第一章 圆锥曲线

1、第一章圓錐曲線1112 圓錐曲線名詞的由來、拋物線（標準式）1. 關於某拋物線，請完成下列表格：方程式頂點坐標焦點坐標準線方程式正焦弦長(A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)答：(A) (B) (C) 8 (D) (E) (F) (G) 42. 拋物線之焦距為 。答：ABC3. 如右圖，設拋物線之頂點為，焦點為，點在上，且，則 。答：124. 拋物線之(1) 焦點坐標為 。(2) 準線方程式為 。(3) 正焦弦長為 。答：(1) (2) (3) 85. 求下列各拋物線之方程式：(1) 開口向右，焦點，正焦弦長為12 。(2) 過二點且以直線為對稱軸 。(3) 對稱軸垂直軸，且過點 。答：(

2、1) (2) (3) 6. 設一拋物線方程式為，求此拋物線的：(1) 焦點坐標為 。(2) 準線方程式為 。(3) 對稱軸方程式為 。(4) 頂點坐標為 。(5) 正焦弦長為 。答：(1) (2) (3) (4) (5) 7. 已知一拋物線的頂點為，正焦弦的一端點為，則正焦弦長為 。答： 8. 拋物線上與直線距離最短為 ，此時點的坐標為 。答：,9. 給定拋物線和一點，則過P點且與相切之切線方程式為 。答： or BPSOQA10. 如下圖所示，河流上有一座拋物線型拱門橋，當水面寬公尺時，拱門最高點與水面相距公尺。若橋面和拱門間用很多根與橋面垂直的柱子固定，則距中心線 6公尺處的柱子的長度是

3、公尺。答：911. 在坐標平面上，設直線與拋物線相交於P、Q兩點。若F表拋物線的焦點，則 。答：1013 橢圓（標準式）1. 考慮坐標平面上所有滿足 的點 所成的圖形，下列敘述何者正確？ (A) 此圖形為一橢圓 (B) 此圖形為一雙曲線 (C) 此圖形的中心在 (D) 此圖形對稱於 (E) 此圖形有一頂點 答：ACDE2. 右圖是個橢圓，在長軸、短軸上各有幾個點，則下列哪一點是此橢圓的焦點？(A) A(B) B(C) C(D) D。 答：D3. 已知橢圓上一點P到其中一焦點F的距離為3，那麼P到另一焦點F 的距離是多少？ 。答：54. 設、為橢圓之二焦點，弦過，則之周長 。答：165. 關於某

4、橢圓，請完成下列表格：方程式中心焦點坐標(兩個)短軸長正焦弦長(A)(B)(C)(D)答：(A) (B) (C) (D) 66. 橢圓之(1) 中心坐標為 。(2) 短軸所在之直線方程式為 。(3) 正焦弦之四個端點所圍之矩形面積 。答：(1) (2) (3) 7. 橢圓之內接正方形的面積為 。答：8. 若橢圓長軸長，短軸長，則 。答：9. 求下列各橢圓之方程式：(1) 一焦點為，短軸在直線上，且短軸長為6 。(2) 過且與共焦點 。答：(1) (2) 10. 已知是橢圓上一點，O為橢圓的中心，今要在上求一點Q使OPQ面積之最大值為 。答：411. 給定直線，則橢圓在L上的正射影長為 。答：1

5、2. 給定給定橢圓和外一點，則過P點且與相切之切線方程式為 。答： or 13. 設表短軸垂直軸之橢圓，則實數的範圍為 。答：14 雙曲線（標準式）1. 坐標平面上方程式的圖形與的圖形共有幾個交點？(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個 (E) 0個答：A2. 設與為坐標平面上雙曲線 的兩個焦點，P為上一點，使得此三點構成一等腰三角形。試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的週長？(A) 20 (B) 24 (C) 28 (D) 32 (E) 36答：BE3. 關於某雙曲線，請完成下列表格：方程式焦點座標(兩個)頂點坐標(兩個)共軛軸長漸近線方程式(A)(B)6(C)(D)(E)(

6、F)答：(A) (B) (C) (D) (E) (F) 64. 雙曲線之正焦弦長為 。答：165. 雙曲線之兩正焦弦的四個端點所圍成矩形面積為 。答：456. 給定雙曲線及上一點P，則P到之兩漸近線的距離乘積為 。答：7. 兩頂點為，一漸近線斜率為2之雙曲線方程式為 。答：8. 若雙曲線過原點且兩漸近線為，則之共軛雙曲線方程式為 。答：9. 若某等軸雙曲線與橢圓共焦點，則此等軸雙曲線的方程式為 。答：10. 給定錐線和一點，則過P點且與相切之切線方程式為 。答： or 11. 已知直線為雙曲線之切線，求另一條平行與雙曲線亦相切之直線方程式為 。答：12. 設有一點及圓，則過A點且與圓C相切之動

