探索多边形的外角和

1、4.6探索探索 多边形的外角和多边形的外角和边边顶点顶点内角内角多多(n)(n)边形的内角和边形的内角和: : （n-2n-2）1801800 0ABDCE21354 多边形的一边与另一边多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的做这个多边形的外角外角。 在每个顶点处取这个多在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的叫做这个多边形的外角和外角和. . 问题（一）问题（一） 1.1.观察图中的观察图中的5 5个角，你能发现它们有什么共同特征？个角，你能发现它们有什么共同特征？ 2.2.你能给这样的角起个名字并下个定

2、义吗？你能给这样的角起个名字并下个定义吗？ 3.3.每个顶点处有几个每个顶点处有几个这样的角？各有什么关系？这样的角？各有什么关系？小明跑完一圈，身体一共转过多少度？小明跑完一圈，身体一共转过多少度？ABDCE21354 多边形的一边与另一边多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的做这个多边形的外角外角。 在每个顶点处取这个多在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的叫做这个多边形的外角和外角和. . 问题（一）问题（一） 1.1.观察图中的观察图中的5 5个角，你能发现它们有什么共同特征？个角，你能发现它们有

3、什么共同特征？2.2.你能给这样的角起个名字并下个定义吗？你能给这样的角起个名字并下个定义吗？ 3.3.每个顶点处有几个每个顶点处有几个这样的角？各有什么关系？这样的角？各有什么关系？方法二方法二: 剪拼法剪拼法方法一方法一: 度量法度量法方法三方法三: 推理法推理法ABDCE21354小实验小实验问题（二）问题（二） 1.1.你能利用这个实验来解释五边形的外你能利用这个实验来解释五边形的外角和是角和是3603600 0吗？吗？问题问题（二）（二） 2.根据实验，你能得到一种验证五边形的外根据实验，你能得到一种验证五边形的外角和是角和是3600的方法吗？的方法吗？ABDCE213548C7B6

4、D9OAE10小明是这样思考的：小明是这样思考的： 过平面内一点过平面内一点O O分别作与五边形分别作与五边形ABCDEABCDE各边平行各边平行的射线的射线OA OA 、OB OB 、OC OC 、OD OD 、 OE , OE ,得得到五个角到五个角6 6、 7 7、 8 8 、9 9 、1010，根据这五个，根据这五个角的和就能求出角的和就能求出1 1、 2 2、 3 3 、4 4 、5 5的和。的和。你明白其中的道理吗？你明白其中的道理吗？ 想一想：想一想： 如果小路围成的是六边形、八边形如果小路围成的是六边形、八边形任意多边形，还有类似的结论吗？任意多边形，还有类似的结论吗？多边形的

5、外角和多边形的外角和都等于都等于3603600 0。 问题（三）问题（三） 1.1.多边形同一个顶点处的一个外角与内角有什么多边形同一个顶点处的一个外角与内角有什么关系？关系？ 2.2.你能利用以上关系以及多（你能利用以上关系以及多（n n）边形的）边形的内角和内角和推理出多（推理出多（n n）边形的）边形的外角和外角和吗？吗？A1A2A3A4A5A6A7An 答答: :因为多边形的外角与因为多边形的外角与它相邻的内角之和是它相邻的内角之和是1801800 0，所，所以以n n边形的边形的外角和加内角和外角和加内角和等等于于n n180180，内角和内角和为为( (n-n-2)1802)180

6、, ,因此，因此，外角和外角和为：为：n n180180( (n n- -2)1802)180= = 360360. . 例例 一个多边形的内角和等于它的外角和一个多边形的内角和等于它的外角和的的3 3倍，它是几边形？倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是解：设这个多边形是n n边形，则它的边形，则它的内内角和角和是（是（n-2n-2）1801800 0，外角和外角和等于等于3603600 0. .由题意得由题意得 （n-2n-2）180=3180=3360360 解得解得 n=8n=8答：这个多边形是八边形。答：这个多边形是八边形。14400360072010806240 AA 51 答：存在

7、。理由：假设存在这样的多边形，设它的答：存在。理由：假设存在这样的多边形，设它的一个外角为一个外角为x x0 0, ,则相邻的内角为则相邻的内角为1801800 0- x- x0 0，由题意得，由题意得 （ 180 1800 0- x- x0 0）=x, x=30.=x, x=30. 这个多边形的边数为这个多边形的边数为3603600 0 30300 0=12=12511 1. .什么叫多边形的外角？什么叫多边形的外角？2 2. .什么叫多边形的外角的外角和？什么叫多边形的外角的外角和？3 3. .多边形的外角和是多少？多边形的外角和是多少？4 4. .这节课你体会到了哪些数学思想方法？这节课你体会到了哪些数学思想方法？ 数学知识是无穷的。只要如果我们能善于运用数学思想方法去探究数学问题，所获得的数学知识就会越来越多！ 教师寄语 作作 业业 1 1. .你能用多边形的外角和推你能用多边形的外角和推导出内角和吗？导出内角和吗？ 2 2. .思考题：小明在计