特征值和特征向量集美大学ppt课件

1、第第4章章 矩阵的特征值矩阵的特征值 和特征向量和特征向量4.1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量4.2 类似矩阵与矩阵可对角化的条件类似矩阵与矩阵可对角化的条件4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量1. 特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义2. 相关概念相关概念4.特征值与特征向量求法特征值与特征向量求法3.两个有用公式两个有用公式( (特征方程根与系数的关系特征方程根与系数的关系) )5.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质4.1 矩阵的特征值矩阵的特征值 和特征向量和特征向量1. 特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义 定义定义4.1,

2、阶方阵为设nA假设存在常数假设存在常数及非零向量及非零向量,成立使A,的特征值为方阵则称A.的特征向量的对应于特征值称为非零向量A例：设例：设42, 2,2122AA则，的特征向量。是特征值的特征值，是2212A即即2、相关概念、相关概念(定义定义4.2)称称;的特征矩阵为方阵AAE ;的特征多项式为方阵AAE .0的特征方程为方阵AAE.,.个特征值有阶矩阵在复数范围内值特征方程的解即是特征nAnAOAOAE)(由于由于 即即n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解，有非零解，0OAE)(等价于等价于0AE设设A为为n阶矩阵，那么阶矩阵，那么0是是A的特征值，的特征值， 是是A的的属

3、于属于0的特征向量的充要条件是的特征向量的充要条件是0为特征方程为特征方程det(E-A)=0的根，的根，是齐次线性方是齐次线性方程组程组(E-A)X=0的非零解。的非零解。AOAOAE)(推论推论1、2P159假设假设1，2是是A属于属于0的特征向量，那么的特征向量，那么c11+ c22也也是是A属于属于0的特征向量。的特征向量。定理定理4.13.两个有用公式两个有用公式(特征方程根与系数的特征方程根与系数的关系关系)可求得非零解可求得非零解对每个对每个,i解方程解方程, 0XAEi,iX此即对应于此即对应于i的特征向量的特征向量.解特征方程解特征方程0 AE,即可得特征值即可得特征值.,2

4、1n4.求法求法nnaaa2211即为即为A的迹的迹.)2(;(1)21221121Aaaannnn则,21nAn的特征值为阶方阵设这里这里记为记为tr(A)tr(A)例例 1求矩阵求矩阵201034011A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解,) 1)(2(2010340112AE得特征值得特征值. 1, 2321当当21时时,解方程解方程, 0)2(XAE由由,0000100012 AE得根底解系得根底解系,1001全部特征向量为全部特征向量为).0(1kk当当132时时,解方程解方程, 0)(XAE由由,000210101 AE得根底解系得根底解系,1212全部特征向量为全部特征向

5、量为).0(2kk例例 2求矩阵求矩阵314020112A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.,) 2)(1(3140201122AE得特征值得特征值. 2, 1321当当11时时,解方程解方程,0)(XAE得根底解系得根底解系,1011全部特征向量为全部特征向量为).0(1kk当当232时时, 解方程解方程, 0)2( AE得根底解系得根底解系,401,11032全部特征向量为全部特征向量为).,(323322不全为零kkkk留意在例留意在例1与例与例2中中,特征方程的特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数重根所对应的线性无关特征向量的个数.例例3假设矩阵假设矩阵,2AAA满足那么称

6、那么称A是幂等矩阵是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是试证幂等矩阵的特征值只能是 0或或 1.证明证明 设设)0( ,A两边左乘矩阵两边左乘矩阵A, 得得.2AAA由此可得由此可得. 0)(2由于由于, 0所以有所以有, 02得得. 10或由证明过程可得结论由证明过程可得结论, 假设假设是是A的特征值的特征值,那么那么2是是2A的特征值的特征值. 进而进而k是是kA的特征值的特征值;633312321)2(;4211) 1 (:. 1特征向量求下列矩阵的特征值和.,2, 1 ,40221022.cbacbaA求为的三个特征值已知练习：练习：5.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质定理

