第五章向量代数与空间解析几何

1、第五章向量代数与空间解析几何这一章在卷面上一般只有4-6分，往往是一个选择题，两个填空题或者是两个选择题，一个填空题。下面我们就把考试中最易出现的考点给大家小结一下一.向量的数量积与向量积首先要清楚两种积的定义及常用的运算法则，如:片斗 -I2 4 4 片片片片叫 斗片哺叫;a.b = b.a;a.(b +c )= a.b + a.c.44a.b = a . b .cosT; a.a = aa xb = a . b .si n aMauOiaxbu-b. MaiaHe+cjuaxb+axc.例 1设；=3,一爲=2?一3； 2匚求 a b.k-12-114i 一3 - j3 022 22 -3

2、0-3k = -3i -8j -9k.例 2.设 a 二：2,1, mf ,b 二:n, -2,3，且 a / b，求 m,n.解：由于a / b，因此有例3.求垂直于r晋解得吩匚川“，二2,2,1?与b =4,5,3?的单位向量解：由向量积的定义可知,向量c = a b是既垂直于a又垂直于b的向量，因此所求单位向量即为二c1c.2 1彳2 142 2i -j +5 34 34 5k =i _2j k.2 +(2 2 +22 =3,因此土 gc =12 2-丄，+ 2,_兰为所求单位向量.3 33例4.求以A 1,2,3 ,B 3,4,5 ,C 2,4,7为顶点的 ABC的面积.解: Sac=

3、1|AB><ACk 斗 斗 扌t T 其中AB AC -2 =4i 6j + 2k, AB 況 AC =756.4.两向量间关系的判定要知道两向量间位置关系的判定方法，即a丄a 二a b化 对应分量成比例例5.判定下列各组向量间的关系(1) a 二1, 一2,3打 二_2,4, 一6二(2) a 1,-2,3二b 3,3,1.(3) a Al,-2,3二b1,3,2?.解：(1)注意两个向量对应分量之间的比例关系可知,IrbIra(2) 所给两向量的对应分量不成比例，故不平行。再考虑乩0,故a丄b；(3)所给两向量的对应分量不成比例，故不平行；而:二0,故a也不垂直于b.a=1,b

4、例6设解: (1)由于 cos a,b10 3'咕'280 14 2 '(1)10当 100,即， -10 时3，cos a,b >0,a,b为锐角;(2)10当103' ：0,即咒” 一10时,3cos a,b < 0, a,b 为钝角;(3)10当10 3 =0,即时,3cos a,b =0, a 丄 b ；=2,且 a 丄 b，求(3a+2b><(2a3b ).解：由于3a 2b i2a -3b6a a -9a b 4b a -6b b = -9a b - 4a b = -13 a b ,故(3；+2齐(2； 3 | =13訥.si

5、n=13"x 2如= 26.a,b为锐角;例7.试确定常数，使得a =1,2,3 b =2,4, J满足(1)(2) a,b为钝角；(3)垂直；(4)同向.j彳5冷(5 )当 10+3九=±(280 十14 九，即乙=6, cos a,b=cosO = 1,此时，a / b .例8.问为何值时，以2a b与a b为邻边的平行四边形的面积为6.解：由于2a b j L.a b 2 a a 2a b b a b b = 0 2a b - a b 0 = 2；_ 口 a b ,故(2a +b H(扎a +b卜'2 一 冲a|b .sin a,b= 22-，-6.故 - -

6、1,，2 = 5.例9.已知向量c -2,k, -6?同时垂直于：-2,1,b -1, -1,2?，求k值.解: c同时垂直于a, b，则c / a b。彳4 i又 a Mb = 2=i -5j -3k - ;1,-5, -3：.11 2441-5-3,“c / a 江 b u=二 k = 一102"k-6三.平面方程要熟知平面有三种形式的方程，即:(1 )点、法式方程假设平面二过点M。xo,yo,zo且和非零向量n代B,C/垂直，则其方程。A x- x B y- °y C Zo zgnB,C?称为平面二的法线向量，简称法向量，下面举一个例子 例10.求过三点M, 2,-1

7、,4 ,M2 -1,3,-2 ,M3 0,2,3的平面方程解：由于 M1M23,4,6?,MiM3 2,3,-1，)I 片 T 呻取 n = M1M2 M1M3 =14i 9j -k.所以，据平面的点法式方程， (代入M2)得:二：14 x 19 y -3 i iz 2 = 0 ,即二：14x 9y - z T5 = 0.问题：若取n = M1M3 M1M2 可以吗?M1方程的形式一样吗?(2)平面的一般式方程Ax By Cz D = 0.注意到任给一个三元方程 Ax+By+Cz + D =0- （2）, （A,B,C不全为零），它一定表示一张平面.注意：特殊位置平面的方程特点：(1)Ax B

