D9-5 差分方程简介

1、差分方程 简 介 第五节一、一、 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 第九第九 章章 二、二、 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程三、三、 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程 在经济与管理及其它实际问题中，许多数据在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。都是以等间隔时间周期统计的。 例如，银行中的定期存款是按所设定的时间例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。年统计，产品的产量按月统计等等。 这些量是变量，通常称这类变量为这些量是变量

2、，通常称这类变量为离散型离散型变变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。方程是研究他们之间变化规律的有效方法。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义1 设函数设函数 y = f (x), 记为记为 yx, 则差则差yx+1 yx称为函数称为函数 yx 的的一阶差分一阶差分, 记为记为 yx, 即即 yx = yx+1 yx. ( yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 y

3、x) = yx+2 2 yx+1 + yx为为二阶差分二阶差分, 记为记为 2 yx, 即即 3yx = ( 2yx), 同样可定义三阶差分同样可定义三阶差分 3yx, 四阶差分四阶差分 4yx, 即即 4yx = ( 3yx) . 2 yx = ( yx) = yx+2 2 yx+1 + yx一、一、 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 二阶及二阶以上的差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例. 求求 (x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3).解解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3

4、x + 1, 2(x3) = (3x2 + 3x + 1)= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1)= 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)= 6, 4(x3) = (6) = 6 6 = 0.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例. 求求 (rx), 2(rx), 3(rx).解解 (rx) = r(x + 1) rx = rx (r 1), 2(rx) = (rx (r 1)= r(x + 1) (r 1) rx (r 1)= rx (r 1)2, 3(rx) =

5、( rx (r 1)2)= r(x + 1) (r 1) 2 rx (r 1) 2= rx (r 1)3.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解( )( )(1)nnxyxx(1)(1)(1)(2)xxnx xxn(1)nnx( )(1)(2)(1),nyxx xxxn 例例. 设设(0)( )1().nxxyx，求求即即(1) (1)(11)xx xxn (1)(2)(1)x xxnxn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 性质：性质： ()xxCyCy（2）（C为常数）为常数）()xxxxyzyz （3）（1）()0C（C为常数）为常数）机动

6、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义 含有未知函数差分或未知函数几个时期含有未知函数差分或未知函数几个时期值的值的方程就称为方程就称为差分方程差分方程.例如例如( ,)0.nxxxH x yyy或 差分方程中含有未知函数下标的最大值差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差称为与最小值之差称为差分方程的阶差分方程的阶. 11( ,)0( ,)0 xxx nxxx nF x yyyG x yyy或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义中要求定义中要求 yx, yx+1, , yx+n不少于两个不少于两个.例如例如, yx+2 + yx+

7、1 = 0为差分方程为差分方程, yx = x不是差分方程不是差分方程. 例例. 将差分方程将差分方程 2yx + 2 yx = 0表示成不含差分的形式表示成不含差分的形式.解解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,代入得代入得 yx+2 yx = 0. 由此可以看出由此可以看出, 差分方程的不同形式可以相差分方程的不同形式可以相互转化互转化.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1212xxxxxyyyyy 例例 下列等式是差分方程的有下列等式是差分方程的有( ).22112.2. 33.2.234xxxxxxxxxxxxAy

8、yxByyaCyyyyD yyy AD.， 是是差差分分方方程程1133()33xxxxxyyyyy ，B的的左左端端2xCy的的左左端端1()xxyy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 确定下列方程的阶确定下列方程的阶231(1)32xxxyx yy242(2)xxxyyy三阶三阶+2+1(3)+4+32xxxxyyy 22(4)+3xxyyx六阶六阶二阶二阶一阶一阶2212xxxxyyyy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义 如果一个函数代入差分后如果一个函数代入差分后, 方程两边方程两边恒等恒等, 则称此函数为该差分方程的解则

9、称此函数为该差分方程的解. 例例. 验证函数验证函数 yx = 2x + 1是差分方程是差分方程 yx+1 yx = 2的解的解.解解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,所以所以yx = 2x + 1是差分方程是差分方程 yx+1 yx = 2的解的解.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义 往往要根据系统在初始时刻所处的状态，往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件初始条件.满足初始条件的解

