大学物理第二十一章

1、2022年5月16日王业伍 浙江大学物理系大学物理甲第二十一章量子力学简介2022-5-162量子力学：描写微观粒子运动规律的学科，是近代量子力学：描写微观粒子运动规律的学科，是近代物理学的重要基础。物理学的重要基础。在量子力学基础上发展出很多新的学科在量子力学基础上发展出很多新的学科,例如量子例如量子场论、量子色动力学、量子味动力学和超弦理论。场论、量子色动力学、量子味动力学和超弦理论。2022-5-1631 1、正确、正确理解理解实物粒子实物粒子的波动性和德布罗意的波动性和德布罗意假设假设。 2 2、理解理解不确定性关系不确定性关系;掌握用掌握用不确定性关系解题的方法不确定性关系解题的方法

2、。3 3、理解理解波函数及其统计解释波函数及其统计解释.2022-5-164一、德布罗意假设一、德布罗意假设 德布罗意出身于法国世袭贵族家德布罗意出身于法国世袭贵族家庭，受其哥哥、实验物理学家庭，受其哥哥、实验物理学家莫里斯莫里斯 (Maurice)的影响，对于普朗克和爱因的影响，对于普朗克和爱因斯坦有关量子理论的工作产生了兴趣，斯坦有关量子理论的工作产生了兴趣，放弃了研究法国历史的计划，投在法放弃了研究法国历史的计划，投在法国物理学家朗之万的门下研究物理学。国物理学家朗之万的门下研究物理学。 德布罗意提出人们在对光的研究德布罗意提出人们在对光的研究上是过于忽略了光的粒子性，而对粒上是过于忽略

3、了光的粒子性，而对粒子的研究上是否发生了相反的错误呢？子的研究上是否发生了相反的错误呢？是否忽略了粒子所具有的波动性？是否忽略了粒子所具有的波动性？ 21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性 21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性2022-5-165 1924年，年青的法国物理学家路易年，年青的法国物理学家路易德布罗意在光的德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出了微观粒子也应具有波粒二波粒二象性的启示下，提出了微观粒子也应具有波粒二象性的假设。德布罗意的这一假设随后被电子衍射实验象性的假设。德布罗意的这一假设随后被电子衍射实验所证实，为此他获得了所证实，为此他获得了1929年诺贝尔物理学

4、奖。年诺贝尔物理学奖。 爱因斯坦、德拜、薛定谔。爱因斯坦、德拜、薛定谔。2022-5-166德布罗意波（物质波）德布罗意波（物质波） 一切实物粒子，如电子、原子、分子等也具有波动性，一切实物粒子，如电子、原子、分子等也具有波动性，与粒子运动相联系着的能量与粒子运动相联系着的能量E和动量和动量p也应该和光子一样，也应该和光子一样，对应于某一确定的频率对应于某一确定的频率 和波长和波长 的波的波，对于质量为，对于质量为m、运、运动速度为动速度为v的粒子，也应有关系的粒子，也应有关系 hmphmcE v2由此可以得到实物粒子的波长和频率由此可以得到实物粒子的波长和频率21-1 实物粒子的波动性实物粒

5、子的波动性2201c/mhmhphvvv 22202/1chcmhmchEv 与实物粒子的运动相联与实物粒子的运动相联系的波称为系的波称为德布罗意波德布罗意波2022-5-16721-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性电子的德布罗意波长：电子的德布罗意波长：eUvmEk 2021动量为动量为eUmEmmEmmpkk00000222 v动能动能mU.Uemhph9010225112 电子被电压电子被电压U加速后，加速后，若速度远小于光速若速度远小于光速，1.000 1.225UVnm1000 0.0387UVnm2022-5-16821-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性2022-5-169

