数列求和的基本方法和技巧备课讲稿

1、第一页，共69页。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了(ch le)等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面谈谈数列求和的基本方法和技巧. 第二页，共69页。一一.公式公式(gngsh)法：法：等差数列等差数列(dn ch sh li)(dn ch sh li)的前的前n n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnadNoImage111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qa

2、qqqq123n NoImage2222123n3333123n1(1)(21)6n nn2(1)2n n1(1)2n n第三页，共69页。例1：求和(qi h)：1. 468+2n+2 （）2311112 12 222n .第四页，共69页。 例例1 已知 ， 求 的前n项和3log1log23x nxxxx32 由等比数列(dn b sh li)求和公式得nnnnnxxxxxxxS211211)211 (211)1 (32 第五页，共69页。错位(cu wi)相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积(chngj)组成，此时求和可采用错位相减法.既anbn型等差等比

3、第六页，共69页。2错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列(dn b sh li)的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.【错位(cu wi)相减法】设 an的前n项和为Sn，ann2n，则Sn第七页，共69页。例例4 求数列求数列(shli) 前前n项的和项的和 ,22,26,24,2232nn解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积nn22n21设 nnnS2226242232 14322226242221 nnnS （设制错位）1432222222222222)211 ( nnnnS1122212nnn得1224nnnS第八页

4、，共69页。2022-5-169已知数列(shli).,)109() 1(nnnnSnana项和的前求第九页，共69页。2022-5-1610解：第一步，写出该数列(shli)求和的展开等式nnnnnS1091109.109410931092132第二步，上式左右两边(lingbin)乘以等比数列公比109nS10914321091109.109410931092nnnn第十页，共69页。2022-5-1611第三步，两式进行(jnxng)错位相减得：1321091109.1091091092101nnnnS化简整理(zhngl)得:1109111099nnnS第十一页，共69页。 解：由题可

5、知， 的通项是等差数列(dn ch sh li)2n1的通项与等比数列 的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例例3 求和求和(qi h) ： 132) 12(7531 nnxnxxxS1) 12(nxn1nxnnxnxxxxxS) 12(7531432 nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1 (1432 nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (121)1 ()1 () 12() 12(xxxnxnSnnn第十二页，共69页。 2. 设数列 满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn ，求数列 的前n项和S

6、n.变式探究(tnji)第十三页，共69页。 2设数列(shli) 满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列(shli) 的通项；(2)设bn ，求数列(shli) 的前n项和Sn.解析(ji x)：(1)a13a232a33n1an ，第十四页，共69页。(2) bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减，得2Sn332333nn3n1，第十五页，共69页。第十六页，共69页。第十七页，共69页。(12分)(2010四川高考)已知等差数列(shli)an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列(shli)an的通项公式；(2

7、)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列(shli)bn的前n项和Sn.第十八页，共69页。第十九页，共69页。3(2012“江南(Jingnn)十校”联考)在等比数列an中，a10， nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式；第二十页，共69页。解：(1)设数列an的公比(n b)为q，由题意可得a316，a3a28，则a28，q2.an2n1.第二十一页，共69页。第二十二页，共69页。2022-5-1623项和。前求数列nnann.234 1、2、已知数列(shli) 0() 12 ( ,5 ,3 , 112aanaan求该数列(shli)的

8、前n项和。第二十三页，共69页。四、分组法求和四、分组法求和(qi h) 有一类数列，既不是等差数列，也不是等有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别几个等差、等比或常见的数列，然后分别(fnbi)求和，再将其合并即可求和，再将其合并即可.第二十四页，共69页。 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列(dn b sh li)。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差n 一个等比2n ，另外要特别观察(gunch)通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这

9、样才能找规律解题.分组求和(qi h)法第二十五页，共69页。 , + n 11.求数列(shli) + 2 3 , + 的前n项和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分组求和(qi h)法第二十六页，共69页。例5.求下面数列的前n项和 111112,4,6,248162nn第二十七页，共69页。解（1）：该数列(shli)的通项公式为 1122nnanNoIm

