两个计数基本知识的排列,组合(含答案解析)

1、所以，完成这件事的方法数为m1m2m3 + m4m5.第一章计数原理习题课 两个计数原理与排列气组合2进一步深化排列【学习目标】1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理 与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题.类型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步”的计数问题 例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有种不同的结果.答案 28 80030 X解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要

2、分两类分别计 算：（1）幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有 29 X20 = 17 400（种）结果；幸运之星在乙箱中抽，同理有20 X19 X30 = 11 400（种）结果.因 此共有17 400 + 11 400 = 28 800（种）不同结果.反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示:具体意义如下:从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.“类”与“步”可进一步地理解为:“类”用的完成,"步”缺一不可.“ + ”号连接，“步”用“X”号连接，“类”独立，“

3、步”连续，“类”标志一件事跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A. 24 种 B. 30 种 C. 36 种答案 D 解析 将原图从上而下的 4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色,4 X3 X2 + 4 X3 X因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的着色方法种数为2 X1 = 48.故选 D.命题角度2 “步中有类”的计数问题 例2 有4位同学在同一天的上、 下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下

4、午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握 力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有种.（用数字作答）答案 264 解析 上午总测试方法有 4 X3 X2 X1 = 24（种）;我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项 目.若上午测试 E的同学下午测试 D，则上午测试 A的同学下午只能测试 B、C,确定上午测试A的同学后其余两位同学上、 下午的测试方法共有 2种；若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试 A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3 X3 = 9（种）测试方法，即下午的

5、测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24 X11 = 264（种）.反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示:从计数的角度看，由 A到D算作完成一件事，可简单地记为A7 D.完成A7D这件事，需要经历三步，即At B, C, Cf D.其中C这步又分为三类，这就是步中有类.其中mi（i= 1,2,3,4,5）表示相应步的方法数.完成A7D这件事的方法数为m1（m2 +m3+ m4）m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法.跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有（）A. 11B . 12 C . 20 D . 21答案解析根据题意，设5个开

6、关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通,对于开关1、2,共有2 X2 = 4（种）情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有 1个接通 的有4 1 = 3（种）情况,对于开关3、4、5，共有2 X2 X2 = 8（种）情况，其中全部断开的有 1种情况，则其至少有1 个接通的有8 1 = 7（种）情况,则电路接通的情况有3 X7 = 21（种）.故选D.类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法?（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法?（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法?（

7、4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法?如果甲必须排在乙的右面 （可以不相邻），有多少种不同的排法?5个男解（1）（捆绑法）因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同生合在一起共有6个元素，排成一排有 a6种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A3种不同的排法，因此共有A6a3 = 4 320（种）不同的排法.（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空,这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这 6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于 5

8、个男生排成一排有 a5种不同的排法，对于其中任意一种排法， 从上述6个位置中选出3个 来让3个女生插入有 a6种方法，因此共有 A5 A3= 14 400（种）不同的排法.（3）方法一（特殊位置优先法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个, 有a5种不同排法，对于其中的任意一种排法， 其余六位都有a6种排法，所以共有A2 A6= 14 400（种）不同的排法.方法二（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有A8种不同的排法，从中扣除女生排在首 位的a3 a7种排法和女生排在末位的 A1 A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排 在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被

9、扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A3 A6种不同的排法，所以共有A8 2A3 A7+ A2 A6= 14 400（种）不同的排法.方法三 （特殊元素优先法）从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有a3种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有 a5种不同的排法，所以共有a3 a5= 14400（种）不同的排法.（4）方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有 A5 A7种不同的排法；如果首位排女生，有A3种排法，这时末位就只能排男生，这样可有 A1 A1 a6种不同的排法.因此共有a5 a + a3 a5 a6= 3

10、6 000（种）不同的排法.方法二 3个女生和5个男生排成一排有 a8种排法，从中扣去两端都是女生的排法有 a3 a6种,就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有a8 - a3 a6 = 36 000（种）不同的排法.A8（5）（顺序固定问题）因为8人排队，其中两人顺序固定，共有一=20 160（种）不同的排法.反思与感悟（1）排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意

11、要不重复，不遗漏 （去尽）.对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中.跟踪训练3 用0到9这10个数字:（1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个?（2）可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数?解（1）可以组成9A3 = 4 536个四位数.适合题意的四位奇数共有A1 A1 A2= 2 240（个）.0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类:第1类：三位数字全相同，如111,222，999，共

