五节隐函数求导公式学习教案

1、会计学1五节隐函数求导公式五节隐函数求导公式第一页，编辑于星期三：十七点 十八分。一、隐函数存在定理简介隐函数：由方程所确定的函数.隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 ，并有 ),(00yxP, 0),(00yxF)(00 xfy , 0),(00yxFy0),(yxF),(00yx）（ 1 ddyxFFxy 1.一个方程的情形第1页/共31页第二页，编辑于星期三：十七点 十八分。例 验证方程在点能确定一个有连续导数、当0122 yx)1 , 0(0 x1 y时的隐

2、函数. )(xfy 解设 ),(yxF122 yx则 xFx2 yFy2 )1 , 0(F0 )1 , 0(yF20 由定理1得：方程在点的某邻域内能确定一个有连续导数、当0122 yx)1 , 0(0 x1 y时的隐函数. )(xfy 的某邻域内第2页/共31页第三页，编辑于星期三：十七点 十八分。隐函数存在定理2 设函数的某一邻域内具有连续偏导数，且 ，则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 并有),(),(000zyxPzyxF在点0),(000zyxFz, 0),(000zyxF),(000zyx),(000

3、yxfz zxFFxz zyFFyz(2)第3页/共31页第四页，编辑于星期三：十七点 十八分。2、方程组的情形vuvuGGFFvuGFJ),(),(隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式：),(0000vuyxP, 0),(0000vuyxF, 0),(0000vuyxG在点 不等于零，),(0000vuyxP则第4页/共31页第五页，编辑于星期三：十七点 十八分。0),(0),(vuyxGvuyxF),(0000vuyx在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具

4、有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件),(000yxuu ),(000yxvv 并有vvuuvvxxGFGFGFGFvxGFJxu ),(),(1方程组第5页/共31页第六页，编辑于星期三：十七点 十八分。vvuuxxuuGFGFGFGFxuGFJxv ),(),(1vvuuvvyyGFGFGFGFvyGFJyu ),(),(1vvuuyyuuGFGFGFGFyuGFJyv ),(),(1(3)第6页/共31页第七页，编辑于星期三：十七点 十八分。下面，总假设隐函数存在且可导，在此前提下来讨论求隐函数的导数或偏导数的方法。1、一个方程的情形(1)0),( yxF

5、设该方程确定了函数:)(xyy 即0)(, xyxF等式两端同时对 x 求导, 得xF1 +yFdxdy =0解解得得的的条条件件下下在在,0 yF dxdyyxFF 二、隐函数的求导法第7页/共31页第八页，编辑于星期三：十七点 十八分。(2)0),( zyxF设该方程确定了函数:),(yxzz 即0),(, yxzyxF等式两端同时对 x 求偏导, 得xF 1 +yF0 =0解得的条件下在,0zF xzzxFF zFxz +等式两端同时对 y 求偏导, 得xF0 +yF1 =0解得的条件下在,0zF yzzyFF zFyz +第8页/共31页第九页，编辑于星期三：十七点 十八分。(3)0)

6、,( uzyxF设该方程确定了函数:),(zyxuu 即0),(, zyxuzyxF等式两端同时对 x 求偏导, 得xF 1 +yF0 =0解得解得的条件下的条件下在在,0 uF xuuxFF zF0 +类似可得uFxu + yuuyFF zuuzFF 第9页/共31页第十页，编辑于星期三：十七点 十八分。 xF xydd23),( xyeyxFxy 设设解 yF23yyexy xyxexy6 xyxeyyexyxy632 yxFF =dxdyxyyxyexy求求确定了函数确定了函数由方程由方程设设例例),( 3 1 2 =xyxeyeyxyxy632 第10页/共31页第十一页，编辑于星期三

7、：十七点 十八分。例2 22)2( ,)1( ),(0 xzyzxzyxzzxyzez 求求确定了函数确定了函数由方程由方程设设解 （1）设xyzezyxFz ),( xF, yz yF, xz zFxyez xzzxFF =xyeyzz =xyeyzz yzzyFF =xyexzz =xyexzz 第11页/共31页第十二页，编辑于星期三：十七点 十八分。（2）)(xzx )(xyeyzz 22xz =x=2)( xyez xzy )(xyez yzxzez ()y =2)( xyez yxyeyzz )(xyez yz ze(xyeyzz )y 第12页/共31页第十三页，编辑于星期三：十