6、二、德布罗意波的实验验证二、德布罗意波的实验验证 1926年，美国物理学家戴维逊和革末将电子束年，美国物理学家戴维逊和革末将电子束投射到镍单晶体表面，发现了电子衍射的现象，用投射到镍单晶体表面，发现了电子衍射的现象，用波的理论计算证明了德布罗意公式的正确性。波的理论计算证明了德布罗意公式的正确性。电子晶体衍射电子晶体衍射实验示意图实验示意图21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性 阴极阴极K发出电子经发出电子经U加速后，通过加速后，通过光阑光阑B成一细的平行电子射线，成一细的平行电子射线，投射投射到到镍单晶体镍单晶体上，反射后经上，反射后经D收集，电收集，电流强度流强度I由由G测出。测出。

7、角和角和U可变，可变， 角角不变时，可得不变时，可得UI的曲线关系或的曲线关系或U不变不变时测出时测出 角和角和I的关系。的关系。2022-5-1610 调节调节U所得曲线如图，可以看出，只有当电压所得曲线如图，可以看出，只有当电压U为为某些特定值时，电流才有某些特定值时，电流才有 极大值。极大值。 把电子看作类似把电子看作类似X射线的波，在晶体上衍射时，只有射线的波，在晶体上衍射时，只有当入射的波长当入射的波长 满足满足布拉格公式布拉格公式时，时，反射方向才能观察到反射方向才能观察到电子流的极大电子流的极大。), 2 , 1 , 0(sin2kkd21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性I

8、0510152025电子衍射实验中电子流强度与电压的关系电子衍射实验中电子流强度与电压的关系U2022-5-1611电子的德布罗意波长电子的德布罗意波长电子经电子经U电场加速，电场加速，Uemhph120由布拉格公式由布拉格公式), 2 , 1 , 0(12sin20kUemhkd 当电压当电压U满足上式时，电子流强度满足上式时，电子流强度I有最大值。由此计算所有最大值。由此计算所得的得的U与实验结果完全相符，证明德布罗意假设的正确性。与实验结果完全相符，证明德布罗意假设的正确性。ad单晶体表面电子束在晶面上反射21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性I0510152025U2022-5-1

9、61221-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性0000652/509050091. 0 nmdad单晶体表面电子束在晶面上反射I0510152025U nmk165. 0, 1expnmmUUemh167. 010225. 11290 54V expU), 2 , 1 , 0(sin2kkd第一极大2022-5-1613 德布罗意曾预言：一束电子穿过非常小的孔可能产生衍德布罗意曾预言：一束电子穿过非常小的孔可能产生衍射现象。射现象。1927年发现电子的年发现电子的J.J. 汤姆孙之子汤姆孙之子G.P. 汤姆孙完成汤姆孙完成了专门为证明了专门为证明电子电子波动性的电子衍射实验，所得衍射图样与波

10、动性的电子衍射实验，所得衍射图样与X射线衍射图样完全相同。接着，射线衍射图样完全相同。接着，1929年埃斯特曼用氦年埃斯特曼用氦原子原子束和束和氢氢分子分子束进行了衍射实验，束进行了衍射实验，1936年冯哈尔巴恩和普赖斯年冯哈尔巴恩和普赖斯沃克获得了沃克获得了中子中子的衍射实验结果。这些实验结果都明确地显的衍射实验结果。这些实验结果都明确地显示了微观粒子具有与光波相同的波动性。示了微观粒子具有与光波相同的波动性。 21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性2022-5-1614 由以上实验结果可得出结论，由以上实验结果可得出结论，自然界中一切微自然界中一切微观粒子，不管它们的静止质量是否为零，

11、是否带观粒子，不管它们的静止质量是否为零，是否带电，都具有电，都具有“波粒二象性波粒二象性”，其波动性和粒子性，其波动性和粒子性是它们的本质在不同方面的表现。是它们的本质在不同方面的表现。 因圆孔衍射，显微镜的最小分辨本领受限于波因圆孔衍射，显微镜的最小分辨本领受限于波长，微观粒子的波长短，利用微观粒子的波动性，长，微观粒子的波长短，利用微观粒子的波动性，1931年鲁斯卡设计了第一台年鲁斯卡设计了第一台电子显微镜，电子显微镜，其最小分其最小分辨率大于光学显微镜。辨率大于光学显微镜。1985年获诺贝尔物理学奖。年获诺贝尔物理学奖。21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性 19991999年维也

