第3章 力矩和力偶系

1、yonyou seentao technology Co., Ltd.华东交通大学吴秋兰2015年9月1日工程力学软件+电气2013-1.2班学习课程2022-5-182引引 言言 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系( (平面力偶系是其中的特殊情况平面力偶系是其中的特殊情况 ) ) 平面一般力系平面一般力系( (平面任意力系平面任意力系) )平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系：平面特殊力系平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系：平面特殊力系第三章第三章 力矩和力偶系力矩和力偶系力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向；转动效应转动效应-取决

2、于力矩的大小、方向。3-1 3-1 力矩力矩（* * 重点）重点）3-2 3-2 力对轴之矩力对轴之矩第三章第三章 力矩和力偶系力矩和力偶系3-3 3-3 力偶力偶（* 重点）重点）3-4 3-4 力偶的性质和等效条件力偶的性质和等效条件3-5 3-5 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2022-5-184 物理学过，用板手转动螺栓，施加在板手上的力必须要产物理学过，用板手转动螺栓，施加在板手上的力必须要产生生力矩力矩，力矩，力矩=力力力臂力臂一、力对点之矩一、力对点之矩3-1 3-1 力矩力矩（* 重点）重点） 力臂力臂是转动中心到力作用线垂直距离，若转动中心到作用是转动中心到力作

3、用线垂直距离，若转动中心到作用点连线和力作用线垂直点连线和力作用线垂直,力臂？不垂直力臂？不垂直,力臂？力臂？转动中心称为转动中心称为矩心矩心，常用一字母表示矩心，常用一字母表示矩心，例如用板手拧螺栓例如用板手拧螺栓A，矩心为，矩心为A；拧螺栓；拧螺栓B，矩心为矩心为B力矩的表示方法力矩的表示方法:M:MO O(F)=(F)=FdFd，其中，其中M M力矩力矩, ,矩心矩心,(F),(F)产生力矩的力产生力矩的力, ,正或负号正或负号,F,F力力,d,d力臂力臂, ,力矩单位：力矩单位：Nm Nm ；k Nm k Nm 等。同一等。同一个计算单位要统一。个计算单位要统一。规定规定: :逆时针转

4、动逆时针转动, ,力矩为正；顺时针转动力矩为正；顺时针转动, ,力矩为负。力矩为负。什么是顺、逆时针？什么是顺、逆时针？因逆时针因逆时针用用右手向上表示方便右手向上表示方便例，力例，力F1拧紧螺栓拧紧螺栓A,连线和力线不垂直连线和力线不垂直, MA(F1)=F1d1；力；力F2拧松拧松,垂直垂直, MA(F2)=+F2d2怎样判定转动方向是顺时针或逆时针？怎样判定转动方向是顺时针或逆时针？想像法！想像法！把矩心想像为时把矩心想像为时钟中心，把力臂钟中心，把力臂和垂足想像为指针和垂足想像为指针所指钟点位置，所指钟点位置，把力想像为推动指把力想像为推动指针转向针转向例，板手卡口外的例，板手卡口外的

5、受力受力F3F3，或板手手，或板手手柄端部沿手柄轴线柄端部沿手柄轴线的受力的受力F4F4，力臂均，力臂均为零，力矩为零为零，力矩为零 特例：力作用线通过矩心，力矩等于零。特例：力作用线通过矩心，力矩等于零。2022-5-185( )2OAOBMFF d +- 力矩是计算力对矩心的力矩，同一力不同矩心力矩不同，力矩是计算力对矩心的力矩，同一力不同矩心力矩不同，矩心是一个点，所以又称为矩心是一个点，所以又称为力对点的力矩力对点的力矩，以符号，以符号Mo(F) Mo(F) 表示，记为：表示，记为：规定：规定：力使物体绕矩心逆时针力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正，反之为负。方向转动时为正，反之为负。

6、2022-5-186 是代数量。)(FMO当F=0或d=0时， =0。)(FMO 是影响转动的独立因素。)(FMO =2AOB=Fd ,2倍形面积。)(FMO说明：说明： F,d转动效应明显。单位Nm。2022-5-187二、合力矩定理二、合力矩定理ORO1O2OnO()()()()()MFMFMFMFMF 定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点（轴）的矩，等于平面汇交力系的合力对平面内任一点（轴）的矩，等于所有各分力对同一点（轴）的矩的代数和。所有各分力对同一点（轴）的矩的代数和。由合力投影定理有：12( )()()oooMRMFMF现证毕证证od=ob+ocoboAoABFMo2)(

