典型习题解析

1、第6章典型习题解析1.简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力由平衡方程mB0和mA0分别求得_3._1.Raql,Rb-ql88利用平衡方程y0对所求反力进行校核。(2)建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立x坐标，如图a所示。因在C处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。AC段:3lQi(x)-qlqx(0x-)82一，、3,12l、M1(x)qlxqx(0x)822CB段:1lQ2(x)”(-xl)1lM2(x)ql(lx)(xl)823.求控制截面内力，绘Q、M图Q图：AC段内，剪力方程Q(x)是x的一次函

2、数，剪力图为斜直线，故求出两个端截3.一1.面的男力值，Qa；&-ql,QC左-ql,分别以a、c标在Qx坐标中，连接a、c的直88线即为该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如1QB左1ql,连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图b所不。8M图：AC段内，弯矩方程Mi(x)是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截12面的弯矩，MA0,MCql，分别以a、c标在Mx坐标中。由剪力图知在d点16339c处Q0,该处弯矩取得极值。令男力万程Q1(x)0,解得x3l,求得M1(3l)ql2,88128以d点标在Mx坐标中。据a、d、c三点绘出该段的弯矩图

3、。CB段内，弯矩方程M2(x)是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c、b标在Mx坐标中，并连成直线。AB梁的M图如图c所示。2.梁的受力如图a示，利用微分关系作梁的Q、M图。=J由l-PHsVm解：(1)求支座反力()】5Crim由平衡条件mB0和mA0分别求出Ra10KN,Rb5KN利用平衡条件y0进行校核。(2)分段确定曲线形状由于载荷在A、D处不连续，应将梁分为三段绘内力图。根据微分关系任dxdMq、一dx12Q和厂q,CA和AD段内，q0,剪力图为水dx2平线，弯矩图为斜直线;DB段内，q常数，且为负值，剪力为斜直线，M图为向上凸的抛物线。(3)求控制截面的内力值，绘Q、M图Q图

4、：Qc右3KN,Qa右7KN,据此可作出CA和AD两段Q图的水平线。Qd右7KN,Qb左5KN,据此作出DB段Q图的斜直线。M图：Me0,Ma左1.8KNm,据此可以作出CA段弯矩图的斜直线。A支座的约束反力Ra只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故MA左MA右MA1.8KNm,MD左2.4KNm,据此可作出AD段弯矩图的斜直线。D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出MD右1.2KNm,Mb0;由DB段的剪力图知在E处Q0,该处弯矩为极值。因Rb5KN,根据BE段的平衡条件y0,知BE段的长度为0.5m,于是求得ME1.25KNm。根据上述三个截面的弯矩值可

5、作出DB段的M图。对作出的Q、M图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如DB段内的均布载荷为负值，该段Q图的斜率应为负；CA段的Q为负值，该段M图的斜率应为负;AD段的Q为正值，该段M图的斜率应为正；支座A处剪力图应发生突变，突变值应为10KN;D处有集中力偶，D截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6KNm；支座B和自由端C处的弯矩应为零2 .梁受力如图a所示，试绘出其内力图。解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座C去掉，以简支梁作为静定基（图b）。在静定基上作用均布载荷q和多余约束力RC,成为原静不定梁的相当系统（图c）。（2）相当系统在c点的挠度应为零，即vc0。

6、根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程式：Rcl35ql4048EI384EI5（3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图d）求得5qlRaRb3.ql16画出静不定梁的Q、M图，如图e、f所示。静不定梁的1212Mmax至ql，而简支梁的|Mmaxgql，前者仅为后者的工。3 .图所示简支梁用其56a号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC段，其值为解：作剪力图如图Qmax75kN75000N利用型钢表查得,56a号工字钢SzIz47.73102m,最大切应力在中性轴上。由此得max*QmaxSzmaxIzdQm

7、ax-z-dSImax75000231260000047.7310212.5103您MHPa*以下求该横截面上腹板与翼板交界处C的切应力。此时Sz是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得_*Sz16621(560939500mm39.40104m3由型钢表查得Iz65866cm4,腹板与翼板交界处的切应力为750009.40104fc838.6MPa6586610812.5103已知b=120mmh=180mmL=2m,4 .长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F,F=1.6kN,试求B截面上a、b、c各点的正应力。h6h2JCL/2解：B截面的弯矩为Mb1-FL0.51.62

