高数第一章无穷小比较

1、1 第一章 一、无穷小的阶一、无穷小的阶第七节二、等价无穷小二、等价无穷小 无穷小的比较2,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 当当xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 3一、一、无穷小的阶无穷小的阶,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若,0limC,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;定义定义120cos1limxxx220sin2limxx如：如：22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x2 的同阶无穷小。例如例如

2、, 当)(o0 x时3x26x4二、等价无穷小二、等价无穷小定义定义2, 1lim若或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,则称 是 的等价等价无穷小, 记作例如例如 , 当0 x时sin x;xtan xx；xarcsinx；20cos1limxxx又如又如 ，21故0 x时xcos1221xarctan x. x5例例1. 证明: 当0 x时,11nx1. xn证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb6例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解:原式)1 (log1lim0

3、 xxaxealogaelnlnxx )1ln( xxax1)1 (loglim0 xxx)1ln(lim0aln11说明说明: 当, ea 时, 有0 x7.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttatealnln说明说明: 当, ea 时, 有0 xxexx1lim0 xex1例例3. 求. 1tatt10)1 (log1limaln)1 (log11lim0ttat. 1ln1lim0axaxxaxaxln18主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第八讲9定理定理1 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim

4、 limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052此定理称为等价无穷小的等价无穷小的替代定理替代定理。10231x221x例例4. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x21,3x1cosx221x0limx原式32例例5 求. )1(lim2xxxx解解 ) 111(lim22xxx2221limxxx2122121111xx11例例6 求nIlimnbnenalnln1解：解：limxxbxexalnln1利用数列极限与函数极限的关系limxxbexa1ln1limxxbxababaI12.sinlimsi

5、n0 xxeeIxxx解解 sinsin01limsinxxxxeIexxxxexxsin1sin1例例7 求一般，若lim( ), lim ( )f xag xa( )( )lim( )( )f xg xeeIf xg x则( )( )1lim( )( )f xg xaeef xg xae131121lim()nnnIn aa解解 1(1)11ln(1)n naan n例例8 求20lnlim(1)nnaan nlna112(1)1lim(1)n nnnIn aa14,0)(lim0 xuxx则有0( )lim 1( )v xxxu x,)(lim0 xvxx0lim( )ln 1( )xx

6、v xu xee)()(lim0 xuxvxx说明说明: : 若例例9. 求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim3sin2xx ex0limx36ex2)21 (lim(30 xxx15定理定理2.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx16设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,极限运算法则极限运算法则无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , 例例9xxxx3sinlim30 xxx3

7、lim031则证明证明limlim 1（）120ln(12)limsinxxxx02lim2xxx例例101017,不等价与且若,则,limlim且.时此结论未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(2) 和差代替规则和差代替规则: .sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例11 求解解 原式 18(3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如例如,01limarcsinsinxxx01limsin0 xxx例例12113t

8、an21lnlim3220 xxxxxIxuu2111解解32203tan21lnlim2xxxxxIx2220232limxxxx10 xx221ln2233tanxx232 xxx 1922220ln(1)lim1 coscosxxxxx12420ln(1)limsinxxxxxxx220sinlim220ln(1)ln(1)limseccosxxxxxxx解解:原式 =1coslim0 xx242 xxx 例例131320例例14 求.sin12lim410 xxeexxx解解:2 11 xxeexxxsin12lim4100 11 原式 = 1 (2000考研)0limxxexxeex

9、xxsin)(12lim4101 0f 0f21内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小222. 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1xarctan, x1xe, x1xa ln,xa(1) 和差取大规则和差取大规则: 若 = o() , 则常用等价无穷小常用等价无穷小 :)1ln(x, x23,不等价与且若,则,limlim且.时此

10、结论未必成立但(2) 和差代替规则和差代替规则: (3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx24作业作业P63 1口答；2单号；3; 4 ；5；6. 252（14）2lim()()xxxxa xb()lim1()()xxab xabxa xb()lim()()xx a b x aba bx ax bee2010考研考研262 2（1616）10 xe ；102lim(arctan).1xxxe0 x2arctan,2x 0 x2arctan,2x12( )arctan1xf xxe(0 );22f (0 )022f102lim(arctan)1xxxe.2解解 因为当时，当时，令 ，则所以 1+ .xe