10、称之为满足初始条件的解称之为特解特解. 如果差分如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的分方程的阶数，则称它为差分方程的通解通解.1212例例如如，是是差差分分方方程程的的特特解解，xxyxyy 122是是差差分分方方程程的的通通解解，xxyxCyy 其中其中C为任意常数为任意常数. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二二 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( )0f x 当当时称为非齐次的，否则称为齐次时称为非

11、齐次的，否则称为齐次形如形如 1( )0,（是是xxyayf xaa 的方程称为一阶常系数线性差分方程的方程称为一阶常系数线性差分方程. 常数）常数）(1)10 xxyay 的的, 即即(1)的对应齐次方程为的对应齐次方程为(2)（一）定义（一）定义 1.迭迭代代法法10(0)xxyaya 101y若已知，由方程（）依次可得，10yay2210yaya y3320yaya y0yC令令，10 xxxyaya y.xxyCa于于是是（二）一阶常系数齐次线性差分方程（二）一阶常系数齐次线性差分方程的求解的求解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 不妨设方程有形如下式的特解不妨

12、设方程有形如下式的特解 (0)xxyrr 将其代入方程将其代入方程()0，xrra由于由于 ，因此，因此 0r ra 再由差分的性质，方程的通解再由差分的性质，方程的通解 求一阶常系数齐次线性差分方程的通解：求一阶常系数齐次线性差分方程的通解：1.先写出其特征方程，先写出其特征方程，2.求出特征根，求出特征根，3.写出其通解写出其通解.xxyCa （C为任意常数）为任意常数）xxya 所以所以 是方程的一个解是方程的一个解.0ra 为为特征方程特征方程为为特征根特征根 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.特特征征值值法法10(0)xxyaya120ttyy 210

13、,r 1.2r 例例 求求 的通解的通解. .从而特征根为从而特征根为于是原方程的于是原方程的通解通解为为解解 特征方程为特征方程为1()2ttyC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求差分方程求差分方程 yx+1 3yx=0 的通解和的通解和 y0=5 的特解的特解 例例解：解：特征方程为特征方程为30r 特征根为特征根为3r 差分方程的差分方程的通解通解为为3xxyC将将 y0=5 代入通解得：代入通解得：053C即即5C 故所求故所求特解特解为：为：5 3xxy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( (三）一阶常系数非齐次线性差分方程的求

14、解三）一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 1( )( )0 xxyayf xf x （）若若( )( )(0,( )xmmf xxPxP *,( ),( )xmxxmaQxyaxQx 不是特征根)是特征根) 是是m次多项式次多项式 . .( )mQx一阶差分方程的通解结构理论如下一阶差分方程的通解结构理论如下: : 非齐次差分方程通解非齐次差分方程通解 = = 对应齐次方程的对应齐次方程的通解通解 + + 非齐次差分方程的一个特解非齐次差分方程的一个特解是是m次多项式次多项式) )则特解则特解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解.

15、 .132ttyy 解解由于由于31,a 故可设其特解为故可设其特解为：*,tyk代入方程，解得代入方程，解得：1,k 故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：*31.tttyYyC3 ,tYC 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为 特征方程为特征方程为30r 特征根为特征根为3r 例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解. 12xxxyy 解：解： 对应齐次差分方程特征方程为对应齐次差分方程特征方程为 10r 特征根为特征根为1r 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为 ( 1)xYC( )2( )xxmf x

16、Px 而而 2 不是特征根。因此设特解形式为不是特征根。因此设特解形式为 *2xxyB 将其代入已知方程，有将其代入已知方程，有 1222xxxBB解得解得 13B 所以所以 *23xxy所求差分方程的通解为所求差分方程的通解为 *2( 1)3xxxxyYyC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 YC*01()xyx BB x132xxyyx例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .1r 特征根为特征根为齐次差分方程的通解为齐次差分方程的通解为( )32( )xmf xxPx 由于由于1 1是特征根，是特征根，10r 对应齐次差分方程的特征方程为对应齐次差分方程的特征

17、方程为解解非齐次差分方程的特解为非齐次差分方程的特解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 *01()xyx BB x011232BBB xx0121BB，将其代入已知差分方程得将其代入已知差分方程得比较两端关于比较两端关于x的同次幂的系数，可解得的同次幂的系数，可解得*22xyxx于是，所求通解为于是，所求通解为22xyCxx故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11(1)33xxxyyx 例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .13 (1)xxxyyx(1)(1)113xxyy(2)(2)解解10r 对应齐次差分方程特征方程为对应齐次差