12、纳研究组证明大到像富勒烯年维也纳研究组证明大到像富勒烯(C(C6060, ,碳六十碳六十) )这样的大分子都有波动性的衍射图。这样的大分子都有波动性的衍射图。 2022-5-1615例例 计算质量计算质量m = 0.010 kg，速度，速度v = 300 m/s的的子弹子弹的德布罗意波长的德布罗意波长，并与由，并与由150V电势差加速的电势差加速的电子的电子的德布罗意波长德布罗意波长比较。比较。 解解 求子弹的德布罗意波长，把所给数据代入德布求子弹的德布罗意波长，把所给数据代入德布罗意公式，注意到子弹的速度远小于光速罗意公式，注意到子弹的速度远小于光速 )m(1021. 230001. 010

13、63. 63434 vmhph 电子被电子被150V电压加速后的波长：电压加速后的波长：21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性nmU.Uemhph2251120 nm.VU6670 150 2022-5-1616 可以看出，可以看出，对于宏观物体，普朗克常量对于宏观物体，普朗克常量h是是个非常小的量，宏观物体的德布罗意波长是如个非常小的量，宏观物体的德布罗意波长是如此之小，以致不能观察到它的波动性。此之小，以致不能观察到它的波动性。而对于而对于微观粒子，其德布罗意波长相对要大得多，电微观粒子，其德布罗意波长相对要大得多，电子的德布罗意波长已接近原子的大小，因此，子的德布罗意波长已接近原子的

14、大小，因此，在原子范围内，电子明显地表现出波动性。在原子范围内，电子明显地表现出波动性。 21-1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性2022-5-161721-2 不确定性关系不确定性关系 21-2 不确定性关系不确定性关系电子的双缝干涉实验电子的双缝干涉实验1 1、子弹双缝实验、子弹双缝实验2022-5-161821-2 不确定性关系不确定性关系 21-2 不确定性关系不确定性关系2 2、水波双缝实验、水波双缝实验2022-5-161921-2 不确定性关系不确定性关系 21-2 不确定性关系不确定性关系3 3、电子双缝实验（思想实验，、电子双缝实验（思想实验，Thought Experim

15、entThought Experiment）2022-5-162021-2 不确定性关系不确定性关系 21-2 不确定性关系不确定性关系4 4、电子双缝实验（、电子双缝实验（19701970电子双棱镜实验）电子双棱镜实验）2022-5-162121-2 不确定性关系不确定性关系 21-2 不确定性关系不确定性关系追踪电子追踪电子2022-5-1622一、位置和动量的不确定关系一、位置和动量的不确定关系 在经典力学中，物体的运动状态可由位置和动量在经典力学中，物体的运动状态可由位置和动量（速度）等来描述，它们可以同时被确定。（速度）等来描述，它们可以同时被确定。 对于微观粒子，其波长与对于微观粒

16、子，其波长与粒子的尺度可比拟，粒子粒子的尺度可比拟，粒子的位置和动量不能同时确定，这就是的位置和动量不能同时确定，这就是位置和动量的不确位置和动量的不确定关系定关系。21-2 不确定性关系不确定性关系 21-2 不确定性关系不确定性关系2022-5-162321-2 不确定性关系不确定性关系 1927年年德国物理学家德国物理学家海森伯海森伯(Heisenberg)指出，指出，对于微观粒子要同时测出位置和动量，其精度有一定对于微观粒子要同时测出位置和动量，其精度有一定的限制。的限制。若微观粒子坐标的不确定量是若微观粒子坐标的不确定量是 x，动量的不，动量的不确定度是确定度是 px，则两者的乘积总

