第四章-数值积分与微分

1、第四章第四章 数值积分与微分数值积分与微分4.1 4.1 引言引言4.2 4.2 牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式4.3 4.3 复化求积公式复化求积公式4.4 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.5 4.5 高斯求积公式高斯求积公式4.6 4.6 数值微分数值微分v 练习题练习题4.1 4.1 引言引言( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q数值求积的基本思想数值求积的基本思想 q代数精度代数精度 q求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性q插值型求积公式插值型求积公式q数值求积的基本思想数值求积的基本思想( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回

2、返回) ) ) ) ) ) q代数精度代数精度( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q代数精度的验证代数精度的验证( ( ( ( ( (定义定义定义定义定义定义) ) ) ) ) )q插值型求积公式插值型求积公式( ( ( ( ( (精度精度精度精度精度精度) ) ) ) ) )q插值型求积公式的代数精度插值型求积公式的代数精度( ( ( ( ( (回回回回回回) ) ) ) ) )q收敛性与稳定性收敛性与稳定性( ( ( ( ( (定理定理定理定理定理定理) ) ) ) ) )q稳定性定理稳定性定理( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) )

3、 )q简单求积图示简单求积图示( ( ( ( ( (公式公式公式公式公式公式) ) ) ) ) )4.2 4.2 牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q柯特斯柯特斯(Cotes)(Cotes)系数系数 q偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度 q几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项q柯特斯柯特斯(Cotes)(Cotes)系数系数( ( ( ( ( (特例特例特例特例特例特例) ) ) ) ) )q Cotes Cotes系数推导系数推导( ( ( ( ( (公式公式公式公式公式公式) ) ) ) ) )q低阶低阶

4、Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( ( ( ( ( (继续继续继续继续继续继续) ) ) ) ) )q低阶低阶Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )qCotesCotes系数表系数表( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q Simp

5、son Simpson公式余项公式余项( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )4.3 4.3 复化求积公式复化求积公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q复化梯形公式复化梯形公式q复化复化SimpsonSimpson公式公式q例题例题q复化梯形公式复化梯形公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q复化梯形公式的余项复化梯形公式的余项( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q复化复化SimpsonSimpson公式公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) )

6、) ) )q复化梯形公式与复化梯形公式与SimpsonSimpson公式算例公式算例( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )4.4 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q梯形法的递推化梯形法的递推化q龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)算法算法q理查森理查森(Richardson)(Richardson)外推算法外推算法q龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)求积算法求积算法q梯形法的递推化梯形法的递推化( ( ( ( ( (算例算例算例算例算例算例) ) ) ) ) )q梯形

7、递推梯形递推公式公式算例算例( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)算法算法( ( ( ( ( (继续继续继续继续继续继续) ) ) ) ) )事后估计法事后估计法q龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)算法算法( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q Richardson Richardson外推算法外推算法( ( ( ( ( (继续继续继续继续继续继续) ) ) ) ) )q Richardson Richardson外推算法外推算法( ( ( ( ( (返回返回返回返回返

8、回返回) ) ) ) ) )q Romberg Romberg 求积算法求积算法( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )4.5 4.5 高斯高斯(Gauss)(Gauss)求积公式求积公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )qGaussGauss求积公式的定义求积公式的定义 qGaussGauss求积公式的构造求积公式的构造 qGaussGauss求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性qGauss-LegendreGauss-Legendre求积公式求积公式qGauss-ChebyshevGauss-Chebyshev求积公

9、式求积公式qGaussGauss求积公式的定义求积公式的定义( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )qGaussGauss求积公式构造例题求积公式构造例题( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )qGaussGauss求积公式求积公式定义定义引例引例qGaussGauss求积公式的构造求积公式的构造( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q构造定理构造定理的证明的证明q Gauss Gauss求积公式的收敛性求积公式的收敛性 与稳定性与稳定性( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q收

10、敛定理收敛定理的证明的证明qGauss-LegendreGauss-Legendre求积公式求积公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )qGauss-LegendreGauss-Legendre求积求积节点与系数节点与系数 qGauss-ChebyshevGauss-Chebyshev求积公式求积公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )4.6 4.6 数值微分数值微分( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q中点法求导中点法求导 q插值型求导公式插值型求导公式q数值积分法求导数值积分法求导q三次样条求导

11、三次样条求导 q外推法求导外推法求导 q中点法求导中点法求导( ( ( ( ( (算例算例算例算例算例算例) ) ) ) ) )q中点法求导算例中点法求导算例( ( ( ( ( (误差误差误差误差误差误差) ) ) ) ) )q中点法求导误差分析中点法求导误差分析( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q插值型求导公式插值型求导公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q两点公式两点公式( ( ( ( ( (继续继续继续继续继续继续) ) ) ) ) )q三点公式三点公式( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q数值积分法求导数值积分法求导( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q利用利用SimpsonSimpson公式公式求导数求导数( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) ) q三次样条求导三次样条求导( ( ( ( ( (返回返回返回返回返回返回) ) ) ) ) )q外推法求导外推法求导(