两角和与差的三角函数的应用

1、综合应用综合应用(共三课时共三课时)()( CS)()( CS 代代以以 )( T 代代以以 )( T相除相除相除相除两角和与差的正弦、余弦、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：正切公式的内在联系：).(2,)2(.,2,)1(:)()(ZkkTT 于于均不能等均不能等中中和和在公式在公式公式为简便公式为简便以利用诱导以利用诱导的整数倍时的整数倍时中有一个角为中有一个角为当当注注 三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如化的依据就是一系列三角公式，如: : 同角三角函数关系同角三角函数关系可实现函数名

2、称的转化；可实现函数名称的转化； 诱导公式及和、差角的三角函数诱导公式及和、差角的三角函数可实现角的形式的转可实现角的形式的转化化. .在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要要“三会三会”: :正用、逆用、变用正用、逆用、变用. .要注意通过拆角、拼角的技巧要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角用已知角表示未知角. .4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4)4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).sin()sin(sincos2);sin()s

3、in(cossin2:,sincoscossin)sin(;sincoscossin)sin(: 得得应用方程的思想应用方程的思想中中在公式在公式如如关于和角与差三角公式关于和角与差三角公式特别注意公式的结构特别注意公式的结构, ,用活公式用活公式. .,tantan,tantan),tantan1)(tan(tantan:,tantan1tantan)tan(:系系在在一一起起程程联联因因此此常常又又与与一一元元二二次次方方式式子子特特别别是是公公式式中中有有可可以以变变形形为为又又如如公公式式 )cos()cos(sinsin2);cos()cos(coscos2: 可得可得同理由公式同理

4、由公式、CC4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).)tan(,43cos, ,32sin. 1的的值值求求是是第第二二象象角角且且已已知知例例 、.)30tan()60tan(1)30tan()60tan(. 2的的值值计计算算例例 .),2, 0(,1411)cos(,71sin. 3的值的值求求且且已知已知例例 .2sin,2sin,53)sin(,1312)cos(,432. 4的的值值求求已已知知例例 17727532)tan( 3: 答案答案33: 原式原式答案答案.65162sin,65562sin .sin5cos8,8047)sin(

5、, 6cos5sin8)2(.)sin()2(53sin3cos2)1(54cos3sin2)1.(5的值的值求求的值的值求求已知已知例例 ).sin()2()1(:22 构造构造分析分析.12cos312sin:)3(;sin153cos53:)2(;sin3cos3:)1(6 求值求值化简化简化简化简例例xxxx.:构构造造辅辅助助角角分分析析4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).10sin5cos8 .30tan15tan30tan15tan:. 7 计算计算例例).tantan1)(tan(tantan: 的的变变式式利利用用分分析析T4.6

6、4.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4). 4;. 3;. 2;2, 0.1:)(公式公式两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数九组诱导公式九组诱导公式式式同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系值值间的特殊角的三角函数间的特殊角的三角函数或默一默或默一默一记一记请同学们把下列内容记请同学们把下列内容记 .)tan(,tan,tan)0(0. 82的值的值求求的两个根为的两个根为且且已知一元二次方程已知一元二次方程例例 caacbxax tantan1tantan)tan(: 分析分析.tantantantan代入即可代入即可而而 acab 4.64.6两角

7、和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4)cos()sin(:,tan,tan076. 12 求求证证的的两两个个根根为为已已知知一一元元二二次次方方程程变变式式题题xx.)tan(,)0(02)32()()0 ,(tan),0 ,(tan,. 22的的最最小小值值求求图图象象上上的的两两点点是是二二次次函函数数为为实实数数设设变变式式题题 ymmxmmxxfBAm.43,23)tan(2tantan,32tantan,49, 0()0 ,(, 00:min ymymmmmmm 得得且且分分析析4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4

8、).tantantantantantan:. 9CBACBA，ABC 求证求证中中在在例例.tan)tan(:CBA 利利用用分分析析.4:2)tan1)(tan1(:),2, 0(,.10 BABABA的充要条件是的充要条件是求证求证已知已知例例).tantan1)(tan(tantan: 的的变变式式利利用用分分析析T)44tan1()3tan1)(2tan1)(1tan1(:. 化简化简变式题变式题4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4)80sin2)10tan31(10sin50sin2 :.112 求值求值例例.,90,60,80,10,50:

9、式式求求其其三三角角函函数数值值故故可可考考虑虑逆逆用用两两角角和和公公殊殊角角却却是是特特但但其其和和都都不不特特殊殊角角分分析析.660sin22)10sin50cos10cos50(sin2210cos2)10cos)1060cos(210sin50sin2(80sin2)10cos10sin310cos10sin50sin2(: 原式原式思路一思路一.610cos2)10cos50cos210sin50sin2(10cos2)1060tan()10tan60tan10sin50sin280sin2)10tan60tan1(10sin50sin2: 原原式式思思路路二二4.64.6两角和

10、与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).tantan1cossin)sin()sin(:.122222 求证求证例例.,:名名称称的的差差异异如如果果从从右右向向左左证证明明解解决决的的差差异异从从左左向向右右证证明明要要解解决决角角观观察察左左右右两两边边的的差差异异分分析析.2coscossin22tan23tan:.13xxxxx 求求证证例例.,.,:以以求求突突破破征征差差异异进进行行分分析析要要重重点点抓抓住住某某一一特特为为此此较较大大差差异异名名称称及及结结构构之之间间也也存存在在而而且且函函数数不不仅仅角角之之间间的的差差异异此此题题各各式式间间的的差

11、差异异较较大大分分析析.2cos23cossin)223cos()223cos(sin2;2cos23cossin2tan23tanxxxxxxxxxxxxx 右右边边左左边边4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).2tan,32)2sin(,91)2cos(,20 ,2.14的的值值求求已已知知例例 .,2,224,24),2()2(2:则则问问题题可可解解余余弦弦的的正正弦弦再再求求出出而而分分析析 355222tan;27572cos;27222sin .)sin(,135)43sin(,53)4cos(,40 ,434:的的值值求求已已知知变变

12、式式题题 4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).2tan2tan32tan2tan,.15的的值值求求成成等等差差数数列列已已知知在在例例CACACBAABC . 32tan2tan32tan2tan,3)22tan(,322,: CACACACA由由公公式式变变形形得得由由题题意意得得分分析析 .20cos20sin10cos2.16的的值值求求例例 203010: 分分析析4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).tan(3tan:, 0sin2)2sin(.17 求证求证已知已知例例.)(;)(2: 分析分析.)4cos(2cos:,40 ,135)4sin(.18的的值值求求已已知知例例xxxx 1324)4cos(2cos).4(24);4()4(2: xxxxxxx 分析分析4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(4)(4).15tan3115tan3)2(.)5 .2tan5tan1(5sin,5tan)1.(1