一元二次根与系数关系

1、 22.2.4 22.2.4 一元二次方程的一元二次方程的 根与系数的关系根与系数的关系 观察猜想方程方程x22x0 x23x40 x25x60 2x27x3=0122732x2两根之和两根之和 x x1 1+x+x2 2两根之积两根之积x x1 1x x2 2x10220-41-3-42356-3方程的两根和、两根积分别与方程的各项系数有什么关系？方程的两根和、两根积分别与方程的各项系数有什么关系？方程的两根和、两根积分别与方程的各项系数方程的两根和、两根积分别与方程的各项系数有什么关系？有什么关系？两根之和等于一次项系数除以二次项系数两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等

2、于常数项除以二次的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数项系数一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (韦达定理）韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,则：，的两根为若方程特别地：推论推论1 1例例 1、不解方程，求方程两根的和两、不解方程，求方程两根的和两根的积：根的积：(1)2310 xx (2)02122xx0105)4(0863)3(22xxxx练习、练习、1.已知方程已知方程 的一个的一个根是根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及 的值。的值。k062 kxx求求x x1 1x

3、 x2 22 2+x+x2 2x x1 12 2的值；的值；例例 221,xx032 xx1942231 xx另外几种常见的求值另外几种常见的求值2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2

4、2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时， 0 0当当k=-2k=-2时，时， 0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2, 1xx42221 xx例例 3说出下列各方程的两根之和与两根之积：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2 - 2x - 1=02、2x2 - 3x + =03、2x2 - 6x =04、3x2+x+2 = 4

5、21x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=3x1x2=0 x1+x2=23x1x2=41x1+x2=31对于方程对于方程x x2 2+2x+3=0+2x+3=0，小明说它的两根之和为，小明说它的两根之和为-2-2，两根之积为两根之积为3 3，你认为他的说法对吗？为什么？，你认为他的说法对吗？为什么？x1x2= 32巩固练习：巩固练习：（1）已知方程）已知方程 的一个的一个根是根是1，求它的另一个根及，求它的另一个根及 的值。的值。m042 mxx（2）设方程设方程 的两个根是的两个根是 求求 的值的值03242 xx,242（3）设 是方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值。12,x x2

6、2430 xx2112xxxx12(1)(1)xx平方和；平方和； 倒数和。倒数和。221)(xx 2221xx 4.4.已知关于已知关于x x的方程的方程 的两个根是的两个根是1 1和和2 2，求，求p p和和q q的值；的值； 5.求一个一元二次方程，使它的两个求一个一元二次方程，使它的两个根分别为根分别为4和和-7。02qpxx6.已知方程已知方程的两个根的倒数和等于的两个根的倒数和等于6，求，求m的值的值02422mxx题题9 9 方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求mm的取值范围。的取值范围。解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m

7、-100m0m-100m1)0(0122mmmxmx一正根，一负根一正根，一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20两个负根两个负根0X1X20X1+X20 题题9 在在ABC中中a,b,c分别为分别为A, B,C 的对边的对边,且且c= ,若关于若关于x的方程的方程 有两个相等的实数根有两个相等的实数根,又方程又方程 的两实数根的平方和为的两实数根的平方和为6,求求ABC的面积的面积.350)35(2)35(2baxxb0c5ac10a22xx五综合五综合小结：小结： 1、熟练掌握根与系数的关系；、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题；、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。、探索解题思路，归纳解题思想方法