八年级数学期末专题复习-四：动点、翻折、重叠问题例谈版-含解析、点评和练习

1、2017-2018下学期八年级数学专题复习四：EBF,连接BD,则BD的最小值是“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈编写：赵化中学郑宗平八年级数学下册中的含“动点”、“翻折”以及“重叠”的题型主要集中在勾股定理、平行四边形和一次函数的三个章节中，且常常是这三个章节综合起来的题型比较多；含“动点”“翻折”以及“重叠”的题型一直统考和中考的热点题型，下面我精选一部分典型题分专题进行分析、解答、点评并附有少量追踪练习，希望同学们能从中悟出一些道理，总结破题的思路，同时感受到这类题型所蕴含的数学魅力.A.2102B.6C.21324.如图，直线ykx6经过点A4,0，直线y3x3与x轴交于B点，且两直

2、线交于点C.求k的值；.求ABC的面积；.若点P是坐标轴上的一个动点，当PBPC的值最小时，求P点的坐标.题目一.“动点”问题例谈一.在动点中求最小值例.如图，在正方形ABCD中，E为AB上的一点,P是AC上一动点，则PBPE的最小值是多少？分析：BE如分析图所示，过B作关于AC的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D点处，连结ED交AC于点P,根据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接D、E两点之间线段最短，可以知道此时的PBPE值最小.（这里我有个“将军饮马”的故事与同学们分享.）略解：过B作关于AC的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在点P,连接PBBE2,AE3BE，AE6，A

3、B8.根据正方形的性质的性质可知：ADAB8,DAB90o.在DAE中勾股定理易求EDVAE2Ad2,628210.B和D关于AC对称，根据轴对称的性质可知：PBPD,PBPE=PDPEDE10.变式.正方形ABCD的边长为4,DAC的平分线交DC于点E,若P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQPQ的最小值是.点评：在一直线上求作一点，使其到直线同一侧的两定点的距离之和最小，D点处，连结ED交AC于往往要通过作其中一个点关于此直线的对称点，把两定点转化到直线的两侧，连接对称点和另一定点就可以找到这个动点的使其有最小值的位置，根据的是“两点之间，线段最短”、“垂线段最最短”.在动点中求最小值容易

4、和多个知识点串联以来，能较好的考查的数学的基本功和数学素养追踪练习：1 .正方形ABCD的面积为64求PDPE的最小值？2 .菱形ABCD的对角线分别为12和16,M、N分别为BC、CD的1DE-CE,P为AC上的一动点；中点，P是对角线BD上的一动点，则PMPN的最小值为3.（自贡中考）如图，在矩形ABCD中，AB4,AD6,E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到二.在动点中来探究四边形的形状例.如图，/ABC中，点。是AC边上的一个动点，过点O作直线MN/BC,?设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F,卜.判断OE与OF的大小关系？并说明

5、理由？mjfN.若CF=5,CE12,求CO的长？-T/.当点O运动到AC的何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由.-3/4分析：B辽七.由角平分线的的定义和平行线的性质容易推出15,36,则OEOC,OFOC;等量代换后OEOF.。是ECF的EF的中线，根据题中的提供的数据，无非ECF是特殊三角形才能求出CO；若ECF是直角三角形，一切问题解决了；根据题中MN&BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F,可以证得ECF900.本问关键是抓住不变的是什么？变的是什么？在本问中不变的是OEOF,ECF90o,而点O在AC的位置是发生变化的.要证四边形AECF是矩形，已经知道ECF90

6、,证明四边形AECF是矩形的思路有两条，一是“有三个角是直角的四边是矩形”；二是“有一个角为直角的平行四边形是矩形；由于EF、AC恰好是四边形AECF的对角线，并且有OEOF（即点O为EF的中点），所以我们考虑用后面一种方法；也就是点O同时为AC的中点，即构成了对角线互相平分的四边形是平彳T四边形，再加上ECF90,所以四边形AECF是矩形.略解：.MN交BCA的平分线于点E,交12,34.MN/BC25,46OEOF.MN交BCA的平分线于点E,交1 八1一-1-ACB,3-ACD12 2lEF2CF2CE2CF=5,CE1211,ECF900,OEOFCO-EF22BCA的外角平分线于点F

