M范围的值范围的值hk= hdk， 0 0 k M可设计四种类型的线性相位可设计四种类型的线性相位FIR滤波器滤波器2d12d02d1khkhkhkhMkMkkWWWd)e ()e (212jjd2HH22khkhdk结论：上述方法所设计的滤波器是在积分平方结论：上述方法所设计的滤波器是在积分平方 误差最小意义下的最佳滤波器。误差最小意义下的最佳滤波器。 1根据要求确定线性相位根据要求确定线性相位FIR滤波器的类型滤波器的类型2确定理

3、想滤波器的幅度函数确定理想滤波器的幅度函数Ad(W W)和相位和相位f fd(W W) f fd(W W)= 0.5MW W +b b3计算计算IDTFT得得hdkWWWWfdee )(21j)(jdddkAkh4截短截短hdkhk= hdkwk， 0 0 k M其中其中wk是长度是长度N=M+1的矩形窗的矩形窗设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 (1) 确定线性相位确定线性相位FIR滤波器类型：可选用滤波器类型：可选用I型或型或II型型(2) 确定理想滤波器的幅度函数确定理想滤波器的幅度函数Ad(W W)和相位和

4、相位f fd(W W)其他 0 1)(2c1cdWWWWAf fd(W W)= 0.5MW W 设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 WWWWfdee )(21j)(jdddkAkh(3) 计算计算IDTFT得得hdkWWWWWWWWde21de21)5 . 0(j)5 . 0(jc21c1c2cMkMk)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cMkMkWWWW(4) 截断截断hdkdkwkhkhN长度为长度为N=M+1的矩形窗的矩形窗设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤

5、波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 khk00A(W)W0.30.7单位脉冲响应单位脉冲响应 幅度函数幅度函数 W Wc1=0.3 ，W Wc2=0.7 ，MM3030 设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 当当W Wc1=0时时，滤波器为理想低通，滤波器为理想低通 )5 . 0(Sac22cdMkkhWW当当W Wc2= 时时，滤波器为理想高通，滤波器为理想高通 )5 . 0(Sa5 . 0c11cdMkMkkhWW)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cdMkMkkhWWWW设计一个幅度响应能

6、逼近理想带通滤波器的线设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 由于由于，故，故5 . 0BPdkhMkkh)5 . 0()5 . 0(Sac11cc22cBPMkMkkhWWWW其中其中051403021100M=14M=30矩形窗设计的矩形窗设计的FIR低通滤波器在不同阶数时的幅度函数低通滤波器在不同阶数时的幅度函数(W Wc= /2) 所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象振荡现象，且最大波纹大约为幅度的且最大波纹大约为幅度的9%9%，这个现象称为，这个现象称为Gibbs 现象。现

7、象。 WWd)e()e(21)e()( jjdjNWHH由于所设计滤波器的单位脉冲响应由于所设计滤波器的单位脉冲响应dkwkhkhNN=M+1利用利用DTFT的性质可得所设计的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应 H(ejW W)逼近逼近Hd(ejW W)的质量，取决于窗函数的频谱的质量，取决于窗函数的频谱W(ejW W) 窗函数的频谱窗函数的频谱)2/sin()2/sin(e)e (2/ )1(jjWWWWNWN2NN04NW3N)(WW矩形窗的幅度矩形窗的幅度函数函数W(W W)1. W(W W)的主瓣宽度的主瓣宽度 4 /N2. 旁瓣相对衰减为常数旁瓣相对衰减为常数)3(

8、)0(lg20NWWA=13dBWWd)e()e(21)e()( jjdjNWHHNc/20WWH(ejW W)主要由主瓣的面积确定主要由主瓣的面积确定H(ejW W)的波动由旁瓣引起的波动由旁瓣引起cWcW)(WW)(dH)(WWcWcW)(dHNc/2WWWWd)e()e(21)e()( jjdjNWHHcWWH(ejW W)逐渐减小，形成逐渐减小，形成了滤波器的过渡带了滤波器的过渡带 FIR滤波器过渡带的宽滤波器过渡带的宽度和窗函数主瓣的宽度度和窗函数主瓣的宽度密切相关密切相关 )(WW)(dHcWcWWWd)e()e(21)e()( jjdjNWHHNc/2WWH(ejW W)完全由旁