7、1ocoAoACFMo2)(2odoAoADRMo2)(又因为物理已知，合力和分力等效，所以因为物理已知，合力和分力等效，所以,合力力矩等于各分合力力矩等于各分力力矩之代数和力力矩之代数和2022-5-188例：例：求求 F对对 矩形矩形A、B、C、 D 四点的力矩。四点的力矩。 FAbaDBC(a)b(b)aDABCFFxFy解：解：（1）用定义式）用定义式。dAdDdBMD (F)Fy b F sin b利用合力矩定理，很容易求出利用合力矩定理，很容易求出 F F 对各点的力矩。对各点的力矩。MB (F) Fx a F cos aMC (F)0 （2）将力将力 F沿矩形的两边分解：沿矩形的

8、两边分解：FxFcos MA (F)Fx aFy b F cos aF sin bFyFsin 2022-5-189例试计算力例试计算力F F对对A A点之矩。点之矩。解本题有两种解法。解本题有两种解法。方法一：方法一： 按按力矩的定义计算力矩的定义计算由图中几何关系有：由图中几何关系有： d=ADsind=ADsin =(AB-DB)sin =(AB-DB)sin =(AB- BC=(AB- BCcotcot)sin)sin =(a- b=(a- bcotcot)sin)sin =asin =asin-bcos-bcos 所以所以m mA A(F)=F(F)=Fd d=F(asin=F(as

9、in-bcos-bcos) )2022-5-1810（2 2）根据合力矩定理计算。）根据合力矩定理计算。将力将力F F在在C C点分解为两个正交点分解为两个正交的分力，由合力矩定理可得的分力，由合力矩定理可得m mA A(F)= m(F)= mA A(F(Fx x) )+ + m mA A(F(Fy y) )= =F Fx xb+ Fb+ Fy ya a= =F(bcosF(bcosasinasin) ) =F(asin=F(asin-bcos-bcos) )方法二：方法二：小结小结：虽然用：虽然用“力矩力矩=力力力臂力臂”、“合合力矩定理力矩定理”两种方法计算力矩的结果相同。两种方法计算力矩

10、的结果相同。但是，但是，当不好计算力臂时，要将力分解成两当不好计算力臂时，要将力分解成两个分力，使用合力矩定理计算两分力的力矩个分力，使用合力矩定理计算两分力的力矩对于力作用线与尺寸线不垂直的题目对于力作用线与尺寸线不垂直的题目，今后一概使用，今后一概使用“合力矩定理合力矩定理”计算力矩计算力矩 2022-5-1811对于力作用线与尺寸线不垂直的题目对于力作用线与尺寸线不垂直的题目，今后一概使用，今后一概使用“合合力矩定理力矩定理”计算力矩计算力矩 例：例：已知已知:F=300 N，a=30,a0.25 m，b0.05 m.求：求：MB(F)题目：这是一个刹车的操纵机构，驾驶员脚题目：这是一个

11、刹车的操纵机构，驾驶员脚的踏力的踏力F=30 N，既不水平，也不铅直既不水平，也不铅直，与水，与水平成平成a=30题目给了力题目给了力F作用点与矩心作用点与矩心的铅直距离尺寸的铅直距离尺寸a0.25 m，水平距离尺寸，水平距离尺寸b0.05 m将将F力分解为水平和铅直方向两分力力分解为水平和铅直方向两分力Fx、Fy，这两分力的力臂就是这两分力的力臂就是a和和b，计算两分力的力，计算两分力的力矩即矩即:在脚踏力在脚踏力F作用下作用下,A点左移点左移,摇臂摇臂ABC绕绕B点转动点转动,C点右移点右移,通通过液压油控制刹车的具体方法不讲过液压油控制刹车的具体方法不讲如果按力矩的定义计算，力矩如果按力