7、圓圓心軌跡方程式為 。答：15 圓錐曲線的光學性質1. 如右圖，宗哥將一球置於直線之牆壁上水平朝拋物線推出，經連續反射後，最後到達牆壁上之點，求此球所行經之路徑長為 。答：102. 下圖是一個心形的鏡廳，圖形上半部是兩個半圓弧，而下半部則是某橢圓的一部份。經測量為4公尺。已知的兩焦點在上，且圓弧的圓心是，圓弧的圓心是。今一光線由正上方一點C射入，通過後射中上一點D，經自然反射後會到達E點。請問光線依所經過的路徑長是多少公尺？答： 。答：6公尺第二章排列、組合21 集合元素的計數1. 1到500的整數中(1)是3的倍數或5的倍數共 個。(2)是3的倍數但不是5的倍數共 個。(3)是5的倍數但不是

8、3的倍數共 個。(4)不是3的倍數且不是5的倍數共 個。答：(1)233(2)133(3)67(4)2672. , 求(1)= (2)= 答：(1)7(2) 105373. 令集合，、為非負整數，則 。答： 34. 令為從1到100的正奇數所成的集合，為從1到100的正偶數所成的集合，試問:(1)n()= n()= (2)集合.是否不相交？ ， n()= 答：(1) n(A)=50，n(B)=50，(2) AB=A，B不相交，n(AB)=1005. 有一首流行歌曲”姊姊妹妹站起來”其中一段歌詞是”十個男人七個傻，八個呆，九個壞”，根據這段歌詞，請問: (1)這十個男人中最少有 位又傻又呆，最多

9、有 位又傻又呆。(2)這十個男人中最少有 位又傻又呆又壞，最多有 位又傻又呆又壞。答：(1)最少5位，最多7位 (2)最少4位，最多7位22 加法原理、乘法原理1. 從台北到高雄的交通工具有陸.空兩種，陸運每天有6班，空運每天有5班，今晴子從台北到高雄找流川楓約會，有 種不同的走法。答：11種2. 用30根相同的火材棒圍成一個三角形，可圍成 個不全等的三角形；又等腰三角形有 個。答：19個，7個.3. 擲一個骰子兩次，點數和為3的倍數的共有 種。答： 12種4. 5400之正因數有個，而所有正因數的總和為；又正因數中為完全平方者有個，且其總和為。答： 48; 18600; 8; 13005.

10、從1寫到999的正整數中 , 總共寫了個0。(如104, 30等)答： 1896. 1元幣3個，10元幣3個，50元幣1個，100元幣2張，可付出種不同款額。答： 957. 某房子有五個門可供進出，甲、乙由不同門進入，且由不同門出來，且各人進去與出來之門不同，則其法有種。答：2608. （）（）（）之展開式中共有項。答： 60。9. 從1至2100(含2100)的自然數中滿足下列條件的有幾個。(1) 3的倍數但不為2的倍數有個。 (2) 5的倍數但不為2, 3的倍數有個。(3) 7的倍數但不為2, 3, 5的倍數有個。 答： (1)350 (2)140 (3)8010. 由1到100的自然數中

11、，可被3整除，但不被2, 5整除者共有個。答： 1423 排列1. (1)設nN，若，則=。(2)設nN，若，則=。 答： (1) 20 (2) 902. 由字母a , b , c , d , e中任選三個排成一列，共有種排法。答： 603. 由10人中選出5人任意排成一列，則排列數為，又其中甲必須參加，則排列數為。答： 30240 , 151204. 將5男5女排成一列，則男女相間的排列數有種。答：288005. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7人排成一列，若甲、乙不得排在首位，乙、丙、庚不得排在末位，戊必排在最中間，則共有種排法。 答：2406. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一列，其中 (1)

