改 2.2.2椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质

1、2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质 2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1，F F2 2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a a、b b、c c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断x xy yF F1 1F F2 2P PO

2、Ox xy yF F1 1F F2 2P PO O1010cmcm8 8cmcm长方形长方形 如何将一个长、宽分别为如何将一个长、宽分别为10cm10cm，cmcm的矩形的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.1.熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）离心率）. .（重点）（重点）2.2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响理解离心率的大小对椭圆形状的影响. .（重点）（重点）3.3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想性质，进一步体会数形结合的思想

3、. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质1.1.范围：范围： -axa, -byb-axa, -byb 故椭圆落在故椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中组成的矩形中.221,xa 由由22y1b ，得： oyB2B1A1A2F1F2cab22221(0)xyabab椭圆的标准方程是什么？椭圆的标准方程是什么？x x2.2.椭圆的对称性：椭圆的对称性：222210()xyabab oxy在方程中，把在方程中，把换成换成 ，方程不变，说明：方程不变，说明：椭圆关于椭圆关于轴对称；轴对称；椭圆关于椭圆关于轴对称；轴对称；椭圆关于椭圆关于 点对称；点对称；坐标轴是

4、椭圆的对称轴，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心.x x-x-xx xy y(0,0)(0,0)y -yx -x y -y Q(-x,y)Q(-x,y)P(x,y)P(x,y)M(x,-y)M(x,-y)N(-x,-y)N(-x,-y)想一想想一想:椭圆的对称轴一定是轴和轴吗？对称中椭圆的对称轴一定是轴和轴吗？对称中心一定是原点吗？心一定是原点吗？ oxyF2F1说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变二、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令令 x=0 x=0，得，得 y=y=？，？，说明

5、椭圆与说明椭圆与 y轴的交点（轴的交点（ ），）， 令令 y=0y=0，得，得 x=x=？, , 说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点（轴的交点（ ）。）。* *顶点顶点：椭圆与它的对称椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0* *长轴长轴、短轴短轴： 线段线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴和短轴。长轴和短轴。a a、b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半长半轴长轴长和和短半轴长短半轴长。焦点总在长轴上焦点总在长轴上! !椭圆顶点坐标为：椭圆

6、顶点坐标为：3.3.顶点与长短轴：顶点与长短轴：椭圆与它的对称轴的四个椭圆与它的对称轴的四个交点交点椭圆的顶点椭圆的顶点.回顾：回顾：A A1 1( (a a，0)0)，A A2 2( (a a，0)0)，B B1 1(0(0，b)b)，B B2 2(0(0，b).b).焦点坐标焦点坐标(c，0) oxyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b)22221xy=ab （a ab b0 0）长轴：线段长轴：线段A A1 1A A2 2；长轴长长轴长 |A|A1 1A A2 2|=2a|=2a. .短轴：线段短轴：线段B B1 1B B2 2；短轴长短轴长 |B|B1 1B

7、B2 2|=2b.|=2b.焦焦 距距 |F|F1 1F F2 2|=2c.|=2c.a a和和b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；长半轴长和短半轴长；焦点必在长轴上焦点必在长轴上. .a a2 2=b=b2 2+c+c2 2， oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a, 0)A1(-a, 0)bacF2F1|B|B2 2F F2 2|=|=a a；注意注意例例1 1：已知椭圆方程为：已知椭圆方程为它的长轴长是：它的长轴长是： 。短轴是：。短轴是： 。焦距是：焦距是： . .焦点坐标是：焦点坐标是： 。顶点坐标是：顶点坐标是： 。 610)0 , 4(8192522yx)

8、30(),0,5(回答下列问题，并用描点法画出椭圆图形回答下列问题，并用描点法画出椭圆图形。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较却有些比较“扁扁”，有些比较，有些比较“圆圆”，用什么样的量来刻画椭圆用什么样的量来刻画椭圆“扁扁”的程度的程度呢？呢？椭圆的离椭圆的离J:eJ:e