12、矩的定义计算，力矩=力力力臂，力臂，图示力臂图示力臂d的尺寸太难求了的尺寸太难求了Fx=Fcosa=300cos30=260 NFy=Fsina=300sin30=150 NMB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=Fx a-Fyb =2600.25-1500.05=57.5 Nm2022-5-1812 小结：小结： 力臂不好计算的题目，一定不要花很多时间去寻找力臂力臂不好计算的题目，一定不要花很多时间去寻找力臂的计算方法，一定要用的计算方法，一定要用合力矩定理合力矩定理计算力矩计算力矩 合力矩定理计算力矩的方法，将力分解为合力矩定理计算力矩的方法，将力分解为与尺寸线与尺寸线平行平行或垂直的两个

13、分力，计算两分力力矩代数和或垂直的两个分力，计算两分力力矩代数和 这里的这里的Fx、Fy是分力，不是投影！投影有正有负是分力，不是投影！投影有正有负(此题此题Fx、Fy的投影均负值的投影均负值)，分力一定是正值，分力一定是正值 两分力力矩的正负符号，由两分力力矩的正负符号，由转动方向决定转动方向决定，Fx逆正、逆正、Fy顺负，力矩正负号与各力投影正负符号无关顺负，力矩正负号与各力投影正负符号无关概念概念3-2 3-2 力对轴之矩力对轴之矩 力矩是计算力对矩心的力矩，同一力不同矩心力矩不同，力矩是计算力对矩心的力矩，同一力不同矩心力矩不同，矩心是一个点，所以又称为矩心是一个点，所以又称为力对点的

14、力矩力对点的力矩 力矩使物体转动力矩使物体转动,该物体该物体总是绕着一个轴转动总是绕着一个轴转动，例如板手使，例如板手使螺栓绕其螺栓绕其中心轴线中心轴线转动转动,又称为又称为力对轴的力矩力对轴的力矩 如计算轮轴各力力矩如计算轮轴各力力矩,空间力臂尺寸难想空间力臂尺寸难想象象,投影投影在转轴垂直平面上在转轴垂直平面上,计算各力对中心计算各力对中心点力矩点力矩,即即力对转轴力矩力对转轴力矩2022-5-1814力对轴的矩力对轴的矩力使物体绕固定轴转动效应的度量力使物体绕固定轴转动效应的度量（1 1）力使管子（或扳手）绕）力使管子（或扳手）绕z轴转动，轴转动， （3 3）转动效应与力的大小及）转动效

15、应与力的大小及dy有关，取决于力在有关，取决于力在Oxy平面内平面内 对对O点的矩。点的矩。 （2 2）力与）力与z z轴相交或与轴平行无绕轴的转动效果轴相交或与轴平行无绕轴的转动效果, ,计算计算 力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。 力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。 平面力系对平面内的

16、点之矩可以认为是力对通过平面力系对平面内的点之矩可以认为是力对通过此点垂直于该平面的轴之矩。此点垂直于该平面的轴之矩。hFFMFMxyxyOz)()(2022-5-1816丝锥攻制内螺纹丝锥攻制内螺纹,开始圆孔小开始圆孔小,不能保持丝不能保持丝锥位置锥位置,若只一力若只一力F,丝锥偏离圆孔移动丝锥偏离圆孔移动,不不能在孔内旋转，即使攻丝有了一定的深度能在孔内旋转，即使攻丝有了一定的深度，由于丝锥的材料较脆，如果只靠一个力，由于丝锥的材料较脆，如果只靠一个力的力矩作用，常会使其弯曲折断，要转动的力矩作用，常会使其弯曲折断，要转动丝锥攻制螺纹不使其折断，或者使没有支丝锥攻制螺纹不使其折断，或者使没

17、有支点的物体转动，必须在手柄上作用两个力点的物体转动，必须在手柄上作用两个力F和和F。3-3 3-3 力偶力偶（* 重点）重点）力偶力偶 用板手旋紧螺栓，由于构件螺栓孔的约束，只要在板手用板手旋紧螺栓，由于构件螺栓孔的约束，只要在板手末端加一个力末端加一个力F，可使板手、螺栓一起转动，可使板手、螺栓一起转动这两个力的这两个力的大小相等、方向相反，大小相等、方向相反，作用线平行作用线平行。这样等值、反向、平行的两个力称这样等值、反向、平行的两个力称为为力偶力偶又如，铰链支座（或门），有销钉，在杆件上作用一个力就又如，铰链支座（或门），有销钉，在杆件上作用一个力就能使杆件转动。能使杆件转动。如果没