12、甲、乙、丙三人完全相鄰的排法有種。 (2) 甲、乙、丙三人完全不相鄰的排法有種。 (3) 甲、乙、丙三人不完全相鄰的排法有種。 (4) 甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法有種。 (5) 甲、乙不相鄰且丙、丁亦不相鄰的排法有種。 (6) 甲、乙均不與丁相鄰的排法有種。 答： (1) 36(2) 12(3) 84(4) 24 (5) 48 (6) 367. 五對夫婦參加一舞會，若每一先生均不以其妻為舞伴，則可有種配對方式。答：448. 相同的原子筆3支，與相同的鉛筆2支，全部分給小朋友，每人最多得一支，則 (1)分給5個小朋友的方法有種。 (2)分給8個小朋友的方法有種。 答： (1)10 (2)56

13、09. 此恨綿綿無絕期七個字重新排成一列，則(1)恨綿綿三個字相關位置不變，方法有種。(2)無絕期三個字相關位置不變，方法有種。 答： (1)840(2)42010. 由庭院深深深幾許七個字，求下列個各排列數：(1) 任意排列 (2) 三個深完全相鄰 (3)三個深恰有二個相鄰(4) 三個深不完全相鄰 (5) 三個深完全不相鄰 (6) 三個深至少有二個相鄰。 答： 840,120,480,720,240,60024 組合1. 若= 60 , = 10 , 求數對 ( x , y )= 答： ( 5 , 3 )2. ,求n = 答：6 or 73. 一列火車共10節車廂。指定其中3節車廂准許吸煙,

14、 則共有種指定方法。若要求此3節准許吸煙的車廂兩兩不銜接, 則有種指定方法。答： 120, 564. 7件相異物, 放入3個相同的箱子, 依下列各款放法若干？ (1)各放4 , 2 , 1件 (2)各放2 , 2 , 3件答： (1)105 (2) 105 5. 一平面上有6個相異點, 其中任三點不共線, 則 (1)可決定條直線。 (2)以這些點為頂點的三角形共有個。答： (1) 15 (2) 206. 方程式x + y + z + u2 =20且x , y , z , uN的解共有組。 (hint：就u討論)答： 3067. 由一副撲克牌52張中，任意取出3張，則(1) 3張均為同一花色的取

15、法有種。(2) 3張均為同一點數的取法有種。(3) 3張中，恰有一對的取法有種。 答： (1)1144(2)52(3)37448. 有5對夫婦參加國大代表競選，欲選出4位，則(1) 恰為2對夫婦的選法有種。(2) 恰含1對夫婦的選法有種。(3) 夫婦不同時當選的情形有種。 答： (1)10(2)120(3)809. 將a, b, c, d, e, f 六人分成三組，依下列各款分法若干?(1)一組1人，一組2人，一組3人。(2)甲組1人，乙組2人，丙組3人。 (3)等分為三組。 (4)等分為甲、乙、丙三組。 答： (1)60(2)60(3)15(4)9010. 有學生10人，住A、B、C三間房，

16、若A房住4人，B房住3人，C房住3人，則其住法有種，其中甲、乙必住同房的住法有種。答：4200;112011. (1)5個不同的球，任意分配到3個不同的箱子，有種方法。(2)5個相同的球，任意分配到3個不同的箱子，有種方法。(3)5個相同的球，任意分配到3個相同的箱子，有種方法。(4)5個不同的球，任意分配到3個相同的箱子，有種方法。答： (1)243(2)21(3)5(4)4125 二項式定理1. 的展開式中，項的係數為 。答： 13202. 於的展開式中, (1)不同類的項有項 (2)之同型項有項 (3)項之係數為。答： (1) 286 (2) 12 (3) 126003. 在的展開式中，

17、項的係數為 。答： 。4. 的展開式中項的係數為 。答： 9845. 設，若的展開式中，項的係數為80，則項的係數為 。答：1806. 以除，所得餘式為 。答： 。7. 求展開式中，的係數為。答： 210。8. =3280 ,則 n = 。答： 89. 求(1 + x + x 2 ) 8 之展式中, x 5 項的係數為。答： 50426 遞迴關係1. (1) 數列an定義如下：a1 = 2，an + 1 = 2 -，n N，求a5 = 。(2) 數列，已知a1 = 1，a2 = 3，5an + 2 = 2an + 1 + 3an，n N，則a5 = 。(3) 數列定義為a1 = 1，n N時，

18、an + 1 = an + 2n + 1，a20之值為 。答： (1) (2) (3) 4002. 給定一數列，已知a1 = 3，an + 1 = 2an + 1，n N，則an =。答：2n + 1 - 1第三章機率與統計()31 事件與集合1. 一枚均勻硬幣連續投擲三次，依次觀察出現正面、反面的情形，則：(1)全事件S_。(2)恰出現兩次正面的事件A_。(3)至少出現兩次正面的事件B_。(4)三次均出現相同面的事件C_。(5)A的餘事件=_。(6)A與B的積事件=_。(7)B與C的和事件=_。(8)A與C是否為互斥事件？(答：設+號表示出現正面，號表示出現反面全事件S (+,+,+)，(+