7、定理4.2 n4.2 n阶矩阵阶矩阵A A与它的转置矩阵与它的转置矩阵ATAT有一样的特征值。有一样的特征值。证：证： 要使要使A A和和ATAT有一样的特征值，只需有一样的特征值，只需 |E- AT|= |E- A| |E- AT|= |E- A|成立。成立。 现实上，现实上， |E- AT|= |(E- A)T|= |E- A| |E- AT|= |(E- A)T|= |E- A| 定理定理4.3 n4.3 n阶矩阵阶矩阵A A可逆的充要条件是它的任一特征可逆的充要条件是它的任一特征 值不等于值不等于0 0。证证 必要性：必要性：A可逆，那么可逆，那么|A|0,所以所以 |0E-A|=|-

8、A|=(-1)n|A| 0,即即0不是不是A的特征值。的特征值。 充分性充分性(反证法反证法)：设：设A不可逆，即不可逆，即|A|=0,从而从而 |0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0,即即0是是A的特征值，矛盾。的特征值，矛盾。 定理定理4.4 4.4 不同特征值对应的特征向量是线性无关不同特征值对应的特征向量是线性无关的的. .定理定理4.5 1,2,m4.5 1,2,m是是A A的的m m个不同的特征值，个不同的特征值，A A的属的属于于ii的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为i1,i2,isi(i=1,2,.,m)i1,i2,isi(i=1,2,.,m)，那么向量组那么向

9、量组11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m2,msm,2,msm,线性无关。线性无关。即即1, 2, m是是A的的m个不同的特征值，个不同的特征值，1, 2, m分别是分别是A的属于的属于1, 2, m的特征向量，那么的特征向量，那么1, 2, m线性无关。线性无关。不同特征向量可属于同一个特征值不同特征向量可属于同一个特征值. 一个特征向量不能对应于不同特征值一个特征向量不能对应于不同特征值.不同特征值对应的特征向量是线性无关的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.练习练习的特征值。可逆，求设为正整数）的特征值；（为任意实数）、（、求

10、的特征值为已知1(2) 1 (. 3AAkAaaAAAkT. 0. 4AA条件是有特征值零的充分必要试证4.2 类似矩阵与矩阵类似矩阵与矩阵 可对角化的条件可对角化的条件1. 类似矩阵概念类似矩阵概念2. 类似矩阵根本性质类似矩阵根本性质3. 方阵的对角化含义方阵的对角化含义4. 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件1.类似矩阵概念类似矩阵概念这时这时A也是也是B的类似矩阵的类似矩阵:.)(111ABPPBA 与类似类似BA 与等价等价.定义定义4.3 设设A、B都是都是n阶方阵阶方阵,假设有可逆矩阵假设有可逆矩阵P,使使 P-1AP=B那么称那么称B是是A的类似矩阵的类似矩阵,或说或说A与与

11、B类似类似.记作记作 A B 称称P为把为把A变成变成B的类似变换矩阵的类似变换矩阵.2.类似矩阵根本性质类似矩阵根本性质根本性质根本性质(1) 类似矩阵有一样的行列式类似矩阵有一样的行列式.(2)类似矩阵有一样的迹类似矩阵有一样的迹.(3)类似矩阵有一样的秩类似矩阵有一样的秩.(4)类似矩阵有一样的特征多项式类似矩阵有一样的特征多项式.(5)类似矩阵有一样的特征值类似矩阵有一样的特征值.证明证明(1)设矩阵设矩阵A与与B类似类似,即有即有P -1 AP=B.11APAPAPPB(2) 显然显然.(3).)(AEPAEPPAEPAPPEBE111 (4) 由由(3)即得即得.(5) 由由(4)

12、及迹的定义即得及迹的定义即得.例例1知知xA10100002与与10000002yB类似类似,求求x,y.解解由于类似矩阵有一样的特征值由于类似矩阵有一样的特征值,故故A与与B有一样的特征值有一样的特征值 2, y, -1.根据特征方程根与系数的关系根据特征方程根与系数的关系,有有.2),1(202yAyx而而, 2A故故x=0,y=1. .,4512422421yxyBxA求相似与设矩阵课堂练习课堂练习3.方阵的对角化含义方阵的对角化含义所谓方阵所谓方阵A可以对角化可以对角化, 是指是指与对角阵A类似类似.即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,P使使APP1 成立成立.4.矩阵可对角化的条件矩阵可对