18、有销钉，一个力，杆件就不能绕圆孔转动，作用两个如果没有销钉，一个力，杆件就不能绕圆孔转动，作用两个等值、反向、平行的力，也能使杆（金箍棒）转动等值、反向、平行的力，也能使杆（金箍棒）转动力矩和力偶都能使力矩和力偶都能使物体转动，有什么物体转动，有什么区别？区别？力矩转动须有支点力矩转动须有支点, ,力偶力偶转动的转动的支点支点可有可无可有可无力矩转动的支点受力力矩转动的支点受力, ,力力偶转动的偶转动的支点支点不受力不受力2022-5-1817（图（图a a）司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力；）司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力； （图（图b b）工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上

19、的力；）工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力；（图（图c c）以及用两个手指拧动水龙头所加的力等等。）以及用两个手指拧动水龙头所加的力等等。力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动。在日常生活中，用钥匙开门，拧水龙头，拧毛巾、转动螺在日常生活中，用钥匙开门，拧水龙头，拧毛巾、转动螺丝刀等等，都是力偶使物体转动的实例。丝刀等等，都是力偶使物体转动的实例。转向器转向器FF FF丝锥丝锥2022-5-1818方向盘方向盘 作作 用于刚体上用于刚体上等值、反向、平行而不共线等值、反向、平行而不共线的两的两个力组成的力系，个力组成的力系，记作（F,F） 两个力

20、作用线之间的垂直距离称为力偶臂力偶臂，用符号用符号d表示表示 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。力偶的作用面。力偶作用面、力偶臂力偶作用面、力偶臂d d力偶：力偶： 力偶的一个力和力偶臂的乘积，用符号力偶的一个力和力偶臂的乘积，用符号M表示，表示，即即M=Fd 因力矩和矩心位置无关，不用写下标，因不同力和不同因力矩和矩心位置无关，不用写下标，因不同力和不同力偶臂乘积的力偶矩可能相同。力偶臂乘积的力偶矩可能相同。 正号或负号正号或负号“”规定和力矩规定相同：规定和力矩规定相同：逆时针逆时针转向的转向的力偶矩为正值，力偶矩为正值，顺时针顺时针转向的力偶矩为负值转向的力偶矩为负值力偶矩和力矩

21、的单位相同，法定计量单位为力偶矩和力矩的单位相同，法定计量单位为牛顿牛顿米米（Nm）力偶的图示方法：力偶的图示方法：MM力偶矩：力偶矩：2022-5-1819力偶矩m是代数量，有是代数量，有+、-；F、 d 都不独立，只有力偶矩都不独立，只有力偶矩 是独立量；是独立量； m的值的值：m=2ABC ；单位：单位：N mdFm说明：说明：FFdABC2022-5-1820性质性质1 1力偶 无合力R=F-F=0FFd它在任一轴上投影的代数和均为零它在任一轴上投影的代数和均为零故不能与一个力等效。故不能与一个力等效。3-4 3-4 力偶的性质和力偶的性质和等效条件等效条件一、力偶的性质一、力偶的性质

22、力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。2022-5-1821性质性质2 2( )( )()OOMFMFF xdF x)(FmdFO由于O点是任取的dFm+FFdOxAB力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。量。2022-5-1822性质性质3 3故用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表故用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表示力偶的转向，示力偶的转向，m m表示力偶矩的大小。表示力偶矩的

23、大小。 力偶三要素力偶三要素： 力偶矩大小力偶矩大小 力偶的转向力偶的转向 力偶作用面力偶作用面 三要素不同，作用效果不同三要素不同，作用效果不同但作用面平行移动的力偶，但作用面平行移动的力偶，作用效果不变作用效果不变保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶中的力保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶中的力和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。2022-5-1823转向器转向器PP转向器转向器PP2m50kN50kN2m50kN50kN推论推论1同平面两个力偶矩相等，则两力偶彼此等效。同平面两个力偶矩相等，则两力偶彼此等效。2m50kN50kN4m25kN2