19、,+,)，(+,+)，(,+,+)，(+,)，(,+,)，(,+)，(,)。(2)A (+,+,)，(+,+)，(,+,+)。(3)B (+,+,+)，(+,+,)，(+,+)，(,+,+)。(4)C (+,+,+)，(,)。(5)= (+,+,+)，(+,)，(,+,),(,+)，(,)。(6)= (+,+,)，(+,+)，(,+,+)。(7)= (+,+,+)，(+,+,)，(+,+)，(,+,+)，(,)。(8)A、C是互斥事件。)2. 袋中有5個球，其中2個白球、2個紅球、1個黑球，今由袋中任取兩球，觀察顏色(1)樣本空間為_。(2)至少有一個白球的事件為_。(3)設A表示取到黑球的事

20、件，B表示取到兩個同色球的事件，則A與B是否為互斥事件？(答：(1)S (白，白)，(白，紅)，(白，黑)，(紅，紅)，(紅，黑)。(2) (白，白)，(白，紅)，(白，黑)。(3)A (白，黑)，(紅，黑)。B (白，白)，(紅，紅)。A、B是互斥事件。)3. 甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布猜拳遊戲，則：(1)樣本空間為_。(2)不分勝負的事件為_。(3)能分勝負的事件為_。(答：(1)S (剪刀，剪刀)，(剪刀，石頭)，(剪刀，布)，(石頭，剪刀)，(石頭，石頭)，(石頭，布)，(布，剪刀)，(布，石頭)，(布，布)。(2) (剪刀，剪刀)，(石頭，石頭)，(布，布)。(3) (剪刀，石頭)，

21、(剪刀，布)，(石頭，剪刀)，(石頭，布)，(布，剪刀)，(布，石頭)。)32 機率的性質1. 樣本空間S, A、BS，已知，求：(1) ；(2) ；(3) 。(答：(1) (2) (3)2. 三事件A、B、C，若，則A、B、C三事件至少有一件發生的機率為_。(答：)3. 連丟一個公正銅板10次，求恰出現6次正面、4次反面的機率為_。(答： )4. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6個人，抽籤決定排列的順序，則：(1)甲、乙、丙三人相鄰的機率為_。(2)甲、乙、丙三人完全分開的機率為_。(3)甲、乙、丙恰兩人相鄰的機率為_。(答： (1) (2) (3)5. 以抽籤的方式，從5對夫婦中選取4人，求：(

22、1)零對夫婦的機率為_。(2)恰有1對夫婦的機率為_。(3)恰為2對夫婦的機率為_。解(答：(1) (2) (3)6. 設每月出生的機率相等，則任意4人中，若：(1)恰有2人的生日在同一月份的機率為_。(2)至少有2人同月生的機率為_。(答：(1) (2)。)7. 袋中有相同的黑襪3雙，紅襪2雙，自袋中取出4隻襪子，求：(1)恰為2雙的機率為_。(2)恰為1雙的機率為_。(襪子沒有分左右)(答：(1) (2)。)8. 台灣樂透彩，每期從38個號碼開出六個號碼與一個特別號，數字均相異，中獎規則為：頭彩：六號號碼全中 二獎：恰中五個號碼與一個特別號 三獎：恰中五個號碼且不中特別號 四獎：恰中四個號

23、碼 普獎：恰中三個號碼 問：(1)中二獎的機率為_。(2)中三獎的機率為_。() (答：(1) (2)。)33 數學期望值1. 擲一個均勻骰子1次，若擲出奇數點，則可得1元，若擲出偶數點，則可得5元，求期望值為多少？(答：3元。)2. 一袋中有3紅球、5綠球，每球被取的機會均等，今從袋中：(1) 取球三次，每次一球，取後放回，求取得紅球個數的期望值為多少？(2) 取球三次，每次一球，取後不放回，求取得紅球個數的期望值為多少？(3) 一次取出三球，求取得紅球個數的期望值為多少？(答：(1) (2) (3)。)3. 一袋中有10元，5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚出來，求期望值為多少？(答：15元。