17、是大于某一数值，则两者的乘积总是大于某一数值：24 hpxx 海森伯不确定关系海森伯不确定关系表示微观粒子的位置和动量不能表示微观粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，给出了同时测定一个微观粒子位置同时具有确定的值，给出了同时测定一个微观粒子位置和动量的精度的极限，无论测量仪器精度如何，测量结和动量的精度的极限，无论测量仪器精度如何，测量结果都不可能超过这一极限，因此也称为果都不可能超过这一极限，因此也称为测不准关系测不准关系。与与测量方法无关测量方法无关! 与认识局限性无关与认识局限性无关! 海森伯不确定关系海森伯不确定关系2 ypy2 zpz21-2 不确定性关系不确定性关系2022-5-

18、1624德国物理学家，量子力学的德国物理学家，量子力学的创立者之一，创立者之一， “哥本哈根学哥本哈根学派派”的代表性人物。的代表性人物。 1932年年由于在建立量子力学理论过由于在建立量子力学理论过程中的杰出贡献而获得诺贝程中的杰出贡献而获得诺贝尔物理学奖。尔物理学奖。他独立于薛定谔提出了量子他独立于薛定谔提出了量子力学的另外一种表述方式力学的另外一种表述方式-矩矩阵力学，被证明和薛定谔的阵力学，被证明和薛定谔的波动力学完全等价。波动力学完全等价。德国物理学家德国物理学家W. K. Heisenberg2022-5-1625 设电子束沿设电子束沿y轴通过宽度轴通过宽度为为a的狭缝衍射。电子通

19、过狭的狭缝衍射。电子通过狭缝的坐标不确定范围是缝的坐标不确定范围是 x a。 大多数电子都落在中央衍大多数电子都落在中央衍射明条纹内，电子达第一衍射射明条纹内，电子达第一衍射极小处的动量为极小处的动量为p，所以动量，所以动量在在 x 方 向 的 不 确 定 范 围 为方 向 的 不 确 定 范 围 为 px=psin 1。pypxpxy电子束狭缝a衍射屏121-2 不确定性关系不确定性关系2022-5-1626由衍射理论由衍射理论asin 1= 和德布罗意关系和德布罗意关系 =h/p pypxpxy电子束狭缝a衍射屏1xphphax 11sinsin 得到得到 hpxx 若考虑次级衍射，则若考

20、虑次级衍射，则 px更大更大 hpxx 21-2 不确定性关系不确定性关系 这与经过严格推导的不确定关系在物理含意上是完全这与经过严格推导的不确定关系在物理含意上是完全相同的，它表明缝宽相同的，它表明缝宽a越小，越小， x的测定越准确，则衍射主的测定越准确，则衍射主极大的范围就越大，衍射现象越显著，动量的不确定范围极大的范围就越大，衍射现象越显著，动量的不确定范围也就越大，微观粒子的位置和动量不能同时被精确地确定。也就越大，微观粒子的位置和动量不能同时被精确地确定。1sinppx2022-5-162721-2 不确定性关系不确定性关系24 hpxx海森伯不确定关系海森伯不确定关系(严格推导严格

21、推导)xxph 做数量级估算时也可以用做数量级估算时也可以用:严禁使用严禁使用xxp 2xhxp 2022-5-1628例例 原子的线度约为原子的线度约为10 10m，求原子中电子速度的不确定，求原子中电子速度的不确定量，分析这时电子能否看成经典力学中的粒子。电视显像量，分析这时电子能否看成经典力学中的粒子。电视显像管中的电子受到约管中的电子受到约1万伏的加速电压作用，速度可达到万伏的加速电压作用，速度可达到107m/s的数量级，若电子束的直径为的数量级，若电子束的直径为1.0 10 4m，此时电子，此时电子横向速度的不确定量为多少？能否用经典力学处理？横向速度的不确定量为多少？能否用经典力学

