方法技巧专题19,三角恒等变换（解析版）

1、方法技巧专题19,三角恒等变换（解析版） 方法技巧专题 19 三角恒等变换 解析版 一、三角恒等变换问题知识框架 二、三角恒等变换方法技巧 【一】公式顺用、逆用及其变形用 1. 两角和差公式： cos()cos cossin sin. cos()cos cossin sin. sin()sin coscos sin. sin()sin coscos sin. tan()tan tan 1tan tan . tan()tan tan 1tan tan （， 均不等于 k 2 (kz)）. 1.例题 例 【例 1 】计算： (1)cos(15)； (2)cos 15cos 105sin 15sin

2、 105. 【解析】(1)方法一 原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 453222 12 226 24. 方法二 原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30223222 12 6 24. (2)原式cos(15105)cos(90)cos 900. 例 【例 2 】(1)计算：cos 212 sin2 12 ； 【解析】原式cos 6 32. (2)计算： 1tan2 75tan 75； 【解析】 1tan 2 75tan 7521tan 2 752tan 75 21tan 1502 3. (3)计算：cos 20cos 4

3、0cos 80. 【解析】原式12sin 202sin 20cos 20cos 40cos 8012sin 20sin 40cos 40cos 80 12 2 sin 20sin 80cos 8012 3 sin 20sin 160sin 202 3 sin 20 18 . 例 【例 3 】(1) 1tan 151tan 15_. 【解析】 3 原式tan 45tan 151tan 45tan 15tan(4515)tan 60 3. (2)化简：tan 23tan 37 3tan 23tan 37. 【解析】 2. 二倍角公司 sin 22sin cos； cos 2cos 2 sin 2

4、2cos 2 112sin 2 ； tan 22tan 1tan 2 . 变形 1：降幂公式: cos 2 2 1cos 2，2sin 12sin 2a a -= 变形 2 ：半角公式：（1cos 22cos 2 ， 1cos 22sin 2 ） sin 2 1cos 2，cos 2 1cos 2，tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式 tan tan tan()(1tan tan )或1tan tan tan tan tan(). 当 为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.

5、方法一 tan 23tan 37 3tan 23tan 37 tan(2337)(1tan 23tan 37) 3tan 23tan 37 tan 60(1tan 23tan 37) 3tan 23tan 37 3. 方法二 tan(2337)tan 23tan 371tan 23tan 37， 3tan 23tan 371tan 23tan 37， 3 3tan 23tan 37tan 23tan 37， tan 23tan 37 3tan 23tan 37 3. （3）已知 sin 45 ，523，求 cos 2 和 tan 2 . 【解析】 sin 45 ，且523，cos 1sin 2

6、 35 . 由 cos 2cos 2 2 1，得 cos2 2 1cos 2 15 . 54 2 32，cos 2 1cos 255. tan 2 sin 1cos 2. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】化简 cos 15cos 45cos 75sin 45的值为( ) a. 12 b.32 c 12 d32 【解析】b cos 15cos 45cos 75sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos(1545)cos(30)32. 【练习 2】 1 3tan 753tan 75_. 【解析】1 原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 3

7、0tan 75tan(3075)tan 451. 【练习 3】在abc 中，ab 2 ，且 tan atan b 3 3tan atan b，则角 c 的值为( ) a. 3 b.23 c. 6 d.4 【解析】a tan atan b 3 3tan atan btan(ab)(1tan atan b) 3(tan atan b1)(*) 若 1tan atan b0， 则 cos acos bsin asin b0，即 cos(ab)0. 0ab，ab 2 与题设矛盾 由(*)得 tan(ab) 3，即 tan c 3.又0c，c 3 . 习 【练习 4 】若 sin cos 13 ，则 s

8、in 2= . 【解析】由题意，得(sin cos ) 2 19 ，12sin cos 19 ，即 1sin 219 ， sin 2 89 . 【二】拆凑角问题 1.例题 【例 1】已知31)3sin( = -pa ，则 )6cos(pa + 的值为( ) a 13 b.13 c.2 23 d 2 23 【答案】a 【解析】sin )3(pa - 13 ，cos)6(pa + cos )3(2pap- + sin )3(pa - 13 . 【例 2】已知角 的顶点与原点 o 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 - -54,53p . 若角 满足 sin()513 ，则 cos 的

9、值为_ 【答案】 5665 或1665 【解析】 由角 的终边过点 - -54,53p ，得 sin 45 ，cos 35 . 由 sin()513 ，得 cos()1213 . 由 ()，得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 5665 或 cos 1665 . 【例 3】若1sin6 3pa - = ，则2cos 23pa + = （ ） a13 b13- c79 d79- 三角公式求值中变角的解题思路 (1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式； (2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，再应用诱导公式把所求角变成已知角 【答案】d 【解析】 2 22 cos 2 2cos 1 2cos 13 3 2 6pa a a + = + - = - - - 2 2 72sin 1 16 9 9a = - - = - = - 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知33)6tan( = - ap，则 = + )65tan( ap_. 【答案】33 【解析】tan )65( ap+ tan )6( app + - tan )6( app - - tan )6( ap- 33. 【练习 2】若102 7)4sin( = +pa ，a ) ,4( pp，则 sin a 的值