24、)4. 一袋中有50元硬幣4枚、10元硬幣5枚、5元硬幣3枚，若每個硬幣被取出的機會相等，求取出三個硬幣的期望值為多少？(答：元。)5. A，B兩箱中各有三百元，A箱中有百元鈔1張，十元鈔10張，一元鈔100張；B箱中有五十元鈔2張，五元鈔20張，一元鈔100張，則：(1)求自A箱中取出1張鈔票的期望值為多少？(2)自A，B箱中各取出1張鈔票，何者有利？(答：(1)元 (2)A。)6. (1) 投擲一粒骰子，則其出現點數的期望值為何？(2)同時投擲二粒骰子，則其出現點數和的期望值為何？(3)同時投擲二粒骰子，則其出現點數積的期望值為何？(4)同時投擲二粒骰子，則其出現點數差的期望值為何？(答：

25、(1) (2)7 (3) (4)。)7. 甲、乙兩人分別擲三個硬幣，如果甲的正面個數多於乙則甲贏，乙要給甲x元；否則就甲輸，甲要給乙220元。若賭局公平，則_。(答：420。)8. 甲、乙兩人比賽網球，實力相當，沒有和局，先勝5局可贏得獎金8000元。若甲已三勝一負，欲因遇雨停賽，則甲、乙應如何分配獎金才公平：甲_元，乙_元。(答：6500，1500。)9. 袋中1號球有1個、2號球有2個、3號球有3個、20號球有20個，從中取出一球，(1)若編號為n號則可得到n元，求期望值為_。(2)若編號為n號則可得到元，求期望值為_。(答：(1) (2)。)10. 台灣未來一年景氣變好的機率為0.3，變

26、差的機率為0.2，持平的機率0.5。股票債券基金景氣變好30%4%20%景氣變差15%8%5%景氣持平5%6%10%有股票、債券、基金三種投資工具，在三種景氣變化下的投資報酬率如表所示，應選擇哪種投資工具最佳？_。(答：基金。)34 統計資料的來源1. 光明高中全校共有2312位學生，為了知道學生身高、體重的情形，今隨機抽取151位學生來調查，試問母群體、樣本、母群體數、樣本數為何？(答：母群體為光明高中全校2312位學生。樣本為抽到的151位學生。母群體數為2312。樣本數為151。)2. (1)光明社區共有100戶住家，欲了解每家自來水用量情形，宜採用普查或抽查？(2)某城市共有市民265

27、2200人，欲了解市民對市政府滿意度的調查，宜採用普查或抽查？(答：(1)普查。(2)抽查。)3. 二年9班共有15位同學的學期成績如下：座號123456789101112131415分數716249586771806273545875847061依照座號15，610，1115分成三組，以第五組五位同學的平均分數代表全班平均分數，則：(1)此法為何種抽樣方法？(2)全班平均分數為_分。(答：(1)部落抽樣。(2)69.6。)4. 三年12班16位同學的數學成績如下：座號12345678910111213141516分數656090657265836885681009485667064(1) 利

28、用隨機號碼表從第二列第九行開始，由左而右使用隨機抽樣法，選取四位同學，並求其分數的算術平均數。(2) 使用系統抽樣法取四位同學，從第二列第九行開始，由左而右，第一位被選出的同學座號為種子號碼，求此四位同學分數的算術平均數。附表：隨機號碼表2774603398131052181674841699735017581489047841575626160313394666120721356430880317171533657284082173475402721305489388577326867492331799528107970885094715162733575630369047871984981

29、3127124478749503171(答：(1)83.25。(2)72.75。)5. 二年五班50位同學之身高以160公分、170公分為界，分成三層如右表：今自第一層中抽取3個樣本，分別為154公分、156公分、158公分；自第二層中抽取5個樣本，分別為169公分、168公分、166公分、166公分、161公分；自第三層中抽取2個樣本，分別為175公分、179公分，則全班同學之平均身高為_公分。(答：164.98。)6. 某班50位學生，第二次月考數學成績如下：(單位：分)34、61、52、14、69、82、85、62、65、71、27、52、53、76、45、45、71、56、63、49、87、46、74、43、42、57、56、36、51、69、23、66、58、54、58、66、21、53、64、78、60、68、49、61、43、62、34、57、67、91設第一組下限定為10，每組組距為10，完成下列各問題：(1) 求全距為何？(2) 作次數分配表。(3) 作以上(以下)累積次數分配表及其曲線圖，並將各折點的坐標標出來。(4) 作長條圖。(答：2. (1)全距最大值最小值911477(分)；(2)(4)解答如圖表所示長條圖7.