8、七点 十八分。=32232)(22xyeezyzxyzeyzzz 注意., ,不能看作常数的函数看作仍要将的偏导数时对求yxzxxz第13页/共31页第十四页，编辑于星期三：十七点 十八分。2.方程组的情形0),(0),( ) 1 (zyxGzyxF设该方程组确定了)( )( xzzxyy方程组两端同时对 x 求导，得1 xF+dxdyFy +dxdzFz01 xG+dxdyGy +dxdzGz 0 即xF +dxdyFy dxdzFz xG +dxdyGy dxdzGz 第14页/共31页第十五页，编辑于星期三：十七点 十八分。解得解得的条件下的条件下在在,0 zyzyGGFF dxdyzy

9、zyzxzxGGFFGGFF dxdzzyzyxyxyGGFFGGFF zyzyzxzxGGFFGGFF =zyzyxyxyGGFFGGFF 第15页/共31页第十六页，编辑于星期三：十七点 十八分。 0),(0),( )2(vuyxGvuyxF设该方程组确定了:),( yxuu 方程组两端同时对 x 求偏导，得1 xF+xuFu +xvFv 0 1 xG+xuGu +xvGv 0 即xF +xuFu xvFv xG +xuGu xvGv +0 yF+0 yG),( yxvv 第16页/共31页第十七页，编辑于星期三：十七点 十八分。解得的条件下在,0 vuvuGGFF xuvuvuvxvxG

10、GFFGGFF xvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvxvxGGFFGGFF =vuvuxuxuGGFFGGFF 第17页/共31页第十八页，编辑于星期三：十七点 十八分。同理,方程组两边同时对 y 求偏导,可得0 xF+yuFu +yvFv 0 0 xG+yuGu +yvGv 0即yF +yuFu yvFv yG +yuGu yvGv +1 yF+1 yG第18页/共31页第十九页，编辑于星期三：十七点 十八分。解得解得的条件下的条件下在在,0 vuvuGGFF yuvuvuvyvyGGFFGGFF yvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvyvyGGFFGGFF =vuvu

11、yuyuGGFFGGFF 第19页/共31页第二十页，编辑于星期三：十七点 十八分。例3 dxdzdxdyzzyxzzyx, 00322，求，求设设 解),(),( xzzxyy 设设求求导导，得得方方程程组组两两端端同同时时对对 x1+dxdy+dxdz+z2dxdz=01+dxdy+dxdz+y2dxdz=023z 即 dxdy+dxdzz)21( =1 dxdyy2+dxdzz )31(2 =1 第20页/共31页第二十一页，编辑于星期三：十七点 十八分。dxdy的条件下，的条件下，在在031 221 12 zyz解得= 31 221 1 31 121 1 22zyzzz = 4231

12、32 22yzyzzz dxdz= 31 221 1 1 21 1 2zyzy = 4231 21 2yzyzy 第21页/共31页第二十二页，编辑于星期三：十七点 十八分。例4 xvxuvuxyuvyx , 002222，求，求设设解).,(),( yxvvyxuu 设设求求偏偏导导，得得方方程程组组两两端端同同时时对对 xx2+ (xu v=0yxu +u2xv =0v2 即 xuv +xvu =x2xuu 2+xvv 2=y 0uxv +) 第22页/共31页第二十三页，编辑于星期三：十七点 十八分。xu 的条件下，的条件下，在在02 2 vuuv解得= 2 2 2 2 vuuvvyux

13、 = 22 4 22uvuyxv xv = 2 2 2 2 vuuvyuxv = 22 4 22uvxuvy 第23页/共31页第二十四页，编辑于星期三：十七点 十八分。? ,),( ),(),(),(yzxzyxzzvuzvuyvux 怎样求怎样求确定了函数确定了函数若若 方法：由 ),(),( vuyvux 可确定 ),(),(yxvvyxuu (*)式两边同时对 x 求偏导，可求得xvxu , (*)式两边同时对 y 求偏导，可求得yvyu , (*),(vuz 又 ),(),(yxvvyxuu xzxvvxuu yzyvvyuu =，例5第24页/共31页第二十五页，编辑于星期三：十七

14、点 十八分。在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y)；例6 设函数x=x (u, v), y=y (u, v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数，又0),(),( vuyx)(# ),(),( )1( vuyyvuxx证明方程组证明方程组(2)求反函数u=u (x ,y) ，v=v( x, y)对x , y的偏导数.第25页/共31页第二十六页，编辑于星期三：十七点 十八分。可改写为方程组)(#由隐函数存在定理3，得 ),(),(vuGFJ0),( vuxx(1)证vuyxG ),( ),(vuyxFvuyy0),( 在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y) .vuvuGGFF vyuyvxux vyuyvxux ),(),(vuyx 0 它们是 x = x (u, v), y = y (u, v) 的反函数。第26页/共31页第二十七页，编辑于星期三：十七点 十八分。设方程组(#):(2) 解等式两边同时对 x 求偏导，得 0)(00)(1 xvvyxuuyxvvxxuux确定了函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)0),( vuxxvuyy0),( 即 01