9、与形状与形状. .gspgsp心心率率4 4、椭圆的离心率、椭圆的离心率4.4.离心率：离心率：因为因为ac0，当且仅当当且仅当a=b时，时，c=0，这时两个，这时两个焦点重合，图形变为圆焦点重合，图形变为圆所以所以0 e 1.2210,cecaabac当当椭椭圆圆扁扁2200,cecabaca当当椭椭圆圆圆圆椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率叫做椭圆的离心率, ,用用e eca离心率越大，椭圆越扁离心率越大，椭圆越扁离心率越小，椭圆越圆离心率越小，椭圆越圆Oxya ab bc cce.a表示，即表示，即即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。即离心率是反映椭圆扁平程度

10、的一个量。4、椭圆的离心率椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量刻画椭圆扁平程度的量)椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的叫做椭圆的离心率离心率。ace 11离心率的取值范围：离心率的取值范围：22离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0e13e3e与与a,ba,b的关系的关系: :222221ababaace思考：当思考：当e0时，曲线是什么？时，曲线是什么？当当e1时曲线又是时曲线又是 什么？什么？1 1）e e越接近越接近1 1，c c就越接近就越接近a a，从而从而b b 就越小，椭圆就越扁就越小，椭圆就越扁2 2）e e越接近越接近0 0，c c就越接近就

11、越接近0 0，从而，从而b b 就越大，椭圆就越圆就越大，椭圆就越圆22ac22ac圆圆线段线段F1F2练习：练习：下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ 116123649 ) 2 (120253694 ) 1 (22222222yxyxyxyx与与图图 形形方方 程程范范 围围对称性对称性焦焦 点点顶顶 点点离心率离心率 0 12222 babyax(c,0)(c,0)、( ( c,0)c,0)(0,c)(0,c)、(0,(0, c)c)( ( a,0)a,0)、(0,(0, b)b)|x|x| a |y| a |y| b b|x|x| b |y| b |y|

12、 a a关于关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称( ( b,0)b,0)、(0,(0, a)a)【提升总结提升总结】焦点在轴上的椭圆的几何性质又如何呢？焦点在轴上的椭圆的几何性质又如何呢？222210()yxababxA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2( 0 e 1 )( 0 e b)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)(b,0)、(-b,0)(-b,0)、(0,a)(0,a)、(0,-a)(0,-a)(0 , c)(0 , c)、(0, -c)(0, -c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心

13、对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b.b.(a(ab)b)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba)5,0(),5,0(21FF例题例题1:1: 求椭圆求椭圆 9 x9 x2 2 + 4y+ 4y2 2 =36 =36的长轴和短轴的的长轴和短轴的长、离心长、离心 率、焦点和顶点坐标。率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是椭圆的长轴长是: :离心率离心率: :焦点坐标是焦点坐标是: :四个顶点坐标是四个顶点坐标是: :)3 , 0(),3, 0(),0 , 2(),

14、0 , 2(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是:2a=62b=435ace解题步骤：解题步骤：1 1、将椭圆方程转化为标准方程求、将椭圆方程转化为标准方程求a a、b b：2 2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程19422yx四、例题讲解：四、例题讲解：549,2,3cba练习练习: :求椭圆求椭圆 16 x16 x2 2 + 25y+ 25y2 2 =400 =400的长轴和的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程145

15、2222yx31625,4,5cba椭圆的长轴长是椭圆的长轴长是: :离心率离心率: :6.053ace焦点坐标是焦点坐标是: :)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是: :)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是: :2a=102b=8我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以解决了！解决了！22xy125163-3-1-54-121-2-454312-2-3-40y8cm10cmOx例例2:2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）经过点

16、）经过点（-3-3，0 0）、）、（0 0，-2-2）；）；22194xy22194xy解：解： 方法一：方法一：设椭圆方程为设椭圆方程为mxmx2 2nyny2 21 1（m m0 0，n n0 0，mnmn），），将点的坐标代入方程，求出将点的坐标代入方程，求出m m1/9,n1/9,n1/41/4。所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 方法二：方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x x轴上，轴上，且点且点P P、Q Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，

17、故分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a a3 3，b b2 2，所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 （2 2）离心率为）离心率为 ，经过点（，经过点（2,02,0）23例例 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程02，A分析：分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 椭圆的标准方程为： ；11422yx椭圆的标准方程为： ；116422yx解：解：（1）当 为长轴端点时， ， ， 2a1b02，A（2）当 为短轴端点时， , ， 2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是 或 11422yx116422yx例例2：若椭圆：若椭圆 + =1的离心率为的离心率为 0