12、9个；第2类：三位数字全不同，共有 9 X9 X8 = 648（个）,第3类：由间接法可求出，只含有 2个相同数字的三位数，共有900 9 648 = 243（个）.类型三排列与组合的综合应用命题角度1不同元素的排列、组合问题例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10 ,则不同的排法共有多少种?第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有c2 c2 c2 c1 a4 种.第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有c2 c2

13、a4 种.第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有c2 c2 a4 种.解分三类:故满足题意的所有不同的排法种数为C2 C1 C2 C1 A4 + 2C2 C2 A4 = 432.反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.跟踪训练4 从1,3,5,7

14、,9中任取3个数字，从024,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?解(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有C5C2种选法.第2步，排成偶数一一先排末位数，有A1种排法，再排其他四位数字，有A4种排法.所以 Ni = C5 C4 A 1 a4.(2)五位数中含有数字 0.第1步，选出5个数字，共有C5 C1种选法.第2步，排顺序又可分为两小类:末位排0,有a1 种排列方法;末位不排0.这时末位数有 C1种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A1种排法，其余3个数字则有A3种排法.所以 N2= c3c4(a1 a4 + A1 a3).所以符合条件的偶数个

15、数为n = Ni + N2= c5c4a1a4 + c3c4(a1a4 + a3a3)=4 560.命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数,则共有种不同的分配方案.答案15有 A6 = 6 X5 X4 = 120(个).故所求的三位数的个数为216 120 = 96.解析先拿3个优秀名额分配给二班 1个，三班2个，这样原问题就转化为将 7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个.利用“隔板法”可知，共有C2= 15（种）不同的分配方案.反思与感悟 凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序

16、分成 m组的任务不同）”的问题，一般可用“隔板法”求解:（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N = Cm-11种，即将n个元素中间的个空格中加入m 1个“隔板”.（2）任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有 N = CfTm-1种,即将n个相同元素与 m 1个相同“隔板”进行排序，在n + m 1个位置中选 m 1个安排 隔板”.跟踪训练5 用234,5,6,7六个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为答案 96解析 用间接法：六个数字能构成的三位数共6 X6 X6 = 216（个），而无重复数字的三位数共1 李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两

17、套不同样式的连衣裙"五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有A 24 种 B 14 种 C. 10答案 B解析由题意可得李芳不同的选择方式有4 X3 + 2 = 14（种）故选B.2 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球 3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a, b）为（）A (34,34)B (43,34)C (34,43)D.(a4 , a4)答案 C解析 首先每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能的结果，3项冠军根据分步乘法计数原理知共有 43

18、种可能结果，故选C.3 从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A 48 B 50 C 52 D 54答案 A解析 第一类：从2,4中任取一个数，有 C2种取法，同时从1,3,5中取两个数字，有 C2种取法，再把三个数全排列，有A3种排法.故有 C1C3a3= 36（种）取法第二类：从0,2,4中取出0,有C1种取法，从1,3,5三个数字中取出两个数字，有C2种取法,然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有A1种排法，剩下的两个数字全排列，有a2种排法，共有C1C2a2a2= 12（种）方法共有36 + 12 = 48（种）

19、排法，故选A.4 某电视台连续播放 5个广告，其中有 3个不同的商业广告和 2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有答案 36 解析 先安排后2个，再安排前3个，由分步乘法计数原理知， 共有C1C1A3= 36（种）不同的 播放方式.5 .已知 Xi 1,0,1 , i= 1,2,3,4,5,6，则满足 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6= 2 的数组（X1, X2,X3, X4, X5, X6 ）的个数为 答案 90解析根据题意，T X1 + X2+ X3+ X4 + X5 + X6 = 2 , Xi 1

20、,0,1 , i = 1,2,3,4,5,6 , Xi中有2个1和4个0,或3个1、1个1和2个0 ,或4个1和2个1，共有C6 + C3C2 + C4 = 90（个），满足 X1 + X2 + X3 + X4+X5 + X6= 2 的数组（X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6）的个数为90.也是最重要的原理， 是解答排列、1 .分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、 组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.2 解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分 步，再利用两个基本计数原理作最后处理.3 对于较难直接解决的问题则可用间

21、接法，但应做到不重不漏.4 对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注 意顺序，避免计数的重复或遗漏.课时作业一、选择题 1 .从甲地到乙地，每天有直达汽车 4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地,每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（）答案 BA. 12 种 B. 19 种 C. 32 种 D. 60 种4班共有4种方法;解析 分两类：第一类直接到达，甲地到乙地，每天有直达汽车第二类间接到达，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有 3个班车，共有 5 X3 = 15(种)方法.4 = 4 320（种）涂色方法.根据分类加法计数