22、处理？ 解解 原子中电子位置的不确定范围就是原子的线度，即原子中电子位置的不确定范围就是原子的线度，即 x 10 10m。由不确定性关系，电子速度的不确定量为。由不确定性关系，电子速度的不确定量为 )m/s(108 . 510101 . 914. 341063. 625103134xmmpxxv21-2 不确定性关系不确定性关系2022-5-1629 由玻尔理论可以估算出氢原子中电子速率约为由玻尔理论可以估算出氢原子中电子速率约为106m/s，显然原子中电子在任一时刻都没有完全确定的位置和速度，显然原子中电子在任一时刻都没有完全确定的位置和速度，故不能看作经典粒子，故不能看作经典粒子，表现出波

23、动性表现出波动性。 在显像管中，由题意知电子横向位置的不确定量在显像管中，由题意知电子横向位置的不确定量 x=1.0 10 4m，则由不确定关系得，则由不确定关系得 )m/s(58. 0100 . 1101 . 914. 341063. 6243134xmxv 由于这时电子速度约为由于这时电子速度约为107m/s，有，有v vx，完全可以忽，完全可以忽略，波动性不起什么实际作用，因此电子运动仍可用经典略，波动性不起什么实际作用，因此电子运动仍可用经典力学来处理，力学来处理，表现出粒子性表现出粒子性。 21-2 不确定性关系不确定性关系例题解析例题解析21.42022-5-1630二、能量和时间

24、的不确定关系二、能量和时间的不确定关系21-2 不确定性关系不确定性关系2 tE 若粒子在某状态的寿命是若粒子在某状态的寿命是t，则该状态的能量是不确定，则该状态的能量是不确定的，能级宽度的，能级宽度E和寿命和寿命t满足满足 用上述关系可以解释谱线用上述关系可以解释谱线宽度宽度。原子在激发态的典型的平均寿命原子在激发态的典型的平均寿命 t=10-8s，则原子激发态的能级自然，则原子激发态的能级自然宽度为宽度为)eV(103 . 328tE2022-5-1631 还可以有其它形式的不确定关系，凡满足这一还可以有其它形式的不确定关系，凡满足这一关系的两个量称为正则共轭量。关系的两个量称为正则共轭量

25、。这一关系是建立这一关系是建立在波粒二象性基础上的普遍原则，是物质本身固在波粒二象性基础上的普遍原则，是物质本身固有特性决定的，它更真实地揭示了微观体系的运有特性决定的，它更真实地揭示了微观体系的运动规律。动规律。由于普朗克常数由于普朗克常数h是一个极小的量，所以是一个极小的量，所以对于宏观物体，其坐标和动量的不确定量相对很对于宏观物体，其坐标和动量的不确定量相对很小，说明物体的波动性可以忽略，仍可用经典力小，说明物体的波动性可以忽略，仍可用经典力学的方法处理。学的方法处理。 21-2 不确定性关系不确定性关系2 BAA, B 为一对共轭量为一对共轭量2022-5-163221-3 波函数及其

26、统计解释波函数及其统计解释 物质波的存在已经物质波的存在已经得到了证实，得到了证实，如何描如何描述微观粒子的运动状述微观粒子的运动状态态？奥地利物理学家？奥地利物理学家E. Schrdinger提出可用提出可用一个波函数一个波函数 (r,t)来描来描述物质波，称为物质述物质波，称为物质波的波函数。波的波函数。 21-3 波函数及其统计解释波函数及其统计解释奥地利物理学家奥地利物理学家E. Schrdinger2022-5-1633一一. 波函数的引入：（与平面机械波类比）波函数的引入：（与平面机械波类比） 在经典物理学中，一个频率为在经典物理学中，一个频率为 、波长为、波长为 、沿、沿x方方向

