求曲线的方程

1、1曲线与方程及曲线与方程及求方程的曲线求方程的曲线2曲线与方程的关系曲线与方程的关系 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,yf(x,y)=0)=0的实数解建的实数解建立了如下关系：立了如下关系：1)1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2)2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做那么这个方程叫做曲线的方程曲线的方程；这条曲线叫做；这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线。新课新课3（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上

2、的点的坐标都是这个方程 的解的解” ，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏由曲线与方程的定义可知，由曲线与方程的定义可知，如果曲线如果曲线C的的方程是方程是 f(x，y)=0，那么点，那么点P0(x0 ，y0)在在曲线曲线C 上的上的 充要条件是充要条件是 f(x0，y0)=0 .纯粹性纯粹性完备性完备性说明说明4例

3、例1 判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点）过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线为轴的直线为x=3 （2）到）到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2 （3）到两坐标轴距离乘积等于）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对对错错错错认识概念认识概念变式训练：变式训练：写出下列半圆的方程写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx5条件甲：条件甲：“曲线曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(xf(x，y)=0 y)=0 的解的解”，条件乙：条件乙：“曲线曲线C C是

4、方程是方程f (xf (x，y)=0 y)=0 的曲线的曲线”，则甲是乙的，则甲是乙的( )( )(A)(A)充分非必要条件充分非必要条件 (B)(B)必要条件必要条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)非充分也非非充分也非必要条件必要条件B若命题若命题“曲线曲线C C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(xf(x，y)=0 y)=0 ”是正确的，是正确的，则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )( )(A)(A)方程方程f(xf(x，y)=0 y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C C (B)(B)坐标满足坐标满足 f(xf(x，y)=0 y)=0 的点都在曲线的点都在曲

5、线C C上上( C )( C ) 方 程方 程 f ( xf ( x ， y ) = 0y ) = 0 的 曲 线 是 曲 线的 曲 线 是 曲 线 C C 的 一 部 分 或 是 曲 线的 一 部 分 或 是 曲 线C C (D)(D)曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲线的一部分或是全部的曲线的一部分或是全部D61解析几何与坐标法：解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标坐标法法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫门叫解析几何解析几何的学科的学科

6、.因此，解析几何是用代数方法研因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科究几何问题的一门数学学科.2平面解析几何研究的主要问题：平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.78我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件1 1 1 1方法小结方法小结9直接法（轨迹法）直接法（轨迹法）求曲线（图形）的

7、方程，一求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：般有下面几个步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，）可以省略不写，如有特殊情况，如有特殊情况，可适当予以说明可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略另外，根据情况，也可以省略步骤（步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)用有序实数用有序实数对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(

8、x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)证明证明 说明以化简后的方程的解为坐标的点说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.（查漏除杂查漏除杂）注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)10.B例例2、动点、动点M与距离为与距离为2a的两个定点的两个定点A，B的连线的连线的斜率之积等于的斜率之积等于-1/2，求动点，求动点M的轨迹方程。的轨迹方程。.AM解解:如图如图,以直线以直线AB为为x轴轴,线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线为为y轴轴,建立平面直角坐标系，则建立平面直角坐标系，则A(-a,0

9、),B(a,0)。 设设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则是轨迹上的任意一点，则) 1 (a a) )( (x xa a2 2y yx x: :化化简简，得得. .2 21 1a ax xy ya ax xy y, ,2 21 1k kk ka a) )( (x x, ,a ax xy yk k, ,a ax xy yk k2 22 22 2M MB BM MA AM MB BM MA A由上可知，动点由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（迹

10、上。所以，方程（1）就是动点）就是动点M的轨迹方程。的轨迹方程。11（2）要仔细分析曲线上动点所满足的）要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。标所适合的方程。（3）根据具体条件，有时要注明变量）根据具体条件，有时要注明变量X 与与 Y 的变化范围。的变化范围。小结小结：求曲线的方程要注意以下几点：求曲线的方程要注意以下几点：（1）当题中没给定坐标系时，我们就要）当题中没给定坐标系时，我们就要适当地适当地建立建立坐标系坐标系，例如题目中有两垂直例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。直线，就可以选其做坐标轴。12132

11、225xy22(3)48xy定义法定义法直接直接法法14思考思考:(37P练习第练习第 3 题题) 如图如图,已知点已知点 C 的坐标是的坐标是(2 , 2) , 过点过点 C 直线直线 CA与与 x 轴交于点轴交于点 A,过点过点 C 且与直线且与直线 CA 垂直的直线垂直的直线 CB与与 y轴交于点轴交于点 B,设点设点 M 是线段是线段 AB 的中点的中点,求点求点 M的的轨迹方程轨迹方程. xy0CBAM( , )x y15直接法（轨迹法）直接法（轨迹法）求曲线（图形）的方程，一求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：般有下面几个步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一

12、般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，）可以省略不写，如有特殊情况，如有特殊情况，可适当予以说明可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略另外，根据情况，也可以省略步骤（步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)用有序实数用有序实数对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点说明以

13、化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.（查漏除杂查漏除杂）注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)16（2）要仔细分析曲线上动点所满足的）要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。标所适合的方程。（3）根据具体条件，有时要注明变量）根据具体条件，有时要注明变量X 与与 Y 的变化范围。的变化范围。小结小结：求曲线的方程要注意以下几点：求曲线的方程要注意以下几点：（1）当题中没给定坐标系时，我们就要）当题中没给定坐标系时，我们就要适当地适当地建立建立坐标系坐标系，例如题

14、目中有两垂直例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。直线，就可以选其做坐标轴。17适用范围适用范围:任何情况任何情况求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法:(1)直接法（轨迹法）直接法（轨迹法）;(2)定义法定义法;适用范围适用范围: :所给的几何条件中恰好已知曲线所给的几何条件中恰好已知曲线的定义，且可以直接用这些曲线的定义写出这的定义，且可以直接用这些曲线的定义写出这些曲线的方程。些曲线的方程。如如: :求到点求到点(1,1)(1,1)的距离等于到直线的距离等于到直线x+yx+y=1=1的距离的距离的点的轨迹方程的点的轨迹方程. .我们虽然知道它的轨迹是抛物线我们虽然知道它的轨迹是抛物线, ,但是不知道它但是不知道它的方程的形式的方程的形式, ,仍然只能用仍然只能用直译法直译法求求. .181. 1.已知定点已知定点A(6,0),A(6,0),曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点B,B,点点MM满足满足 , ,求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程. .例例3xyA(6,0)A(6,0)OOB BMM12AMMB 特征特征: :所求所求( (从从) )动点随已知曲线上的动点随已知曲线上的( (主主) )