9、瓣的面完全由旁瓣的面积确定积确定 旁瓣的大小决定了旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减滤波器在阻带的衰减 )(WW)(dHcWcWWWd)e()e(21)e()( jjdjNWHH 矩形窗截断产生的波峰大约是矩形窗截断产生的波峰大约是9%，故用矩形窗设，故用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减计出的滤波器阻带最大衰减 20lg(9%) 21dB )j(eWHWcWcW10.5N41. 窗函数的主瓣宽度决定了窗函数的主瓣宽度决定了H(ejW W )过渡带的宽度过渡带的宽度, ,窗函数长度窗函数长度N增大，增大， 过渡带减小。过渡带减小。2. 旁瓣的大小决定了旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰

10、减滤波器在阻带的衰减用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为 20lg(9%) 21dB其他 001MkkwAp = 20lg(1 p) 0.82dB, As = 20lg( s ) 21dBp=s=0.09其他 00)/2cos(5 . 05 . 0MkMkkwAp 0.056dB, As 44dB p= s =0.0064其他 00)/2cos(46. 054. 0MkMkkwAp 0.019dB, As 53dB p= s =0.002 2其他 00)/4cos(08. 0)/2cos(5 . 042. 0MkMkMkkwAp 0.0017dB，As 74

11、dB p= s =0.0002窗 的 类 型 主 瓣 宽 度 近 似 过 渡 带 宽 度 p，s Ap(dB ) As(dB ) 矩 形 4 / L 1.8 / L 0.09 0.82 21 H ann 8 / L 6.2/L 0.0064 0.056 44 H am m ing 8 / L 7/L 0.0022 0.019 53 B lackm an 12 / L 11.4/L 0.0002 0.0017 74 在工程应用中，在满足阻带衰减的前提下，尽可能选择主在工程应用中，在满足阻带衰减的前提下，尽可能选择主瓣宽度较小的窗函数。瓣宽度较小的窗函数。dkwkhkhN用非矩形窗设计截频为用非矩

12、形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想低的线性相位理想低通，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。通，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。(1) 确定线性相位确定线性相位FIR滤波器类型：可选用滤波器类型：可选用I型或型或II型型其他01)(cjdeAWWWf fd(W W)= 0.5MW W(2) 确定理想滤波器的幅度函数确定理想滤波器的幅度函数Ad(W W)和相位和相位f fd(W W)(3) 计算计算IDTFT得得hdk)5 . 0(SaccdMkkhWW(4) 截断截断hdk可以是汉宁可以是汉宁窗、哈明窗或窗、哈明窗或BlackmanBlackman窗窗用非矩形窗设计截频为

13、用非矩形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想低的线性相位理想低通，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。通，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。051-80-60-52-200Square Hamming用非矩形窗设计截频为用非矩形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想低的线性相位理想低通，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。通，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。051-100-75-60-40-200Square Blackman用非矩形窗设计截频为用非矩形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想低的线性相位理想低通，并

14、将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。通，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。MkIMkIkw0 ,)()/21 1(020bbb b 是一可调参数，调节窗函数的形状。是一可调参数，调节窗函数的形状。I0 0( (x ): ): the modified zeroth-order Bessel function.I0 0( (x ) )可用幂级数表示为可用幂级数表示为210!)2/(1)( nxxInn一般求一般求20项就能达到所需精度。项就能达到所需精度。0246810121416182000.51b b=00246810121416182000.51b b=1024681012141618

15、2000.51b b=3A= 20lg (min p， s )21 ,285. 295. 7spAAMWW21 , 05021 ),21(07886. 0)21(5842. 050 ),7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAAb 表示需设计的表示需设计的FIR滤波器的频带。滤波器的频带。 B个元素的向量个元素的向量, 表示表示FIR滤波器在滤波器在B个频带中的个频带中的 幅度值。一般对通带取值为幅度值。一般对通带取值为1，阻带取值为，阻带取值为0。 B个元素的向量个元素的向量, 表示表示FIR滤波器在滤波器在B个频带中个频带中 的波动值。的波动值。返回参数返回参数及及，分别表示，分别表

16、示FIR滤波器阶数滤波器阶数M及及Kaiser窗的参数窗的参数b b。返回参数返回参数和和是函数是函数fir1的调用参数。的调用参数。表示滤波器的阶数。表示滤波器的阶数。表示理想表示理想FIR滤波器的滤波器的B个频带。个频带。表示滤波器的类型，缺省值为空。表示滤波器的类型，缺省值为空。是一长度为是一长度为N+1的向量的向量, Hamming窗。窗。用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。(1) 由给定指标确定待逼近理想低通的截频由给定指标确定待逼近理想