18、分方程特征方程为1r 特征根为特征根为YC齐次差分方程的通解为齐次差分方程的通解为 由叠加原理知方程的特解由下面两个方由叠加原理知方程的特解由下面两个方程的特解相加得到程的特解相加得到 *2yBx对方程（对方程（2 2）*1013 ()xyBB x 对方程（对方程（1 1）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 01111,423BBB 将其代入方程解得将其代入方程解得所求通解为所求通解为1113 ()243xxyCxx原方程的特解为原方程的特解为*12013 ()xxyyyBB xBx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、二阶常系数线性差分方程三

19、、二阶常系数线性差分方程 形如形如 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x). (1)(其中其中 a , b 0, 且均为且均为常数常数)的方程的方程, 称为称为二阶常二阶常系数线性差分方程系数线性差分方程.称为称为齐次齐次差分方程差分方程; 当当 f (x) 0时时, 称为称为非齐次非齐次差分方程差分方程.当当 f (x) = 0 时时, 即即 yx+2 + ayx+1 + byx = 0 (2) 类似于二阶线性常微分方程类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分二阶线性差分方程与其有相同的解的结构方程与其有相同的解的结构. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

20、束 当当 r 为常数时为常数时, yx = rx 和它的各阶差分有倍和它的各阶差分有倍数关系数关系, 所以可设所以可设 yx = rx 为方程为方程 (2) 的解的解. 代入方程代入方程(2)(2)得得 rx+2 + arx+1 + brx = 0,此方程称为特征方程此方程称为特征方程. .r2 + ar + b = 0即即 yx+2 + ayx+1 + byx = 0 (2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （二）二阶常系数齐次差分方程（二）二阶常系数齐次差分方程的求解的求解特征方程的解特征方程的解两个不相等的实根两个不相等的实根r1,r2一对共轭复根一对共轭复根

21、r1,2= i两个相等实根两个相等实根 r1 = r2 yx+2 + ayx+1 + byx = 0的通解的通解由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：1 12 2xxxyC rC r121()xxyCC x r1222(cossin),tan/xxyCxCx rr 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 求差分方程求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通的通解解. 解解 特征方程为特征方程为 方程的根为方程的根为 r1 = 1, r2 = 6. r2 7r + 6 = 0.原方程的通解为原方程的通解为 yx =

22、 C1 + C2 6x.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 求差分方程求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0满足条件满足条件y0=0, y1=1的特的特解解. 解解 特征方程为特征方程为 方程的根为方程的根为 r2 4r + 16 = 0.原方程的通解为原方程的通解为1,222 3 ,ri224,arctan.3r 12cossin4 .33xxyCxCx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 代入初始条件代入初始条件 y0=0, y1=1得得012112cos0sin0 40,cossin41,33CCCC解出解出1210,2

23、 3CC故所求特解为故所求特解为14sin.32 3xxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( (三）二阶常系数非齐次线性差分方程的求解三）二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 若若( )( )(0,( )xmmf xxPxP *2( )( )( )xmxxmxmQxyxQxxQx ， 不是特征根， 是一特征根， 是二重特征根 是是m 次多项式次多项式 . .( )mQx 非齐次差分方程通解非齐次差分方程通解 = = 对应齐次方程的对应齐次方程的通解通解 + + 非齐次差分方程的一个特解非齐次差分方程的一个特解是是m次多项式次多项式) )则特解则特解机动机动 目录目

24、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x) 例例 求差分方程求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通的通解解. 解解 对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为方程的根为 r1 = 2, r2 = 1, r2 + r 2 = 0.齐次方程的通解为齐次方程的通解为12( 2) .xYCC 因为因为 f(x)=12x*01(),xyx BB x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( )xmPx 知，知，1是特征单根，所以，特解可设为是特征单根，所以，特解可设为代入原方程代入原方程, 得得整理整理, 得得 B0+B1(x+2)(x+2)+B0+B1(x+1)(x+1) (B0+B1x)x =12x.比较系数比较系数, 得得 6B1 = 12,3B0 + 5B1 = 0,解出解出故所求通解为故所求通解为21210( 2)2.3xxyCCxx 6B1x