7、,15,36OEOC,OFOCBCA的外角平分线于点F113ACBACD1800900.22.EF,CF2CE2.52122.16913.136.5.点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由如下:OAOC,OEOF.四边形AECF是平行四边形；又ECF900二.四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）解答本专题的两个例题要抓住题中不变的是什么？变的是什么？解题时更需要仔细识图，注意合理应用数形结合思想；由于是动点，要注意动点“活动”的范围，解答时要进行分段、分类讨论.象在9x14范围内，相对应的四边形的要表示ABP的面积为y我们要抓住在DA1495.P点的运动过程中,

8、边AB是不变的，所以过点D作边AB的高线DE可以利用矩形的性质和勾股定理把AB求出来，然后利用三角形的面积公式可以整理出追踪练习：1 .如图在四边形ABCD中，AD/BC,B90o,AD24cm,BC26cmZ,动点p从A点开始沿AD边向D以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为ts.Ap.若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动.当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形.当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.当t为何值/4c时，四边形PQCD的边PQCD?G2 .

9、已知矩形ABCD中，AB4cm,BC8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.如图甲，连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；.如图乙，动点P、Q分别从A、C出发，沿4AFB和4CDE各边匀速运动一周，即点P自与x的函数关系式.略解：结合图和图可以得出BC4,DC945,DA1495.过点D作边AB的高线DE，垂足为E,根据矩形的判定可以得出四边形DEBC是矩形，所以DEBC4,BEDC5.DEABDEA90oEA2DE2AD2EAJAD2DE一43ABEABE358根据本题条件，动点P运动路程为x在0x9范围要分两段来讨论：11.动点P在B-C运动时

10、，即0x4范围内.$ABP=ABBP-8x4x.22即y4x.11.动点P在C-D运动时，即4x9范围内.$ABP=ABBC-8416.22即y16.（因为P点在C-D运动过程中，ABP的高也没有发生变化，都等于BC的长度）.点评:A-F-B-A停止，点Q自C-D-E-C停止.在运动过程中： .已知点P的速度每秒5cm,点Q的速度每秒4cm,运动时间为t秒，当点A、C、PQ四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值. .若点P、Q的运动路程分别为ab（单位：cm,ab0）,已知A、C、PQ四点为顶点的四边形是平行四边形，写出a与b满足的数量关系.（直接写答案，不要求证明）“动点与几何图形面积”

11、这类题型，由于存在面积和“运动路程”两个变量，所以常与函数的知识点联系在一起，在八年级下册的数学中常与一次函数相联系.这类题在建立函数的过程中要先从甲.动点与几何图形的面积备用图例.在四边形ABCD中，ABCD,B90o，动点P从B出发，沿四边形形的边B一C一D-A运动.设点P运动路程为x,ABP的面积为函数的图象如图（2）所示，试求当数关系式.分析：要求y与x的函数关系式，程x的变化规律.本题首先要结合在动点的运动中y,把y看作是x的函数,0x9时y与x的函DP（1）关键是抓住y表示ABP的面积的变化规律,B代表点P的运动路ABP的面积变化（见图）所描绘的函数图象（见图）来读出四边形ABCD

12、和计算出各边的长：.动点P在B-C运动时，4ABP的面积为y是从小增大，所以此时函数的图象在0x4范围内，相对应的梯形的BC4;.动点P在C一D运动时,ABP的面积为y是不变的，所以此时函数的图象在4x9范围内，相对应的四边形的DC945;.动点P在D-A运动时，ABP的面积为y是由大变小，所以此时函数的图面积入手切入，然后用自变量（“动点的运动路程”）表示与函数（面积）点与几何图形面积”这类题型还要注意在动点在运动过程中的不同情况追踪练习：1 .如图，已知ABC中，ABAC13,高AD12,P是AD上的一动点；若设PDxPBC的面积为y.求y与x的函数关系式及x的取值范围；.求出当x5时y的

