




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、会计学1五节隐函数求导公式五节隐函数求导公式第一页,编辑于星期三:十七点 十八分。一、隐函数存在定理简介隐函数:由方程所确定的函数.隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数,且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件 ,并有 ),(00yxP, 0),(00yxF)(00 xfy , 0),(00yxFy0),(yxF),(00yx)( 1 ddyxFFxy 1.一个方程的情形第1页/共31页第二页,编辑于星期三:十七点 十八分。例 验证方程在点能确定一个有连续导数、当0122 yx)1 , 0(0 x1 y时的隐
2、函数. )(xfy 解设 ),(yxF122 yx则 xFx2 yFy2 )1 , 0(F0 )1 , 0(yF20 由定理1得:方程在点的某邻域内能确定一个有连续导数、当0122 yx)1 , 0(0 x1 y时的隐函数. )(xfy 的某邻域内第2页/共31页第三页,编辑于星期三:十七点 十八分。隐函数存在定理2 设函数的某一邻域内具有连续偏导数,且 ,则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),它满足条件 并有),(),(000zyxPzyxF在点0),(000zyxFz, 0),(000zyxF),(000zyx),(000
3、yxfz zxFFxz zyFFyz(2)第3页/共31页第四页,编辑于星期三:十七点 十八分。2、方程组的情形vuvuGGFFvuGFJ),(),(隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式:),(0000vuyxP, 0),(0000vuyxF, 0),(0000vuyxG在点 不等于零,),(0000vuyxP则第4页/共31页第五页,编辑于星期三:十七点 十八分。0),(0),(vuyxGvuyxF),(0000vuyx在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具
4、有连续偏导数的函数 u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件),(000yxuu ),(000yxvv 并有vvuuvvxxGFGFGFGFvxGFJxu ),(),(1方程组第5页/共31页第六页,编辑于星期三:十七点 十八分。vvuuxxuuGFGFGFGFxuGFJxv ),(),(1vvuuvvyyGFGFGFGFvyGFJyu ),(),(1vvuuyyuuGFGFGFGFyuGFJyv ),(),(1(3)第6页/共31页第七页,编辑于星期三:十七点 十八分。下面,总假设隐函数存在且可导,在此前提下来讨论求隐函数的导数或偏导数的方法。1、一个方程的情形(1)0),( yxF
5、设该方程确定了函数:)(xyy 即0)(, xyxF等式两端同时对 x 求导, 得xF1 +yFdxdy =0解解得得的的条条件件下下在在,0 yF dxdyyxFF 二、隐函数的求导法第7页/共31页第八页,编辑于星期三:十七点 十八分。(2)0),( zyxF设该方程确定了函数:),(yxzz 即0),(, yxzyxF等式两端同时对 x 求偏导, 得xF 1 +yF0 =0解得的条件下在,0zF xzzxFF zFxz +等式两端同时对 y 求偏导, 得xF0 +yF1 =0解得的条件下在,0zF yzzyFF zFyz +第8页/共31页第九页,编辑于星期三:十七点 十八分。(3)0)
6、,( uzyxF设该方程确定了函数:),(zyxuu 即0),(, zyxuzyxF等式两端同时对 x 求偏导, 得xF 1 +yF0 =0解得解得的条件下的条件下在在,0 uF xuuxFF zF0 +类似可得uFxu + yuuyFF zuuzFF 第9页/共31页第十页,编辑于星期三:十七点 十八分。 xF xydd23),( xyeyxFxy 设设解 yF23yyexy xyxexy6 xyxeyyexyxy632 yxFF =dxdyxyyxyexy求求确定了函数确定了函数由方程由方程设设例例),( 3 1 2 =xyxeyeyxyxy632 第10页/共31页第十一页,编辑于星期三
7、:十七点 十八分。例2 22)2( ,)1( ),(0 xzyzxzyxzzxyzez 求求确定了函数确定了函数由方程由方程设设解 (1)设xyzezyxFz ),( xF, yz yF, xz zFxyez xzzxFF =xyeyzz =xyeyzz yzzyFF =xyexzz =xyexzz 第11页/共31页第十二页,编辑于星期三:十七点 十八分。(2))(xzx )(xyeyzz 22xz =x=2)( xyez xzy )(xyez yzxzez ()y =2)( xyez yxyeyzz )(xyez yz ze(xyeyzz )y 第12页/共31页第十三页,编辑于星期三:十
8、七点 十八分。=32232)(22xyeezyzxyzeyzzz 注意., ,不能看作常数的函数看作仍要将的偏导数时对求yxzxxz第13页/共31页第十四页,编辑于星期三:十七点 十八分。2.方程组的情形0),(0),( ) 1 (zyxGzyxF设该方程组确定了)( )( xzzxyy方程组两端同时对 x 求导,得1 xF+dxdyFy +dxdzFz01 xG+dxdyGy +dxdzGz 0 即xF +dxdyFy dxdzFz xG +dxdyGy dxdzGz 第14页/共31页第十五页,编辑于星期三:十七点 十八分。解得解得的条件下的条件下在在,0 zyzyGGFF dxdyzy
9、zyzxzxGGFFGGFF dxdzzyzyxyxyGGFFGGFF zyzyzxzxGGFFGGFF =zyzyxyxyGGFFGGFF 第15页/共31页第十六页,编辑于星期三:十七点 十八分。 0),(0),( )2(vuyxGvuyxF设该方程组确定了:),( yxuu 方程组两端同时对 x 求偏导,得1 xF+xuFu +xvFv 0 1 xG+xuGu +xvGv 0 即xF +xuFu xvFv xG +xuGu xvGv +0 yF+0 yG),( yxvv 第16页/共31页第十七页,编辑于星期三:十七点 十八分。解得的条件下在,0 vuvuGGFF xuvuvuvxvxG
