大学高数空间解析几何2.

1、空同解祈/L何111一、曲面方程的概念定义：如果曲面S与三元方程F（x,j,z） = O满足: （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F（x,j,z）=O（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程.曲面方程；F（x,j,z）=OHI二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直 平分的平面方程所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM = Mn(X - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = '(x-2y+6 + iy +(z-4)21=1化简得2x-6j + 2z-7 = 0 所求平面方程Ax + B

2、y+ Cz + D = O 平面的一般方程-特殊半廁XOYlfri z = °YOZ而x = ()zox而y = 0适合下列条件的平面方程Ax + B+Cz-t-D = 0仃什么特征？I.过原点 0 = 02平行于他标轴3.包含坐标轴平行于X 4 = 0包含X 4 = 0Q = 0V /? = ()>* B = 0D = 02 C = 0z C = 0Q = ()4平行于坐标平面平行于XOY面4 = 0B = Qzox®4 = 0 C = 0YOZifiiB = 0C = 04例2作X = 2的图形.ZOy三、球面及其方程例3建立球心在点Mo（myo，z）半径为R的球

3、而的方程.设是球面上的任一点MM = RJ（X - Xo）2 + Cv -几）'+ （z - zj =R（尤 - X J+（y - y 0 y+（z - z J=川球面0 H £> +ZH + 盘 + 总 + 2 + 7 总 + ZHyri22+¥2xho=2zihh OxzHa thp G鼻 H "z + v+ v + wozz I x=xz IJ + ' +1(on)吕舍SH J+xi)+zlx)s丢逗迂膜低YOHd + XZIJ+貶z,龙養Z = JQ-宀 b上半部例5求与原点O及M（2,3,4）的距离之比为1:2点的全体所组成的曲面方

4、程解 设M（兀,jsz）是曲面上任一点根据题意有=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(x - 2)，+ (y - 3)2 + (z - 4)，2所求方程为卜+|卜0+1）并+寻：四旋转曲面定义以一条平 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.这条定直线叫旋转 曲面的轴.1:1SiuHI旋转面的方程曲线C卩（”Z）= 0绕2轴|x = 0 ZC a轴绕轴z 绕1JIz茨转一周猖祓转曲面S1:1V M（x,y,z） S曲线 C f/O二）=0 lx = o曲线C 八”乙）=° lx = oCy.V（0,y,z,）>y+ hz, = zA/P| =X14旋转面的方程曲线

5、C卩g) = °绕x = 0我转一周得祓转曲面SV Mx,y,z) e S/(ygiz, =zI y, 1= mi = J宀 hhlz轴N(O.yi.Z|)xl/czfi-> y占TXS： /（土J宀凡z）= oyoz坐标面上的已知曲线/（j,z） = O 旋转一周的旋转曲面方程为HI/(土'V+b, z)=o特点：绕Z轴旋转，/（J,z） = 0中Z不变（2）用土替换 /（J,z） = 0 中的 yyoz坐标面上的已知曲线/(j,z) = 0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为/(” 土g + z2)=0特点：(1)绕J轴旋转，/(J,z) = 0中y不变(2)用土時替换/

6、®z) = 0中的Z双曲线双叶旋转双曲面*2 ,2双曲线绕X轴一周1:1Z = 0双叶旋转双曲*2 ,2Z = 0双曲线得双叶旋转双曲面丄2 y2 +乙27"2上題双曲线JrZ = 0绕y轴一周单叶旋转双曲面上题双曲线”2 屮 盯"贾Z = 0t J绕y轴一周X单叶旋转双曲面上題双曲线绕y轴一周得单叶旋转双曲面Xa两条相交直线绕*轴一周"2 +2,旋转锥®0 "2 b*Z = 024X两条相交直线绕X轴一周y绕X轴一周y二丄=0Z = 0得粽转锥面工2n-;=° a' b旋转锥iflj 两条相交直线旋转锥面旋转拋物面

7、1:1o-'旋转抛物面O2 得旋转抛物面2=宀2yo生活中见过这个曲面吗？环面BI(X /o' +=r(R>r >0)绕v轴旋转所成曲面 y环hl圆(乂一尺)'+y2 =r(R>r > 0)绕y轴旋转所成曲面X 环Hl绕y轴旋转所成曲面定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线丄所形成的曲面称为柱面.准线：C 母线：L一般柱1=1示母銭平行于乙轴的柱*r F( x,y )=01丫= 0曲面s外的每-点都不满足方%F( K Z )=0W/*7 /ZH/ /Z夕 / > 乡/. Z / ;，/ / r一般柱面尺y,z)=0/夕/C纟/"

8、/ < Fg)=o4l示母钱平行于*轴的柱面>*柱面举例:|；|抛物柱面y2 = 2px母线平行于薜由X准线$2 = 2pxIZ = 0指出下列方程在空间直角坐标系所表示的曲Izl母线平行于Z轴，准线+圆柱面z = 0定义 三元二次方程所表示的曲面称之.-次曲面平HI讨论二次曲面性状的截痕法:用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌.1:1lz = o用y =加截曲面 用x = w截曲面椭球a，胪 c2截痕法用Z = 截曲面椭球面的几种特殊情况:*2 沪.2IS(1) a=b、 飞+ * +笃=1旋转椭球面 a a C由椭圆2+ 2 = 1绕Z轴旋转而成. a C方程可写为”+食=1a C旋转椭球面与椭球面的区别：与平面Z = Zi(lz, <C)的交线为圆.截面上圆的方程耳Z) a=b=s "： + '：+2；=1 球面a a a方程可写为"2十护十/=亍zHI（-）抛物面 楠圆抛物面Pq截痕法用Z = a截曲面用y = 0截曲面 用X = C截曲面I lA rwi