余弦定理(合成)

1、千岛湖 3.4km3.4km6km6km120120）情景问题岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C? ?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km3.4km6km6km120120）岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C? ?3.4km6km120120A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出 ACAC？）CBAcab探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为CC， 求边求边c

2、.c.cABbCAaCB,设设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bacCBAcabAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac探探 究究： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设CBAcabBaccabcos22

3、22余弦定理余弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探探 究究： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设bacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

4、和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。C CB BA Ab ba ac c对余弦定理还对余弦定理还有其他证明方有其他证明方法吗法吗? ? 回顾正弦定理的证明你还有回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明余弦定理的方法？没有其它的证明余弦定理的方法？（1）坐标法）坐标法（2）直角三角形的边角关系）直角三角形的边角关系（3）正弦定理（三角变换）正弦定理（三角变换） 证证 明明 方方 法法余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。C CB BA Ab ba ac

5、cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：推论： 利用余弦定理可利用余弦定理可以解决什么类型以解决什么类型的三角形问题？的三角形问题？3.4km3.4km6km6km120120）A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km， B=120B=120o o，求，求 ACAC解决实际问题解决实际问题解：由余弦定理得解：由余弦定理得答：岛屿答：岛屿A A与岛屿与岛屿C C的距离为的距离为8.24 km.8.24 k

6、m.BBCABBCABACcos222296.67120cos4 . 3624 . 3622o24. 8AC1. 如图，在如图，在ABC中，已知中，已知a=5，b=4，C=120，求，求c.解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得2222cos120cabab因此因此221542 5 4 ()612c 120 abcCBA简单应用：简单应用：1余弦定理对任意三角形都适合吗？答案：都适用2余弦定理的式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答案：四个，能3勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两

7、个定理之间的关系？答案：若ABC 中，C90，则 cosC0，这时 c2a2b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例4余弦定理及其推论的基本作用是什么？答案：(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角回顾回顾: :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2 2、已知三边求三个角；、已知三边求三个角；3 3、判断三角形的形状、判断三角形的形状Cabba

8、ccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：余弦定理：推论推论: :例1：在ABC中，已知a=2,b= ， ,解三角形231c 例3：在ABC中，已知a=2,b= ，解三角形。231c 例3：在ABC中，已知a=2,b= ，解三角形。231c 例1：在ABC中，已知a=2,b= ，解三角形。231c 解：由例解：由例2可知可知 A=45由正弦定理得由正弦定理得 思考思考在解三角形的过程中，求某一个角有时在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？什么利弊呢？在已知三边

9、和一个角的情况下：求另一个角在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理正弦定理用余弦定理推论，解唯一用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。可以免去判断舍取。用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取判断舍取在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理这时要依据正弦定理

10、和余弦定理的适用范围来选择，还要依理这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两靠经验的积累根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意但是在(0，)内一个余弦

11、值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论.优化题型2 ：已知两边及夹角解三角形求 b 及 A.思维突破：已知两边及其夹角，可直接使用余弦定理求解应注意确定 A 的取值范围，根据问题的具体情况，灵活地选择定理及其变形公式，是解三角形的关键所在先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角例1在ABC中，已知a2，b ，C15，求角A、B和边c的值例 在ABC中，已知a2，b ，C15，求角A、B和边c的值练习1如图，已知AD为ABC的内角BAC的平分线，AB3，AC5，BAC=120，求AD的长分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平

12、分线定理可求出BD长，再解ABD即可求出AD长解析：在ABC中，由余弦定理：BC2AB2AC22ABACcosBAC3252235cos12049，BC7，设BDx，则DC7x，由内角平分线定理：在ABD中，设ADy，由余弦定理：BD2AB2AD22ABADcosBAD.已知在ABC中，根据下列条件解三角形。sin1sincBCb解：（）由正弦定理，得 1113 332,60 ,12032CC11160906CAa当时，112120303CAa当时，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)练习练习2：22212cos63bacacBaor a解：（）法2 由余弦定理，得 解得

13、 1116sin26sin13 90 ,60aBaAbAC当时，由正弦定理，得=2233,30120aabABCAC当时，为等腰三角形 ，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)练习练习2：已知在ABC中，根据下列条件解三角形。 2222cos2bcaAbc由余弦定理，得2222 26223 22 2 2622cos 30 ,45 ,1052BABC同理，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)已知在ABC中，根据下列条件解三角形。练习练习2：解解例1在ABC中，acosAbcosB，试确定此三角形的形状当ab时，ABC为等腰三角形；当c2a2b2时，ABC