8、y Cz =0（ D=0,平面过原点）；(2)By Cz D =0（A=0,平面平行于x轴）；(3)Ax Cz D = 0（B=0,平面平行于y轴）；(4)Ax By D = 0（C=0,平面平行于z轴）；(5)Cz D =0（A-B-0,平面平行于xoy平面）例11.求过x轴及点M0 4,-3,-1的平面方程.解：取n =OM i =0,-1,3?，所以，据平面的点法式方程，（代入O 0,0,0 ）得:二：0x - y 3z =0.例12.设平面二与三个坐标轴的交点分别为P a,00 ,Q 0,b,0 , R 0,0, c abc = 0，求二的方程.解：取n = PQ QR Jbc,ac,

9、ab1，所以，据平面的点法式方程二：be x - a ac y - 0 ab z - 0 =0，( 4)方程（4）两端同除以abc，并整理，得：x 1 z =1，这就是平面的第三种形式的方程，即截距式方程 abc专升本经常考察两平面间的位置关系，先回顾一下判断依据设有两平面二1: Ax By Gz D0,n1，A, B,G；二2: A2x B2y C2z D2 =0,n2 - A2,B2, C?.（1）相交（设二1,二2的夹角为"cos-|n1 |n2| A A2 * B1B2 * C1C21:A2 B12 G2、A22B22 C22（2）平行二 1 二 2 =n1 / n2 uA旦

10、 _clA2 B2 C2(3)垂直二1 _ ；2 = q _ n2 = A1A2 BiB2 GC2 = 0 ；重合二邑二凹.A2b2C2D2例13.一平面过两点 M1 1,1,1 ,M2 0,1,-1且垂直于平面 二：x y z二0.求其方程.解：设所求平面的法向量为Irn.据已知,n _ n，n _ M 側2JL（代入 1,1,1）得:故可取n = M1M n2严-1,-1?.所以，据平面的点法式方程,二：2x - y -z = 0.记住一个重要公式：点到平面的距离公式点 M 0 x0, y0 ,z0 到二:Ax By Cz= 0 -的距离为| Ax°_By 0_Cz 0_D |&

11、gt; A2 B 2 C 2不用举例子，同学们自己看在辅导书上找例子 四.空间直线及其方程要熟知空间直线三种形式的方程：（1 ）点、向式方程假设空间直线 L过点M° X。，y°,Z0且和非零向量 s“m, n, p平行，则其方程为x X。y - y。_ z - z°(1)注意:（a）其实，方程（1）是一个方程组，它应该这样来理解:x_x0y_y°= ,L :m门 ，即L是两平面之交线j y _y° _ z_z0np .（3称（1）为直线L的点、向式方程。s -、m,n, p'称为直线L的方向向量，简称 方向；m,n,p叫做直线L的方向数

12、.（c）要注意到直线 L的方向有无数多个，但直线的化简后方程是唯一的，为什么？ 特别地，s的方向余弦'cos，cos ：, cos .'也是L的一组方向数.（d）又称（1）式为直线的标准式或对称式方程（e）要求m, n,p不全为零，但可以部分为零.如：m=0,这时方程（1 ）变为：xx°y y°zz°(2 )式应该理解为:x -'冷=0, y -y。Z -Z。；n p,、，、，x xoy yo z zo又如：m=n=o,这时，(1)式变为：ooo- (3)o o px x = o(3)式应该理解为：o 一'” _ y° =

13、 o.例14求过两点 M, 1,2, -1 ,M2 -2,3,0的直线方程.解：由于MjM?=；-3,1,1,取 s = M<|M2 - I-3,1,1所以，据直线的点向式方程，(代入M1)得:.x -1 y -2 z 1L :-311问：如果代入的是 m2，方程是否会有所不同?x 4v + 3例15.求过点Mo 3,1,-2且通过直线L :-52=-的平面的方程1解：在直线上取一点 M" 4,-3,0，可取 n=s M0 M“8,-9,-22?，所以，据平面的点法式方程:二：8x-9y - 22z-59 =o。(2).直线的参数式方程设有 l：3=令 x Xo yyoz-Zo

14、p ' mt, p(4)X =Xo mt,则有：L: y =yo nt,I Zpt .称(4)式为直线L的参数式方程，其中t称为参数.注意：在直线的参数式方程中，参数的系数是直线的方向数，而常数项则为直 线上点的坐标。(3) .直线的一般式方程空间直线L可看作是过直线 L的两个不平行平面 :1 : A1xB1y C1z D1 =o 二 2 ： A2x B2y C2z D2 = o 的交线ln1: Ax + By +Gz + U =0,称L ：i A/f c -（ 5）为直线L的一般式方程|n2: A2X + B2y+C2z + D2 =0.注意：直线的三种形式的方程之间可以互相转化例1

15、6.将直线L的一般式方程f .“ ： x y z 1 = 0,，.L:化为标准式及参数式方程.| 2 ： 2xy 3z 4=0.解：在直线L上任取一点 M0 1,0, -2，可取s = ni n2 =74,-1,-3?,故 所以，据直线的点向式方程，（代入M。）得：x -1 y -0 z 2L:.4 -1-3x =14t,参数方程为：Ly = t,z = -2 -3t.x_2 y 3 z 4例17.已知直线的方程为：L :.和平面二：2x y z6 = 0,1 1 2求直线与平面的交点.x = 2 t,x = 1,解：化L为参数式方程：L:*y=3+t,，代入平面方程，得：t=-1.故：L&q