27、传播的平面简谐波（如机械波、电磁波）的波动方向传播的平面简谐波（如机械波、电磁波）的波动方程可以表示为程可以表示为 0( , )cos 2()xy x tyt 写成复数形式：写成复数形式： 0( , )exp(2 ()xy x tyit 0cos2 ()sin2 ()xxyytit 而只取其实数部分而只取其实数部分:2022-5-1634)(0)(20)(20eee),(EtpxiEtpxhixtitx 这就是这就是一维自由粒子物质波的波函数一维自由粒子物质波的波函数。 由德布罗意关系由德布罗意关系E=h 和和p=h/ ，将，将 用能量用能量E表示，表示， 用用动量动量 p 表示，可得到表示，

28、可得到 25-3 薛定谔方程薛定谔方程 对于沿对于沿x方向运动的方向运动的自由自由粒子（不受外场的作用），能量、粒子（不受外场的作用），能量、动量有确定值，有一确定频率和波长的波与之对应，也用平动量有确定值，有一确定频率和波长的波与之对应，也用平面波来表示。面波来表示。 物质波的存在已经得到了证实，波函数也已得到，物质波的存在已经得到了证实，波函数也已得到，那那么物质波究竟是什么性质的波？是否有对应物理量的振么物质波究竟是什么性质的波？是否有对应物理量的振动的传播？动的传播？事实上，实验中并没有观察到类似的波动过事实上，实验中并没有观察到类似的波动过程，只是它在产生干涉、衍射等现象上与光波具有

29、共同程，只是它在产生干涉、衍射等现象上与光波具有共同的特征。的特征。 2022-5-163521-3 波函数及其统计解释波函数及其统计解释二、波函数的统计解释：（二、波函数的统计解释：（1926年）年） M. Born通过与光的类比，从电子的波动性出发，通过与光的类比，从电子的波动性出发，波函数的物理意义要从统计概率去解释。波函数的物理意义要从统计概率去解释。发展了矩阵力学；发展了矩阵力学；提出了波函数的统计解释；提出了波函数的统计解释；创立了晶格动力学理论。创立了晶格动力学理论。 19541954年获得年获得NobelNobel物理学奖。物理学奖。 M.BornM.Born与我国固体物理学家

30、黄昆于与我国固体物理学家黄昆于2020世纪世纪5050年代初撰写了著名的经典年代初撰写了著名的经典著作著作“晶格动力学晶格动力学”2022-5-163621-3 波函数及其统计解释波函数及其统计解释二、波函数的统计解释：（二、波函数的统计解释：（1926年）年） 对于光的干涉、衍射现象，我们知道，图样中亮处表示对于光的干涉、衍射现象，我们知道，图样中亮处表示光的强度大，暗处光的强度小，光强度与波函数振幅的平光的强度大，暗处光的强度小，光强度与波函数振幅的平方成正比，方成正比，I A2。 由光子理论，光强度大处，单位时间内光子到达该处附由光子理论，光强度大处，单位时间内光子到达该处附近单位体积内

31、的数目多，即光子在该处附近单位体积内出近单位体积内的数目多，即光子在该处附近单位体积内出现的概率大；光强度小处，光子在该处附近单位体积内出现的概率大；光强度小处，光子在该处附近单位体积内出现的概率小。所以现的概率小。所以光子在某处光子在某处附近附近单位体积内出现的概率单位体积内出现的概率正比于光强度，正比于波函数振幅的平方正比于光强度，正比于波函数振幅的平方。 振振幅幅平平方方（波波动动性性）光光子子数数多多（粒粒子子性性）光光的的衍衍射射：屏屏上上明明纹纹大大I 振振幅幅平平方方（波波动动性性）电电子子数数多多（粒粒子子性性）电电子子衍衍射射：屏屏上上明明纹纹大大I2022-5-163721