14、为直角三角形ABC为等腰三角形或直角三角形解法2：由acosAbcosB以及正弦定理得2RsinAcosA2RsinBcosB，即sin2Asin2B.又A、B(0，)，2A、2B(0,2)，故有2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形分析分析. 在ABC中，222222 ; . CabcCabc当为锐角时，当为钝角时，22222222cos0, 2cosCCcabbcC ababc证明：当为锐角时，由余弦定理，得，即 222 . Cabc 同理可证，当为钝角时，.试判断该三角形的形状222sin,cossin2AaabcCBbab解：由正弦定理和余弦定理，得 222

15、22aabcbab22bc整理，得 0,0bcbcABC 为等腰三角形思考：思考：想想看有无其它的方法？想想看有无其它的方法？2sinBcosC,inA在ABC中，已知s例3.例3. 在在ABC中，已知中，已知2b=a+c，证明：，证明： 2sinB=sinA+sinC变式变式1：引：引：你能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？你能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？导：导：如何利用正弦定理证明以上关系？如何利用正弦定理证明以上关系？C CA AB Ba ac cb b 证明：由证明：由 得得 RCcBbAa2sinsinsin即即 2sinB=sinA+sinCa=2RsinA，b=2RsinB

16、，c=2RsinC， 将此式将此式 代入代入 2b=a+c 得得22RsinB=2RsinA+2RsinC变式变式2： 在在ABC中，已知中，已知b =a c，证明：，证明： sinB=sinA sinC2 22 2C CA AB Ba ac cb b 证明：由证明：由 得得 RCcBbAa2sinsinsina=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， （2RsinB）=（2RsinA）（）（2RsinC）2 2将此式将此式 代入代入 b =a c 得得2 2即即 sin B=sinA sinC2 2题型4余弦定理的简单应用a2c2b2与ac 之间的关系式在解与三角形有关的问题中经

17、常遇到，应养成自觉使用余弦定理的习惯在在ABC中，已知中，已知 在三角形中在三角形中,已知已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角求角A.变式变式1：变式变式2：accba2222,求求角角C. 变式变式3：在在ABC中，已知中，已知 ）（ABACBsinsin2sinsinsin22求角求角C. 变式变式4.求求 的值的值. 10sin20sin310sin20sin22【练习】1在ABC 中，若 a9，b10，c12，则ABC 的形状是_锐角三角形总结提高总结提高:2. 应用应用正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理不仅可以解斜三角形，不仅可以解斜三角形，还可以将条件统一为还可以将条件

18、统一为边的关系边的关系或或角的关系角的关系.1.正弦定理正弦定理的变式的变式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC RCcRBbRAa2sin2sin2sin，RcCRbBRaA2sin2sin2sin，分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各角的一个关系式，化简之后便可求出A；(2)分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出B.例3(2010辽宁卷)在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状余余 弦弦 定定 理理 三角形任

19、何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。bcacbA2cos222中，在 ABC为直角；Aacb222为锐角；Aacb222为钝角Aacb222C CB BA Ab ba ac cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222小结小结: :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2 2、已

20、知三边求三个角；、已知三边求三个角；3 3、判断三角形的形状、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：余弦定理：推论推论: :三角形中的边角关系余弦定理定理内容定理证明定理应用课堂总结课堂总结(1)(1)已知三边，求三个角已知三边，求三个角(2)(2)已知两边和它们的夹角，已知两边和它们的夹角， 求第三边和其它两个角。求第三边和其它两个角。2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC1、已知、已知ABC中，三个内角中，三个内角A,B,C的对边分别是的对边分别是a,b,c,若若ABC的面积为的面积为

21、S,且且2S=(a+b)c,求求tanC的值。的值。2、在、在ABC中，如果中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且且sinA=2sinBcosC,试确定试确定ABC的形状。的形状。练习练习应用问题应用问题例例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在，从与烟囱底部在同一水平直线上的同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是和4560，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器高已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，

22、求什么？求什么？想一想想一想实例讲解实例讲解AA1BCDC1D1分析：分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：烟囱的高为 29.9m.ABCDE6520352.3520100065 ,(1 ).ABDDBCm例 某登山队在山脚 处测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为的斜坡前进米 后到达 处，又测得 处的仰角

23、为求山的高度精确到ABCDE652035BEDC2.57,1.89,2.01,45 ,120 ,.BCcm CDcmBEcm BC某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损，现测得如下数据；为了复原，计算原另两边的长BEDCA 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出出一个或几个三角形一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了在这个过程中，贯穿了数学建模数学建模的思想。这种思想即是从实际的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。例4(数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB4.3 km，BC3.7 km，AC4.