13、角化的条件A定理定理(充要条件充要条件)n阶方阵阶方阵A可对角化可对角化有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证明证明设设,1APP),(21npppP.21n),(),(,221121nnnppppApApAPAP得到得到,iiippA即即ip是是A的对应于特征值的对应于特征值i的特征向量的特征向量.因因P可逆可逆,故故nppp,21线性无关线性无关.设设),2, 1( ,nippAiiinppp,21线性无关线性无关. 记记),(21npppP那么那么. PAP因因nppp,21线性无关线性无关,故故P可逆可逆,.1APP即即A可对角化可对角化.推论推论(充分条件充分条件)假假设

14、设A的的n个特征值互不相等个特征值互不相等, 那那么么A与对角阵类似与对角阵类似(可对角化可对角化).逆不成立逆不成立,即与对角阵类似的矩阵即与对角阵类似的矩阵,特征特征值不一定互不相等值不一定互不相等.假设假设A有有k对应的线性无关的特征向量的个数对应的线性无关的特征向量的个数(几何重数几何重数)相等相等,那那么么 A一定可对角化一定可对角化. 关的特征向量的个数少于关的特征向量的个数少于k那么那么A一定不能对角化一定不能对角化.假设假设A有一个有一个k 重特征值重特征值,并且所对应的线性无并且所对应的线性无重特征值重特征值,只需重数只需重数(代数重数代数重数)和所和所定理定理(证明略证明略

15、).)(,k00AkAn的特征多项式必有因子则征向量个线性无关的特有属于特征值阶矩阵若例例2A设三阶方阵有三个不同的特征值有三个不同的特征值,2,1,321对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为,211,212,011321ppp知知,61A1求求(1);,3A(2).A解解,61)1(1AA又又,321A所以所以. 33(2),3 , 2 , 1( ,ippAiii即即,),(),(321321321ppppppA记记),(322pppP显然可逆显然可逆, 那么那么有有.,1PPAPAP而而,1101110,22011112121211PP故故.3221211011PPA.,212,122

16、,221; 1, 0, 13321321ApppA求矩阵对应的特征向量依次为的特征值为阶矩阵设课堂练习课堂练习 1. 1. 实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵特征值的性质2. 2. 实对称矩阵对角化方法实对称矩阵对角化方法4.3 实对称矩阵的实对称矩阵的 特征值和特征向量特征值和特征向量1.实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵特征值的性质(1)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交.(3)实对称矩阵的重特征值的重数实对称矩阵的重特征值的重数(代数重数代数重数)与对应与对应的线性无关的特征向量的个

17、数的线性无关的特征向量的个数(几何重数几何重数)相等相等.结论结论任一实对称矩阵任一实对称矩阵,A一定可以对角化一定可以对角化. 与之类似的对与之类似的对角阵的对角元素就是角阵的对角元素就是A的全部特征值的全部特征值, 而正交阵而正交阵P是由其是由其对应的单位特征向量对应的单位特征向量所组成的所组成的.nppp,212.实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化设设A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,那么必存在正交矩那么必存在正交矩阵阵P使使,1APP其中其中是以是以A的的n个特征值为对角元的对角阵个特征值为对角元的对角阵.主要结论主要结论,111111111A设例例1求一个正交阵求一个正交阵,P.1

18、为对角阵使APP解解(1)求特征值求特征值:),3(1111111112 AE特征值为特征值为. 3, 0321(2)求特征向量求特征向量:对于对于, 021解解, 0X)( AE0得线性无关的特征向量为得线性无关的特征向量为.,10101121对于对于, 33解解, 0)(XAE3得线性无关的特征向量为得线性无关的特征向量为.1113(3)特征向量正交化、单位化：特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法用施密特正交化方法正交化正交化取取,01111.211TT2101121101122111单位化单位化取取.,3131313336261612222121111pp0p(4)写出所求正交矩阵写出所求正交矩阵:令令,0),(31623161213161