32、-3 波函数及其统计解释波函数及其统计解释电子单缝衍射不同曝光电子数的衍射图样电子单缝衍射不同曝光电子数的衍射图样2022-5-1638玻恩提出玻恩提出物质波的统计解释物质波的统计解释：物质波应是一种概率物质波应是一种概率波，波，t 时刻粒子在空间时刻粒子在空间r 处附近单位体积内出现的概处附近单位体积内出现的概率与该处波函数模的平方成正比，即率与该处波函数模的平方成正比，即 VttVttWddd),(),(*),(),(2rrrr式中式中 *(r,t)是波函数是波函数 (r,t)的共轭复数。的共轭复数。 2),(tVWrdd概率密度概率密度：粒子在粒子在t 时刻在空间时刻在空间r 处附近处附

33、近单位体积中出现单位体积中出现的概率。的概率。21-3 波函数及其统计解释波函数及其统计解释概率波不是任何物概率波不是任何物理量的真实波动。理量的真实波动。2022-5-1639 实物粒子的波函数实物粒子的波函数 (r,t)既然具有概率统计的物理意义，既然具有概率统计的物理意义，则它必须满足一定条件。则它必须满足一定条件。u (r,t)是是单值函数。因为空间任一点粒子出现的概率应单值函数。因为空间任一点粒子出现的概率应该是唯一该是唯一。u (r,t)是是连续函数。因为在实际物理问题中，空间各点的连续函数。因为在实际物理问题中，空间各点的概率分布不会发生突变。进一步要求概率分布不会发生突变。进一

34、步要求 (r,t)的导数也连续。的导数也连续。u (r,t)是有是有限函数。因为在有限的空间中找到粒子的概限函数。因为在有限的空间中找到粒子的概率不会是无限大。率不会是无限大。标准化条件标准化条件：单值、连续、有限。单值、连续、有限。归一化条件归一化条件：实物粒子存在于空间，总要在空间某处出：实物粒子存在于空间，总要在空间某处出现，因此粒子在整个空间出现的总概率应该等于现，因此粒子在整个空间出现的总概率应该等于1，即，即 VVt1d),(2r21-3 波函数及其统计解释波函数及其统计解释2022-5-164021-3 波函数及其统计解释波函数及其统计解释作业：作业：21.121.221.621

35、.1021.1121.132022-5-16411 1、了解如何、了解如何建立建立薛定谔方程并掌握薛定谔方程薛定谔方程并掌握薛定谔方程。 2 2、理解理解一维无限深势阱和势垒的物理意义一维无限深势阱和势垒的物理意义;掌握掌握一维一维无限深势阱中粒子的运动特征和相关问题的求解无限深势阱中粒子的运动特征和相关问题的求解。2022-5-164221-4 薛定谔方程薛定谔方程 21-4 薛定谔方程薛定谔方程宏观粒子的状态宏观粒子的状态微观粒子的状态微观粒子的状态)()(tptr 宏观粒子的运动方程宏观粒子的运动方程dttpdF)( 微观粒子的运动方程微观粒子的运动方程 ？),(tr2022-5-164

36、3 描述微观粒子运动状态的波函数描述微观粒子运动状态的波函数 (r,t)将遵从怎样的方将遵从怎样的方程呢？程呢？对于一个在一维空间运动的自由粒子，其波函数对于一个在一维空间运动的自由粒子，其波函数 )Etpx(i0e)t ,x( 一、薛定谔方程一、薛定谔方程21-4 薛定谔方程薛定谔方程 设粒子的运动速度远小于光速，则粒子的动量和设粒子的运动速度远小于光速，则粒子的动量和能量依然可用经典力学中的关系能量依然可用经典力学中的关系 m2pE2 2022-5-164421-4 薛定谔方程薛定谔方程)t ,x(m2P)t ,x(E2 )Etpx(i02)Etpx(i0em2PeE t)t ,x(i)t

