D8_6极值与最值

1、 第八章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值问题二、最值问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某去心邻域内有xyzxyz机动 目录

2、 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A

3、0 时取极小值.2) 当若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 ACB机动 目录 上页 下页 返回 结束 02 ACB时, 没有极值.3) 当02 ACB时, 不能确定 , 需另行讨论.证明见 第六节(P112) . 例例1(1(类似书例类似书例2).2).求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632

4、 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12A,0B,6C,06122 ACB5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy在点(1, 2) 处6,0,12CBAABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0)6(122 ACB)2, 1 (f不是极值;在点(3, 0) 处,12A,0B,6C,06)12(2 ACB)0,3( f不是极值;在点(3, 2) 处6,0,12CBA,0)6(

5、)12(2 ACB,0A31)2,3( f为极大值.例例2. 讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z|(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 ACB33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在有界闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可能点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最小(

6、大大)值存在, 且只有一个只有一个驻点P 时, )(Pf为极小 值, 且)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点 某厂要用铁板做一体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2xy2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)2(22xyAx0)2(22yxAy因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机

7、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin

8、2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元

9、函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy0yxyxffyyf有,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则, 0 xxf0yyf引入辅助函数辅助函数F (x, y) 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0),(yx利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(),(yxyxfyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件

10、的情形. 设解方程组可得到条件极值的可能极值点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(),(21zyxzyxzyxfzyxF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF0),(zyx0),(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 (书例书例6). 要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyx0Vzyx试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 0Vz

11、yxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为,340Vxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等 .例例6 (习题8 ).22yxz求旋转抛物面与平面之间的最

12、短距离.解：解：2261zyxd设为抛物面上任一点， 则 P ),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故机动 目录 上页 下页 返回 结束 沿着A( 1, 1, 1) 到 B( 2, 0

13、 , 1) 方向的方向导数具有在最大值.上求一点, 使得,2yyf例例7. 在球面21222zyx解解:),0, 1, 1 ( ABl2|l,2xxfzzf2)0, 1, 1 ()2 ,2 ,2(21zyxlu)(2yxlu).(2yx再求在21222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 下的最大值)21()(2),(222zyxyxzyxF令222),(zyxzyxf)21()(2),(222zyxyxzyxF. 0,21,21zyx令21222zyx解此方程组, 得022yFy02zFz022xFx驻点为),0,21,21().0,21,21(机动 目录 上页 下页 返回 结束 由所求

14、问题知, 最大方向导数存在.)0,21,21(maxlulu. 2内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值

15、问题函数的最值问题在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0),(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P121 1(3), 3, 5, 8习题课 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yx机动 目录 上页 下页 返回 结

16、束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题例例4.4.在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解解: 设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即zczybyxax2

17、020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxFFFn 问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题 .设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由

18、实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点题题 (习题习题5 ). 在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面, 使与三坐标面围成的四面体体积最小, 求此体积.提示提示: 设切点为, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出. ),(000zyx则切平面为所指四面体围体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函数 例4 目录 上页 下页 返回 结束 (见例见例4)备用题备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS ,sin