13、值.2 .如图，在边长为4的正方形ABCD的一边BC上，一点P从点B运动到点C,设BPx,四边形APCD的面积为y.求y与x的函数关系式及x的取值范围；.是否存在点P,使四边形APCD的面积为5.5,请解答说明.3 .矩形的周长是16cm,设矩形的一边长为xcm,另一边长为ycm.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；相关的元素是关键“动.作出函数的图象；.若Cx,y点是该图象上的一动点，点B的坐标为6,0,设4OBC的面积为S,用含x的解析式表不S.4.已知矩形ABCD中，AB16cm,AD点以1cm/秒的速度由A向D匀速运动,12cm;P、Q分别是矩形ABCD的边AD、AB的动

14、点，PQ点同时以2cm/秒的速度由A向B匀速运动；若设P、Q运动的时间为t（秒），四边形PAQC（图中的阴影部分）面积为Scm2AQB.求S与t的函数关系式及t的取值范围；.P、Q出发多少秒后四边形PAQC的面积为72cm2?追踪练习：1.矩形ABCD中，AB3,AD4,PEAC,PFBD.四.在动点中探寻其中“不变”的数量关系.求PEPF的值？.若点P是AD上的一动点（不与A、D重合），还是作例.（中考自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB4,BAD1200,/AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合.证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE

15、CF?.当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值.分析：.先求证ABAC,进而求证ABC、/ACD为等边三角形，得BAC=60,AC求证/ABENACF,即可求得BECF.根据ABEACF可得SABE=SACF;根据S四边形aecf=SABE+S=S/ABC+S/BAE=SABC即可解得.AB进而.证明：连接AC,如下图所示.四边形ABCD为菱形，BAD120o1EAC60o,2EAC60012BAD120oABC60oABC和ACD都为等边三角形.4=600,ACAB12PEAC,PFBD,则PEPF的值是否会发生变化？为什么?2.已知点O

16、为正方形ABCD的中心（对角线的交点），M为射线OD上一动点（M与点。D不重合，以线段AM为一边作正方形AMEF,连结FD.当点M在线段OD上时（如图甲），线段BM与DF有怎样的关系？请说明理由.当点M在线段OD的延长线上时（如图乙），中的结论是否仍然成立？请结合图乙说明理由.附：其它动点问题的题型欣赏.（同学们作为课外研究和练习！1.ABC和ADE都是正三角形，CDBF.求证：/ACD且CBF.当D运动至BC边上的何处时，四边形CDEF为平行四.在/ABE和ACF中，ABACABC3/ABEEACFASABECF形，且DEF300,并证明你的结论.2.如图，直线y2x1与x轴、y轴分别交于B

17、、C两点.求点B的坐标；.点Ax,y是直线y2x1上的一个动点，试写出AOB的面积S与x的函数关系式；.探究： .当点A运动到什么位置时，/AOB的面积为-,并说明理由.4 .在成立的，f#况下，x轴上是否存在点P,使AOP是等腰三角形;若存在，请直接写出满足条件的所有P的坐标；若不存在，请说明理由.解：四边形AECF的面积不变.理由：由得/ABE且ACF可得SABE=SACF.故S四边形aecf=SABE+S=S/ABC+S/BAE=SABC是定值.作AHBC于H点，则BH2S四边形ABCD=SABC二,BCAHBcVAbBH247322点评：虽然E、F在BC、CD上是动点，但在滑动过程中1