22、原理可得4 + 15 = 19.2 .在 100,101,102 ,，999这些数中，各位数字按严格递增（如“ 145 ”或严格递减（如“ 321”顺序排列的数的个数是（A. 120 B. 168 C. 204 D . 216答案 C解析由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类,当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C9 = 168（个）,当三个数字中含有 0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C2= 36（个）,根据分类加法计数原理知共有 168 + 36 = 204（个），故选C.3 用六种不同的颜色给如图所示的六

23、个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方D. 720 种法共有（A. 4 320C. 1 440答案 A解析 第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法， 第四个区域有3种不同的涂色方法， 第五个区域有3种不同的涂色6 X5 X4 X3 X3 X方法，第六个区域有 4种不同的涂色方法根据分步乘法计数原理知，共有4 . 5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有 1人的排法共有（）A. 72 种 B. 36 种 C. 18 种 D. 12 种答案 B解析 甲乙两人有2种站法，中间恰有一个人，从其余三人中选一人有3种选法，故第一步三人绑定在一起的方

24、法有2 X3 = 6(种),将此三人看作一个元素与剩余两人组成三个元素进行排列，排列方法有A3 = 6(种)，故5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有6X6 = 36(种).5 .在某次数学测验中，学号i(i = 1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i) 90,92,93,96,98，且满足f(1)< f(2) Wf(3)< f(4)，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为A. 9 B. 5 C. 23 D. 15答案 D解析 从所给的5个成绩中，任意选出 4个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按f(1)< f(2)< f(3)< f(4)

25、排列的一个可能情况，故方法有C4= 5(种).从所给的5个成绩中，任意选出3个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按f(1)< f(2) = f(3)< f(4)排列的一个可能情况，故方法有 C3 = 10(种).综上可得，满足f(1)< f(2) <f(3)< f(4)的这四位同学的考试成绩的所有可能情况共有 5 + 10 = 15(种)，故选D.6 登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是()A . 30 B . 60 C . 120 D . 240答案 BC2C2解析先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有

26、 右种,再将余下的6人平均分成两组，有c3c3石种，然后这四个组自由搭配还有A2种，故最终分配方法有 严尹叫60(种).二、填空题7 .如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天，其余学校只参观一天，那么不同的安排方法有种.答案 120解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6 种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)， (5,6)， (6,7)，任选一种为 C6，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，由分步乘法计数原理可知，共有不同的安排方法 C6a5 = 120(种).

27、8 .小明、小红等 4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有种.答案 4解析 设小明、小红等4位同学分别为 A, B, C, D,小明、小红没有申请同一所大学，则组合为(AC,BD)与(AD , BC).若AC选甲学校，则 BD选乙学校，若 AC选乙学校，则 BD选甲学校；若AD选甲学校，则BC选乙学校，若 AD选乙学校，则BC选甲学校.故共有4种方法.9 将 A, B,C, D , E五个不同的文件放入一排编号依次为3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件若文件a、B必须放入相邻的抽屉内,文件 C、D也必

28、须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内满足条件的所有不同的方法有种.答案 96解析 利用“捆绑法” ，AB、CD分别捆在一起,此时问题相当于把 3个不同文件放入 4个不同的抽屉内，每个抽屉至多放一个文件，则有A3(a2 a2) = 96(种).10 .由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有个.答案 120解析1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有a3a3= 144(个)，若4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2C1C1a2 = 24(个)，所求六位数共有120个.11 .连接正三棱柱的 6个顶

29、点，可以组成个四面体.答案 12 解析 从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C4种方法，其中4个点共面的有3种情况,故可以组成C6 - 3 = 12（个）四面体.12 .甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不 区分站的位置，则不同的站法种数是 答案 336 解析 根据题意，每级台阶最多站 2人，所以，分两类：第一类，有 2人站在同一级台阶,共有CA2种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A3种不同的站法.根据分类加法计数原理，得共有+ A3= 336（种）不同的站法.三、解答题 13 . 4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答, 选甲题答对得100分，答错得100分；选乙题答对得 90分，答错得90分若4位同学 的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况?解本题分两种情况讨论.（1）如果4位同学中有2人选甲，2人选乙若这4位同学的总分为 0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错.有C2a2a2 = 24（种）不同的情况.如果4位同学都选甲或者都选乙.若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有C2c4c2 = 12（种）不同的情况.综上可知，一共有 24 + 12 = 36（种）不同的情况.四、探究与拓展14 .巴蜀中学第七周将安排