10、GFFGGFF xvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvxvxGGFFGGFF =vuvuxuxuGGFFGGFF 第17页/共31页第十八页,编辑于星期三:十七点 十八分。同理,方程组两边同时对 y 求偏导,可得0 xF+yuFu +yvFv 0 0 xG+yuGu +yvGv 0即yF +yuFu yvFv yG +yuGu yvGv +1 yF+1 yG第18页/共31页第十九页,编辑于星期三:十七点 十八分。解得解得的条件下的条件下在在,0 vuvuGGFF yuvuvuvyvyGGFFGGFF yvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvyvyGGFFGGFF =vuvu
11、yuyuGGFFGGFF 第19页/共31页第二十页,编辑于星期三:十七点 十八分。例3 dxdzdxdyzzyxzzyx, 00322,求,求设设 解),(),( xzzxyy 设设求求导导,得得方方程程组组两两端端同同时时对对 x1+dxdy+dxdz+z2dxdz=01+dxdy+dxdz+y2dxdz=023z 即 dxdy+dxdzz)21( =1 dxdyy2+dxdzz )31(2 =1 第20页/共31页第二十一页,编辑于星期三:十七点 十八分。dxdy的条件下,的条件下,在在031 221 12 zyz解得= 31 221 1 31 121 1 22zyzzz = 4231
12、32 22yzyzzz dxdz= 31 221 1 1 21 1 2zyzy = 4231 21 2yzyzy 第21页/共31页第二十二页,编辑于星期三:十七点 十八分。例4 xvxuvuxyuvyx , 002222,求,求设设解).,(),( yxvvyxuu 设设求求偏偏导导,得得方方程程组组两两端端同同时时对对 xx2+ (xu v=0yxu +u2xv =0v2 即 xuv +xvu =x2xuu 2+xvv 2=y 0uxv +) 第22页/共31页第二十三页,编辑于星期三:十七点 十八分。xu 的条件下,的条件下,在在02 2 vuuv解得= 2 2 2 2 vuuvvyux
13、 = 22 4 22uvuyxv xv = 2 2 2 2 vuuvyuxv = 22 4 22uvxuvy 第23页/共31页第二十四页,编辑于星期三:十七点 十八分。? ,),( ),(),(),(yzxzyxzzvuzvuyvux 怎样求怎样求确定了函数确定了函数若若 方法:由 ),(),( vuyvux 可确定 ),(),(yxvvyxuu (*)式两边同时对 x 求偏导,可求得xvxu , (*)式两边同时对 y 求偏导,可求得yvyu , (*),(vuz 又 ),(),(yxvvyxuu xzxvvxuu yzyvvyuu =,例5第24页/共31页第二十五页,编辑于星期三:十七
14、点 十八分。在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 u=u (x , y ),v=v (x ,y);例6 设函数x=x (u, v), y=y (u, v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数,又0),(),( vuyx)(# ),(),( )1( vuyyvuxx证明方程组证明方程组(2)求反函数u=u (x ,y) ,v=v( x, y)对x , y的偏导数.第25页/共31页第二十六页,编辑于星期三:十七点 十八分。可改写为方程组)(#由隐函数存在定理3,得 ),(),(vuGFJ0),( vuxx(1)证vuyxG ),( ),(vuyxFvuyy0),( 在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u (x , y ),v=v (x ,y) .vuvuGGFF vyuyvxux vyuyvxux ),(),(vuyx 0 它们是 x = x (u, v), y = y (u, v) 的反函数。第26页/共31页第二十七页,编辑于星期三:十七点 十八分。设方程组(#):(2) 解等式两边同时对 x 求偏导,得 0)(00)(1 xvvyxuuyxvvxxuux确定了函数 u=u(x,y),v=v(x,y)0),( vuxxvuyy0),( 即 01
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 能效监测与智能电网的技术集成应用
- 公交优先战略2025年城市交通拥堵治理的公共交通车辆更新报告
- 广西河池市2024年九上化学期末达标检测试题含解析
- 江苏省连云港灌云县联考2025届化学九年级第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析
- 外交学院《书法艺术概论》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 湖南省怀化市中学方县2024年数学七年级第一学期期末检测模拟试题含解析
- 新能源领域的科技创新及推广应用分析报告
- 广东机电职业技术学院《岩石力学基础》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 广东体育职业技术学院《数字消费行为学》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 鹤壁汽车工程职业学院《高分子材料科技外语》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 2025年 江苏苏州昆山国创投资集团有限公司第一期招聘考试试卷附答案
- 2025年湖北省中考英语试题(附答案)
- GA 1809-2022城市供水系统反恐怖防范要求
- 医疗技术分级授权与再授权申请表
- 项目管理九大过程英汉对照表
- 拖欠工资起诉状模版
- 医疗技术临床应用管理信息系统操作手册
- 北师大版小学数学四年级下册《优化》同步练习附答案
- 商业银行风险预警系统整体架构设计
- UPVC双壁波纹管
- 型直线振动筛使用说明书中文
评论
0/150
提交评论