10、age11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111( 22)421212nnn111(1 )22nnn第二十八页，共69页。例7 求数列的前n项和：231, 71, 41, 1112 naaan， 解：设)231()71()41() 11 (12 naaaSnn将其每一项拆开(chi ki)再重新组合得)23741 ()1111 (12 naaaSnn（分组） 2) 13(nnnSn2) 13(nn 当a1时，（分组求和） 1a2) 13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan当时，第二十九页，共69页。n个第三十页，共69页。例8 求数列(s

11、hli)n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 kkkkkkak2332) 12)(1(nknkkkS1) 12)(1()32(231kkknk 将其每一项拆开(chi ki)再重新组合得 Snkkknknknk1213132（分组） )21 ()21 (3)21 (2222333nnn 2)2() 1(2) 1(2) 12)(1(2) 1(222nnnnnnnnnn第三十一页，共69页。2求数列(shli)1,34,567,78910，前n项和Sn.2ak(2k1)2k(2k1)(2k1)(k1)Sna1a2an点评：运用分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考虑通项公式解析第三十二页，

12、共69页。例6：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？局部(jb)重组转化为常见数列并项求和(qi h)第三十三页，共69页。练习(linx)：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=-21第三十四页，共69页。五.相间(xingjin)两项成等差等比综合第三十五页，共69页。第三十六页，共69页。an是等差数列(dn ch sh li)，an=1+(n-1)=n1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,mN*), 则a

13、n=_解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=1n2. 若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_解：n=m=1时，b2=b1b1=4 , 即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn b1=2bn，故bn是首项为b1=2 ，公比(n b)为q=2的等比数列，bn=22n-1=2n 2n 练习(linx)第三十七页，共69页。列项求和(qi h)法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若

14、干少数项之和，这一求和方法(fngf)称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法(fngf)联想） 第三十八页，共69页。1(1)1111 22 3(1)n nn nn例 1： 求 数 列的 前 n项 和S13,2nnaadS12n变式：等差数列中，111为前n项和，求SSS求数列(shli)前n项和方法之一：裂项相消法第三十九页，共69页。1特别是对于 ，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 (其中dan1an)第四十页，共69页。常见常见(chn jin)的拆项公式有：的拆项公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)

15、12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn)(11. 4bababa第四十一页，共69页。常见常见(chn jin)的裂项公式有：的裂项公式有：16.11nnnn221117.121212 2121nnnnn 第四十二页，共69页。练习(linx)：求和裂项法求和(qi h)13)1311 (31)131231()7141()411(31) 13)(23(1741411nnnnnnn) 13)(23(1nn31)131231(nn提示(tsh)：) 13)(23(11071741411nn第四十三页，共69页。.11321211:3的值的值求求练习

16、练习 nnSn11 nnan解：设解：设nn 11111321211 nnnnSn)1()1()23()12(nnnn 11 n第四十四页，共69页。11211 nnnnan12nnnaab例9 在数列an中，又求数列bn的前n项的和 解： 211211nnnnnan )111(82122nnnnbn（裂项） 数列bn的前n项和 )111()4131()3121()211(8 nnSn)111 (8n18nn 第四十五页，共69页。第四十六页，共69页。第四十七页，共69页。第四十八页，共69页。七、利用七、利用(lyng)数列的通项数列的通项求和求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出先根

17、据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一项和，是一个个(y )重要的方法重要的方法.第四十九页，共69页。例7：已知数列(shli)5，55，555，5555，求满足前4项条件的数列(shli)的通项公式及前n项和公式。练习(linx)：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+ +(1+2+22+2n-1) 通项分析(fnx)求和通项=2n-1第五十页，共69页。练 习 求 和：1 11 11 11 1+ + + +. . . . . .

18、+ +1 1 1 1+ +2 2 1 1+ +2 2+ +3 31 1+ +2 2+ +3 3+ +4 4+ +. . . . . + +n n先求通项再处理(chl)通项第五十一页，共69页。1123nan解：2(1)n n112()1nn111112(1)()()2231nSnn12(1)1n21nn第五十二页，共69页。1222128.:1.1234( 1)2,1357.( 1)(21)nnnSnSn 例 求和第五十三页，共69页。例14 求11111111111个n 之和.解：由于(yuy) 110(91999991111111 kkk 个个（找通项及特征(tzhng)） 11111111111个n ) 110(91) 110(91) 110(91) 110(91321 n) 1111 (91)10101010(911321 个nn )91010(8119110) 1