两个重要极限88785电子版本

1、两个重要极限88785上页下页铃结束返回首页一、准则一、准则 I 及第一个重要极限及第一个重要极限 如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 准则准则 I （夹逼定理）（夹逼定理）准则准则 I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2)aynn=lim aznn=lim 下页那么数列xn 的极限存在 且nlimxn=a 那么数列xn 的极限存在 且nlimxn=a 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页

2、下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xx(x)0) 例例3 解解 解解 例例4 )0, 0.(sinsinlim0nmnxmxx求nxnxnxmxmxmxnxmxxxsinsinlimsinsinlim00=.nm=.sintanlim30 xxxx求2030cos1tanlimsintanlimxxxxxxxxx=200cos1limtanlimxxxxxx=21=下页上页下页铃结束返回首页1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xx(x)0) 例例5 解解 .arcsinlim0 xxx求,arcsinxy =令,sinyx

3、=则, 0,0yx时当yyxxyxsinlimarcsinlim00=1=下页上页下页铃结束返回首页1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xx(x)0) 例例6 解解 首页.5tan3sinlimxxx求, tx=令, 0, tx时当53=)55tan()33sin(lim5tan3sinlim0ttxxtx=ttt5tan3sinlim0=535tan533sinlim0ttttt=上页下页铃结束返回首页二、准则二、准则 II 及第二个重要极限及第二个重要极限单调数列单调数列 如果数列xn满足条件x1x2x3 xnxn1 就称数列xn是单调增加的 如果数列x n满足条件x1x2x

4、3 xnxn1 就称数列xn是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 下页上页下页铃结束返回首页准则准则II 单调有界数列必有极限 前面曾证明 收敛的数列一定有界 但有界的数列不一定收敛 现在准则II表明 如果数列不仅有界 并且是单调的 那么这个数列一定是收敛的 说明说明下页上页下页铃结束返回首页 可以证明数列xn是单调有界的 根据准则II 数列xn必有极限 这个极限我们用e来表示 即 第二个重要极限第二个重要极限 e是个无理数 它的值是e=2 718281828459045 指数函数y=ex及对数函数y=ln x 中的底就是常数e 设nnnx)11 ( = ennn=)11 (li

5、m 我们还可以证明exxx=)11 (lim 下页上页下页铃结束返回首页第二个重要极限第二个重要极限应注意的问题应注意的问题exxx=)11 (lim 在极限)(1)(1limxx中 只要(x)是无穷小 就有 exx=)(1)(1lim 这是因为 令)(1xu= 则 u 于是 )(1)(1limxxeuuu=)11 (lim 下页上页下页铃结束返回首页 例例7 解解 原式原式)0.()1 (limkkxkxx为自然数，求ke=kkxxxk)1 (lim=下页exxx=)11 (lim exx=)(1)(1lim(x)0) kkxxxk)1(lim= 例例8 解解 原式原式.)13(lim1xxxx求4e=2441)141 (lim=xxx2441)141 (lim)141(lim=xxxxx上页下页铃结束返回首页 例例9 解解 原式原式.)1 (lim30 xxx求3= e)3(10)(1 lim=xxxexxx=)