16、uot;y = 2,Z = 4+2t.z = 2.所以，交点坐标为 1,2,2 .经常考核两直线间的位置关系设有两直线gg,w,n1,p/L2 :(1)相交m1n1P1x -x2y 一 y2m2n2z 亞,勺二伽2, n2, pf；,S>P2（规定两直线的夹角为两直线的方向所夹的锐角.设L1, L2的夹角为;：）m1m2n1n2p1 p2|S1|S2|<m2n1P12 m22n22P22平行 LJ/LqU S1/S2-m1n1 _ P1m2n2p2(3)垂直 l _ 鸟二 s - s2 = mn n,p1 p2 =0.（4）重合mi =21Pl，且J丄2有交点m2n2p2例18 求

17、过点M0 -3,2,5且与两平面,:x - 4z =3二2 ： 2x - y -5z = 1的交线平行的直线的方程解：可取n24,-3,-1?，所以直线的方程为:x 3 y-2 z-5L : -4-3-1五.空间直线与平面之间的关系设有L:mx-x。 y±=° 及二：ax By Cz D = 0, n pn -'.A,B,C?.（1）相交：当直线 L与平面二垂直时，规定直线与平面的夹角为2当直线L与平面二不垂直时，规定直线和它在平面内的投影直线间的夹角为直线与平面的夹角.(7)；p 2 A 2 B 2C 2，sin，阜叹-|mA nB pC | s | n | Jm

18、2 +n 2 +(2)垂直I二二(3)直线在平面内,mA nB pC = 0且L,二有交点.mA nB pC = 0 ；六.平面束方程设L:Ax B!y Gz DO,，则称过L的所有平面为平面束，它的方程为: : 2: A2x B2y C2z D2 = 0.Ax +B,y +Gz +D严（Ax +B2y +C2z+ D2 ）=0,-二：- （ 8）注意：无论取何值，平面束方程即（8）式不能表示平面二2 : Ax B2y C2z D2 二 0本身.5 : x y - z -1 = 0,例19.求L: 1 y在平面二:x y 0上的投影直线的方程.匹：x_y+z+1 =0.解：过直线L的平面束方程

19、为:x y -z -1 亠x - y z 1 = 0,记 n = 1，,1 - f -1。T令 n.丨 n=1亠八亠1-，-1=0- -1.所以，过L的且与平面7： : x y0垂直的平面的方程为：二：x y - z-1广 1 x -y z 1 即，二：y z1=0，故所求投影直线的一般式方程为:$ - : x y z = 0,二 2 ： y - z -1 =0.七.点到直线的距离公式点M °到L :的距离为例20.求点M0 1,2,3到d =也世 S|中，M是直线上任取的一点，s为直线的方向.|s|xy4 z-3L:的距离.1-3-2解：在直线上任取一点 M 0,4,3，则-1,2

20、,0?，s=h-3,-2?，由公式（9），点M 0到L :的距离为注意：更一般的作法是：先作过 M。点且以s为法向量的平面 二；再联立二的点法式方程和 j直线L的方程，求直线 L与平面二的交点M1 ；最后，d =|M°M1 |，请同学们自己 实现这种做法.八.旋转曲面（一）.圆锥面（1）定义：动直线I饶另一条与I相交的定直线L旋转一周，所得曲面叫做 圆锥面.（如图）（Ji （2）方程：顶点在原点，定直线 L为Z轴，半顶角为a 0 V。 的圆锥面2丿的方程为 z2 二a2 x2 y2 （其中，a 二 etan）.注意： z = a x2 y2称为上圆锥面；z = -a Jx2 + y2

21、称为下圆锥面.（二）一般旋转曲面（1）定义：一条平面曲线绕同一平面内一条定直线旋转一周所生成曲面称为旋转曲面.（2）设平面曲线C:®"0,绕z轴旋转生成旋转曲面为f （y,士 Jx2+z2 ）= 0.x =0.例21 .求将双曲线'2 21 - 1 c ： _ 1,c: a cy =0.分别绕x轴及Z轴旋转，所生成的旋转曲面又是什么?2x 解：（i）xa2 , 2 2,22y z ,x y z ,1 ； ( 2) 22=1.ca c例22,下列方程所表示的曲面，哪些是旋转曲面？它们是怎么产生的?(1)x2(2)X2(3)2x2 y2 2z2 =5.解：（1 ）、（2）不是.(3 )是，由 C : 1y 2z "5,绕Y轴旋转生成；或者由C： y 2x "5,x = 0. z = 0.绕Y轴旋转生成九.常见简单的曲面）球面：2 2 2 2XfyZ-Z°R，其中，M° X0,y°,z0称为球面的球心，R称为半径.