18、2,ABAC,ABC3的相等关系是不变的，也就是由其中的等边三角形为框架构建的ABE和ACF总是全等的，所以总有BECF这个相等关系.在动点中要探寻其中未知“不变”的数量关系，关键是首先抓住图形的提供的已知的“不变”的数量关系，比如本例虽然E、F在BC、CD上的滑动带动力AEF的位置发生移动，但其中的EAF2EAC600或AEAF等没有发生变化33 .直线yx6与坐标轴分力1J父于AB两点，P、Q同时从点4O出发，同时到达A点，运动停止；点Q沿OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P12沿路线。一B一A运动.直接写出A、B两点的坐标；.设点Q的运动时间为t,OPQ的面积为S,求出S与t的函数关系

19、式；一，.48.当S时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.4 .E为边长为1的正方形ABCD的对角线上的一点，且BEBC,P为CE上的一动点，PQBC,PRBE，求PQPR的值？题目二.“翻折”问题例谈通常是把某个图形按照给定的条件的沿某一直线翻折，也可以叫折叠；常通过折叠前后图形变换的相互关系来设计命题.折叠的规律是：折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等.折叠图形中在八年级的数学中，以四边形特别是特殊四边形为基础居多，但常用勾股定理来计算，有时也与一次函数的知识相串联构成有一定难度综合题例1.（中考邵阳），准备一张矩形纸片ABCD

20、,按如图操作：将ABE沿BE翻折，使A落在对角线BD上的M点；将CDF沿DF翻折，使C落在对角线BD上的N点.求证：四边形BFDE是平行四边形；.若四边形BFDE是菱形，AB2,求菱形BFDE的面积.的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”才41C、.有EBDABDFDB,从而得出问中的EB/DF、DE/BF以及问中ABE30o这2两个关键步骤.例2.如图，已知矩形纸片ABCD中，AB6,AD10;点E在边CD上，沿AE折叠后点D恰好落在BC边上.求EC的长？.求折痕AE的长?分析：.要求EC的长我们可以化在Rt力FCE中利用勾股定理来求出，根据题中

21、折叠可知DEFE,所以CEFECEDE6,而CFBCBF,BF放在Rt力ABF利用勾股定理求出，这个需要题中折叠所得到的AFAD10来帮忙.求折痕AE的长在Rt力ADE或RtAFE利用勾股定理求出.略解：.四边形ABCD巨形DCAB6,BCAD10.根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可以得出EB/DF,DE/BF,根据平行四边形的判定推出.求出ABE30o,根据直角三角形性质求出AE、BE,并根据菱形的面积计算即可求出答案.略证：四边形ABCD是矩形AC900,ABCD,ABPCDBDC90.矩形纸片ABCD沿AE折叠后点AFAD10DEFECEFECEDECD6在RtABF中根据勾股定理可

22、知:D恰好落在BC边上AB2BF2AF2ABDCDB1_EBDABDFDB2EB/DFDE/BF.四边形BFDE是平行四边形.略解：四边形BFDE是菱形BEED,EBDFBD.四边形ABCD是矩形ADBC,ABC90oABEABE30oA900,AB222.3AE,BFBE332AE4.3，故菱形BFDE的面积为：BFAB343c832点评：本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的性质、含折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力30角的直角三角形的性质以及.在本题翻折的性质的运用是本题BF.AF2AB2102628CFBCBF1082在RtFCE中根据勾股定理可知：CE2

23、CF2EF2；若设CEx,贝UEF6xx2226x2解得：x8即EC=-33.;EC=-DC6DE33在RtADE中根据勾股定理可知：DE2AD2AE2AEJDE2AD21102点评：本题考查了矩形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”才有AFAD10和DEFE两个关键结论.从而为在RtFCE中利用勾股定理来求出CE打下基础.吗103例3.如图，在平面直角坐标系中，点A0,4,B3,0，连接AB,将AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C；求直线BC的解析式.分析:要求直线BC的解析式可以通过两个点的坐标，利用待定系数法求得直线BCh白BB3,0,关键是求点C的坐标.由于点C在坐标轴的y轴上，求出OC的长度即可确定点C的坐标.在RtAOC中.若设OCm,则ACOAOC