17、低通的截频W Wc 由于理想低通滤波器的由于理想低通滤波器的|H(ejW W)|在截频在截频W Wc处收敛处收敛于于0.5，因此常将，因此常将截频截频W Wc取在过渡带的中点取在过渡带的中点W Wc =(W Wp + W Ws )/2=0.4 (2) 由给定指标确定由给定指标确定Kaiser窗的参数窗的参数M和和b b0114. 0101p05. 0pA01. 010s05. 0sAA= 20lg(min p， s )=As=40dB3 .22285. 295. 7spWWAMI型线性相位滤波器阶数必须是偶数，取型线性相位滤波器阶数必须是偶数，取M=243953. 3)21(07886. 0)

18、21(5842. 04 . 0AAb用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。(3) 设计截频设计截频W Wc =0.4 的的I I型型线性相位线性相位FIR低通滤波器低通滤波器其他01)(cdWWWjeA)5 . 0(SaccMk WWf fd(W W)= 0.5MW WWWWWfdee )(21j)(jdddkAkh()12(4 . 0Sa4 . 02525dkwkkwkhkh用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性

19、相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。单位脉冲响应单位脉冲响应设计结果设计结果增益响应增益响应 G(W W)= 20lg |H(ejW W)|用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。wp=0.3*pi; ws=0.5*pi; As=50; M=ceil(As-7.95)/(ws-wp)/2.285)M=M+mod(N,2)beta=0.1102*(As-8.7); w=kaiser

20、(M+1,beta); wc=(wp+ws)/2;alpha=M/2;k=0:M;hd=(wc/pi)*sinc(wc/pi)*(k-alpha); h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);magdb=20*log10(abs(mag);plot(omega/pi,magdb);axis(0,1,-70,0);grid;利用利用MATLAB实现上例实现上例 W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤高通滤波器。波器。W Wp

21、=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或kaiser窗窗1) 由过渡带宽度确定滤波器长度由过渡带宽度确定滤波器长度N507spWWN可选可选I型型滤波器，取滤波器，取N=51；或选；或选IV型滤波器，取型滤波器，取N=502) 由给定指标确定待逼近理想高通的截频由给定指标确定待逼近理想高通的截频W Wc=0.62/ )(spcWWW一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下3) 确定线性相位确定线性相位FIR滤波器类型：滤波器类型：过渡带Nsp7WW4) 设计截频设计

22、截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用I型型线性相位滤波器，线性相位滤波器，N=51，M=50其他 021)e(ccjdWWWWAfd(W)= 0.5MW4) 设计截频设计截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤

23、波器设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用I型型线性相位滤波器，线性相位滤波器，N=51，M=50WWWWfdee )(21j)(jd2ddkAkhWWWWWdee21j5 . 0j2cckM)5 . 0(Sa5 . 0ccMkMkWW截断，得截断，得I型型线性相位线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应高通

24、滤波器的单位脉冲响应hk=hdkw51k4) 设计截频设计截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用IV型型线性相位滤波器，线性相位滤波器，N=50，M=49其他 021)e(ccjdWWWWAfd(W)= 0.5MW0.54) 设计截频设计

25、截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用IV型型线性相位滤波器，线性相位滤波器，N=50，M=49WWWWfdee )(21j)(jd2ddkAkhWWWWWdeje21j5 . 0j2cckM()5 .0()5 .0(coscMkMkW截

26、断，得截断，得IV型型线性相位线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应高通滤波器的单位脉冲响应hk=hdkw50k用用Hamming窗设计的窗设计的W Wc=0.6 FIR HP滤波器的幅度响应滤波器的幅度响应0111080530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyGain, dBtype I type IVI 型型 N=51 IV型型 N=50设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗二、采用二、采用Hamming窗截断，利用窗截断，利用MATLAB实现实现%Program:利用利用hamming窗设计窗设计FIR高通滤波器高通滤波器%filter specificationWp=0.67*pi;Ws=0.53*pi;Ap=0.3;As=50;%determine the length of the filter N=ceil(7*pi/(Wp-Ws);N=mod(N+1,2)+