8、1.6kN.m2a点的正应力MBYaatt1FLh21.65MPabh37FB点在中性轴上，其正应力c点的正应力为MbYccIz；FLh2&22.47MPa(压)bh312152MPa,容许切应力为5.图示为一工字形钢梁，受力如图示，钢的容许弯曲应力为95MPa。试选择工字钢的型号。112.5(b),先按正应力强度条件选择截面，因解：首先将梁简化为简支梁，作出剪力和弯矩图如(b)(c)梁的最大弯矩为max375000Nm根据maxWzmaxWzmaxmax,可计算梁截面的截面模量Wz,应为3750001521062460106m3由型钢表查得最接近这一要求的是56b号工字钢，其截面模量为Wz2

9、447106m3由于在规定材料的容许应力时，为材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容许应力不是很大（一般5%之内）,选用小一号的截面是充许的，这里56b号工字钢截面模量比所需要的相差不到1%相应地，最大正应力也将不会超出容许应力1%因此可以采用。进行切应力强度校核：梁的最大剪力为Qmax112500Nm利用型钢表查得，56b号工字钢的Iz.Sz47.17102m,最大切应力为max*QmaxSzmaxIzdQmaxIzd*dSjmax15500000一2一一347,1710212.5103254106巳25.4MPa显然，这个最大切应力小于容许切应力，切应力强度条件满足。实际上，前面已经讲到,

10、梁的强度多由正应力控制，故在按正应力强度条件选好截面后，在一般情况下不需要再按切应力进行强度校核。6.T字形截面铸铁梁受力如图所示，已知材料的拉、压容许应力分别为I30MPa,a90MPa。已经给出了截面的部分尺寸，试按合理截面的要求确定尺寸，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。解：为了达到合理截面要求，必须使同一横截面上的最大拉应力和最大压应力之比lmax/amax等于相应的拉、压容许应力之比1/a，这样当荷载增大时，截面上的最大拉应力和最大压应力将同时达到容许应力，受拉区和受压区的材料可以同样程度地发挥潜力。根据给定条件可知l:a30:901:3,所以同一截面上应有1max：amax1:

11、3由图(c).由于正应力在横截面上按直线分布，由几何关系可确定中性轴的位置y0为y0210mm由于中性轴是通过形心的，根据形心计算公式，可建立yo与截面几何尺寸关系式为2806060(28060)()60220(280)22y。22(28060)60220将y0210mm代入上式可解得24mm。卜面确定梁的容许荷载:首先计算截面惯性矩，由于T形截面可划分为两个矩形，由几何关系可求得两矩形形心相对于中性轴位置如图(c),利用平行移轴定理可解出33242203222060326464Iz(242201002)(22060402)99.18106mm499.18106m4z1212PL0.5P最大弯

12、矩Mmax出现在跨中，即Mmaxmax4最大拉应力为mmaxMMmaXyimmax0.5P7010399.18106352.9P根据强度条件maxl故有352.9P30106可解得P85103N85kN故按拉应力强度条件可确定梁的容许荷载为85kN,由于梁的截面尺寸是按最大拉应力和最大压应力同时达到相应容许应力的条件确定的，所以按压应力强度条件也会求得同样的容许荷载。由于与上题同样的考虑，对于所确定的容许荷载，不需要再进行切应力强度校核。心角为60的圆弧，已知弹性模量7 .长度为250mm截面尺寸为hXb=O.8mmK25mm勺薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中E=2.1X105MPa试求钢尺横截面上的最大正应力。解:maxeYE-2l二2.110110.81033.143352MPa225010338 .厚度为h=1.5mm的钢带，卷成直径为D=3m的圆环，求此时钢带横截面上的最大正应力。已知钢的弹性模量E=2.1xl05MPa解：因为Dl2R2212M一D瓦M2E所以My2Ey105MPaIzD9 .直径为d的钢丝，其名义流动极限为0.2。现在其两端施加外力偶使弯成直径为D的圆弧。试求当钢丝横截面上的最大正应力等于Q2时D与d的关系式。并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。解：l2R2D21 2M一DETM2ET76所以My2E2_ET6必7二由上可见，细