18、.5，求，求k的值的值82kx92y分分类类讨讨论论的的思思想想454k4541981980)2(4k4189198)1(411222kkkkykkxabe或综上得则轴上，当焦点在则轴上，当焦点在解：由题意得：3.3.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐标，顶点坐标坐标，顶点坐标（）（）22x4y16.【解析解析】故可得长轴长为故可得长轴长为8 8，短轴长为，短轴长为4 4，离心率为，离心率为焦点坐标为焦点坐标为 ，顶点坐标（，顶点坐标（4,04,0），），(0,(0,2).2).(2)(2)已知方程化为标准方程为已知方程化为标准方程为 故可得

19、长轴长故可得长轴长为为1818，短轴长为，短轴长为6 6，离心率为，离心率为焦点坐标为焦点坐标为 ，顶点坐标（，顶点坐标（0,0,9 9），（），（3,03,0）. .为为标标为为2 22 2x xy y（1 1）已已知知方方程程化化准准方方程程+ += =1 1，1 16 64 432，2 3,0 （）0, 6 2 （）2 23，229xy81.（）（）221819yx ，例例2 2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；长轴长等于长轴长等于2020，离心率，离心率3/53/5。 （1）解：利用椭圆的几何

20、性质，以坐标轴为对）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在是焦点在x轴上，且点轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故轴的一个端点，故a3，b2，故椭圆的标准方，故椭圆的标准方程为程为 22194xy22110064xy22110064yx或或例例3 3：点：点M M（x x，y y）与定点）与定点F(4,0)F(4,0)的距离和它到直的距离和它到直线线 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹。的轨迹。254x 45练：已知已知x x轴上的一定点轴上的一定点

21、A A（1,01,0），），Q Q为椭圆为椭圆 上的动点，求上的动点，求AQAQ中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .MAQ2-2xOy1422 yx解：设动点解：设动点M的坐标为的坐标为(x,y)，则则Q的坐标为的坐标为(2x-1,2y) 因为因为Q点为椭圆点为椭圆 上的点上的点 1422 yx所以有 1)2(4) 12(22yx即 14)21(22yx所以点M的轨迹方程是 14)21(22yx xyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b)一个框，四个点，一个框，四个点，注意光滑和圆扁注意光滑和圆扁, ,莫忘对称要体现莫忘对称要体现用曲线的图形和方程用曲线的图形和方

22、程22221(0)xyabab来研究椭圆的简单几何性质来研究椭圆的简单几何性质二.离心率的常见题型及解法题型一：定义法例1.已知椭圆方程为 + =1，求椭圆的离心率；162x82y1.1.直接算出直接算出a a、c c带公式求带公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.几何意义：几何意义：e e为为OPFOPF2 2的正弦值的正弦值3. 3. 已知已知a a2 2、c c2 2直接求直接求e e2 2 变式训练1： 若椭圆 + =1的离心率为1/2，求m的值.222cea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 221bea题

23、型二：方程法例2.依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0e1F2(c,0)x xoyF1(-c,0)A60已知椭圆的两个焦点为已知椭圆的两个焦点为F F1 1和和F F2 2，A A为椭圆上为椭圆上一点一点 ，且，且AFAF1 1AFAF2 2 ，AFAF2 2 F F1 1 =60=60，求，求该椭圆的离心率。该椭圆的离心率。例例4 4：点点M(x,y)M(x,y)与定点与定点F(4,0)F(4,0)的距离和它到定直的距离和它到定直线线l l:x = :x = 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹的轨迹。42554xy

24、oFMlF1l( (椭圆的第二定义椭圆的第二定义) )准线方程：准线方程：cxa2 解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，所求轨的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：迹的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyabab 这是一个椭圆的标准方程，所以点这是一个椭圆的标准方程，所以点M的的轨迹是长轴、短轴分别是轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。的椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比是常数2:al xc(0).caca求求M点的轨迹。点的轨迹。|M FcPMda平方，化简得平方，化简得 ：222,:acb令可化得若点若点F F