37、 ,x(E 2222x)t ,x(m2)t ,x(m2p 2022-5-1645这就是这就是低速低速时一维时一维自由自由粒子所需满足的运动方程。粒子所需满足的运动方程。 222xm2ti 21-4 薛定谔方程薛定谔方程2022-5-1646 若粒子在空间运动时还受到外力的作用（非自由若粒子在空间运动时还受到外力的作用（非自由粒子），作用势能为粒子），作用势能为U(x,t)，则粒子的总能量为，则粒子的总能量为 21-4 薛定谔方程薛定谔方程 ),(2222txUxmti ),(22txUmpEEti 将上式代入将上式代入 可得：可得：2022-5-1647 这是粒子在一维势场中运动时所需满足的微

38、分这是粒子在一维势场中运动时所需满足的微分方程。对于粒子在三维空间运动情形，空间势场为方程。对于粒子在三维空间运动情形，空间势场为U(r,t)，可将上式推广为，可将上式推广为 ),(),(),(2),(22trtrUtrmtrti 2222222222)( zyxp21-4 薛定谔方程薛定谔方程 这就是微观粒子运动时所需满足的微分方程，称为这就是微观粒子运动时所需满足的微分方程，称为含时薛定谔方程含时薛定谔方程，它描述了低速运动的粒子运动状态随，它描述了低速运动的粒子运动状态随时间的变化关系，反映了微观粒子运动的规律。时间的变化关系，反映了微观粒子运动的规律。 xipxzipzyipy2022

39、-5-1648 以上只是以上只是建立了薛定谔方程，并不是用任何原理从建立了薛定谔方程，并不是用任何原理从数学上将它推导出来的数学上将它推导出来的。薛定谔方程也如物理学中其它。薛定谔方程也如物理学中其它基本方程（如牛顿力学方程、热力学定律、麦克斯韦电基本方程（如牛顿力学方程、热力学定律、麦克斯韦电磁场方程）一样其磁场方程）一样其正确性只能由实验来验证正确性只能由实验来验证。大量的近大量的近代物理实验已经指出，由薛定谔方程推导所得的结果比代物理实验已经指出，由薛定谔方程推导所得的结果比较好地反映了低速微观粒子的运动规律，从而证实了薛较好地反映了低速微观粒子的运动规律，从而证实了薛定谔方程的正确性。

40、因此，薛定谔方程是量子力学中一定谔方程的正确性。因此，薛定谔方程是量子力学中一条最基本的规律。条最基本的规律。 21-4 薛定谔方程薛定谔方程高速运动的高速运动的粒子有相应的运动方程粒子有相应的运动方程2022-5-1649 一般来说，只要知道粒子质量一般来说，只要知道粒子质量m和它在势场中的势和它在势场中的势能函数能函数U的具体形式，就可解薛定谔方程，求出粒子的的具体形式，就可解薛定谔方程，求出粒子的运动规律。运动规律。 当势能当势能U与时间与时间t无无关，而只是坐标关，而只是坐标x的函的函数时，可将数时，可将波函数分离波函数分离为坐标函数与时间函数为坐标函数与时间函数的乘积的乘积Etixt

41、x e )(),( 21-4 薛定谔方程薛定谔方程二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程)(e),(xEittxEti 22Eti22dx(x)dext)(x,U(x)x2mti2222022-5-1650推广三维空间为推广三维空间为 三维定态薛三维定态薛定谔方程定谔方程21-4 薛定谔方程薛定谔方程)()()()(rErrUrm222)()()()(xExxUdxxdm2222可消去时间函数可消去时间函数，一维定态薛一维定态薛定谔方程定谔方程代入一维薛定谔方程中，代入一维薛定谔方程中，(x)Ee)i(iEti Eti22Eti2eU(x)(x)dx(x)de2m 称为称为定态波函数定态波函数)(x2022-5-1651 上式描述的状态称为定态，因为粒子所在势场中的上式描述的状态称为定态，因为粒子所在势场中的势能只是位置的函数，与时间无关。同时波函数必须满势能只是位置的函数，与时间无关。同时波函数必须满足单值、连续和有限的三个条件并予以归一化。足单值、连续和有限的三个条件并予以归一化。 21-4 薛定谔方程薛定谔