第六章材料力学弯曲应力

1、1第第 六六 章章弯曲应力弯曲应力2 引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t t弯矩M 正应力s s3 某段梁的内力既有弯矩也有剪力时，该段梁的变形称为横力横力 弯曲弯曲。如AC、BD段。QxMx2、纯弯曲、纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲纯弯曲。如AB段。、横力弯曲、横力弯曲:PPaaABDC42、研究方法、研究方法平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁平面弯曲时横截面t 横力弯曲52 2 纯纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变

2、形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。一、变形几何关系：一、变形几何关系：中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdMM6横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。7A1B1O1O4. 几何关系：(1) . yx abcdABdq q xy11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )qqqyyddd)(

3、8 二、物理关系：二、物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。(2) . sEyExxs sxs sx三、静力关系：三、静力关系：0dddszAAAxESAyEAEyAN 0zS结论：中性轴过截面形心结论：中性轴过截面形心90dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（对称面）（对称面）MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1 (3)EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。(4) . zxIM y s s 轴惯性矩 d2AzAyI103 3 横力横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力一、正应力近似公式：一、正应力近似公式：(

4、4) . zxIM y s s二、横截面上最大正应力：二、横截面上最大正应力：zWMmaxs (5)maxyI Wzz 抗弯截面模量。抗弯截面模量。11d64 4dIz圆三、常见截面的三、常见截面的IZ和和WZ：DdDda)1 (64 44aDIz空心圆323maxdyIWzz)1 (32 43maxaDyIWzz12bBhH1212 33bhBHIz回字框三、常见截面的三、常见截面的IZ和和WZ：bh12 3bhIz矩形6 2maxbhyIWzz)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz13四、轴惯性矩的平行移轴定理四、轴惯性矩的平行移轴定理：（与转动惯量的移轴定理类似）CCybyxax

5、以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222 d)2( d)( dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC注意注意: C点必须为形心点必须为形心AaIIyCy214例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11+xM82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM3015Q=60kN/mAB1m2

6、m11M1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 62/zzIW压应力）( MPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求应力18030+xM82qL16MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWMs求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030+xM82qL171 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截

7、面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上。s ss ss sM五、梁的正应力强度条件五、梁的正应力强度条件2 2、正应力强度条件：、正应力强度条件： s ss s zWMmaxmax18、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：maxssmaxsMWz)( ;maxmaxMfPWMzs3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：19y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例例 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=7

8、63cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM20校核强度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLMPass2 .28maxyyMPass2 .46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4x2.5kNm-4kNmMA3A4所以，梁的正应

9、力强度足够。214 4 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图c 在微段上取一块如图c，平衡 在梁上取微段如图b；22dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图czzAzAIMSAyIMANdd1sz

10、zISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1t由剪应力互等由剪应力互等zbIQSy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz23tt5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩tQt t方向：与横截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。24yzhb)4(222yhIQbIQSzzzt解： （1）横截面的剪应力为： 例例22结构如图，试证明： （1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的 合

11、力由哪个力来平衡？q25h.h.zAyByhIQA505022d)4(2dtMIIMAIMyMzzh.h.zz50502d(2) 横截面上的合剪力为：Q)h(hIQBz2324233(3) 合力偶 26)(bhqx.AxQ.51)(51maxtthqLx)qx(hAQLLAB43d23d200tzAWAMAN2211max1max 1s1AABNQ(4)中面上的剪应力为：纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡。(5) 纵截面上的合剪力大小为：t tmaxt t hqLbhbhqL432622122227二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应

12、力的计算公式亦为：zzbIQS1t其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。282、几种常见截面的最大弯曲剪应力 工字钢截面：工字钢截面：maxtmint; maxA Qt tf结论：结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积。; maxA Qt tf29圆截面：tt3434maxAQ 薄壁圆环：tt22maxAQ1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的

13、中性轴处。Qt tt t三、梁的剪应力强度条件三、梁的剪应力强度条件302 2、剪应力强度条件：、剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。 t tt t zzIbSQmaxmaxmax3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：s sMQt tt ts s314 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短或载荷靠近支座 ，M 较小，而

14、Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：maxtt32解：画内力图求危面内力例例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x33求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 0

15、40506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQxM+82qL所以，梁的正应力和剪应力强度足够。34一、合理布置外力（包括支座），使一、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/165 5 提高提高梁的弯曲强度的措施梁的弯曲强度的措施35Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL MxP=qLL/54L/5对称MxqL2/1036二、梁的合理截面二、梁的合理截面1 1、矩形木梁的合理高宽比、矩形木梁的合理高宽比R

16、北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为强强度度最最大大。时时, 2bhbh37AQ3433. 1mmaxtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 DRaaD时当强度：正应力：剪应力：2 2、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 sszWM ttzzbIQS* 其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaa38mtt2max143375. 2

17、 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z39)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z40 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：3 3、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状s sGz41三、采用变截面梁三、采用变截面梁 最好是等强度梁，即)()()(maxssxWxMx若为等强度矩形截面，则高为)(6)(sbxMxh同时)(5 . 1maxttxbhQ5 . 1)(tbQxhPx人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以