24、5kN推论推论2二、平面力偶等效定理二、平面力偶等效定理力偶在同一刚体内是一自由矢量力偶在同一刚体内是一自由矢量力偶可以在作用面内任意转动和移动，而不影响它对刚力偶可以在作用面内任意转动和移动，而不影响它对刚体的作用。体的作用。只要保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以同只要保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变对刚体的时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变对刚体的作用。作用。2022-5-1824平面力偶可用带箭头的弧线来表示。平面力偶可用带箭头的弧线来表示。m 表示力偶矩的大小，箭头代表转向。表示力偶矩的大小，箭头代表转向。2m50kN50kN1

25、00kNm2m30kN30kN60kNm100kNm60kNm3-5 3-5 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡;111dFm 222dFmdPm11又dPm2221PPRA21PPRB212121)( mmdPdPdPPdRMA合力矩平面力偶系平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶dd1212 FFMmmdd 合力偶矩2022-5-1826BAdF1F1d1d2F2F2FF3 F4F2 d2F4 d m = Fd =（F3F4）d F3F3F4F4F1d1F3 d= m1 + m2= F1d1F2d2 设同一平面内有两个力偶设同一平面内有两个力偶（F1，F

26、1）、（）、（F2，F2），），力偶臂力偶臂分别为分别为d1、d2，力偶矩分别为力偶矩分别为 m1= F1d1 、m2=F2d2 。求它们的合求它们的合成结果。成结果。 dFF BA3-5 3-5 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2022-5-1827 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。偶矩的代数和。1niimm平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡10niim只有一个平衡方程，只能求解只有一个平衡方程，只能求解一个一个未知量。未知量。 平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代平面力偶系平衡的必要与充

27、分条件：所有各力偶矩的代数和等于零。数和等于零。平面力偶系的合成平面力偶系的合成2022-5-182845 ABFAC（2 2） 受力如图。受力如图。（1）研究对象：）研究对象：AB（3 3）列平衡方程：列平衡方程：（5 5）由力偶的特点，）由力偶的特点，A点反力点反力FA=FB，方向如图。，方向如图。sin45BFl 0im 2BmFl0m（4 4）解方程解方程解解ADFCAmlFAFBB例例 已知如图：求已知如图：求A点点和和B点的点的约束力。约束力。m45 ADl2022-5-1829例例 用多轴钻床在水平工件上钻孔，每个钻头对工件施加一压力和一力用多轴钻床在水平工件上钻孔，每个钻头对工

28、件施加一压力和一力偶，如图所示已知三个力偶矩分别为：偶，如图所示已知三个力偶矩分别为：m1m210Nm，m320Nm。固定螺钉固定螺钉A、B的间距为的间距为l200mm。求两个螺钉给板的水平约束力。求两个螺钉给板的水平约束力。 m3m1m2 lAB m3m1m2 Am3m1m2 AB FBFA解： 研究对象：工件研究对象：工件由力偶系的平衡条件：由力偶系的平衡条件： 0im 1230AFlmmm A200NF BA200NFF结果为正，说明图示方向为力的实际方向。结果为正，说明图示方向为力的实际方向。FA、FB必组成力偶与其它三个力偶平衡。必组成力偶与其它三个力偶平衡。 从而从而解得：解得：2

29、022-5-1830 小结小结: 力偶对某一点的力矩就是其力偶矩，无论该力偶距力偶对某一点的力矩就是其力偶矩，无论该力偶距离矩心的位置有多远，都不能将力偶矩乘以力臂离矩心的位置有多远，都不能将力偶矩乘以力臂 虽然图中各力偶的转向不同，但在已知数据中，力虽然图中各力偶的转向不同，但在已知数据中，力偶矩数据一概正号偶矩数据一概正号, 代数和计算过程才有正负号代数和计算过程才有正负号 计算结果计算结果“-”号，说明合力矩顺时针方向转动号，说明合力矩顺时针方向转动2022-5-1831 第三章第三章 力偶系力偶系一、力对点之矩一、力对点之矩二、合力矩定理二、合力矩定理 O()2OABMFFh 正负规定：力使刚体绕点逆时针转为正，顺时针转为负。正负规定：力使刚体绕点逆时针转为正，顺时针转为负。 ORO1O2O