概率论与数理统计公式整理(大学考试必备)

1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式P：=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m-n)!Cm=m从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(m-n)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，A种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试

2、验在相同条件卜XJ以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用切来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用建表示。一个事件就是由G中的部分点(基本事件8)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是C的子集。为必然事件，？为/、可能事件。不可能

3、事件(？)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：AuB如果同时有A=B,BnA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B,A、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表小为A-AB或者AB,匕表小A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A1B,或者ABa"1B=?,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互小相容或者互斥。基本事件是

4、互小相容的。C-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为Ao它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)00QO_AAi=UAi德摩根率：T也AdB=AnB,A-Tb=AUb(7)概率的公理化定义设Q为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足卜列三个条件：1°0WP(A)W1,2P(Q)=13°对于两两互不才目容的事件A1,A2,有/CO、oOPUAi=£P(Ai)；iizi常称为可列(完全)可加性。则称

5、P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1夏=瓶2212P(01)=P(02)=P(6n)=一。n设任一事件A,它是由61,826m组成的，则有P(A)=©1)U(®2)U-Ugm)=P)+P版/+P(6m)_mA所包含的基本事件数n基本事件总数(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A)L(A)。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L(C)(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)

6、+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B二A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当人=时，P(B)=1-P(B)(12)条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为P(B/A)-F(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1=P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，对事件A,必A,若P(A1A2,An-1)>0,则有P(A1A2,An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

7、,P(An|A1A2,An-1)/o(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件a、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)>0,则有P(B|A)、二P(A)P(B);P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与否也都相互独立。必然事件C和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么AB、C相互独立。对

8、于n个事件类似。(15)全概公式设事件B1,B2,，Bn满足1。B1,B2,，Bn相容，P(Bi)>0(i=1,2,，n),nA匚UBi2日,则有P(A)=P(B1)P(A|B1)十P(B2)P(A|B2)+十P(Bn)P(A|Bn)。(16)贝叶斯公式设事件Bi,B2,Bn及A满足1 。B1,B2,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i=1,2,n,nAuUBi2 i苴,P(A)0,则P(Bi/A).nP(Bi)P(A/Bi)，i=1,2，n。工P(Bj)P(A/Bj)j+此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i=1,2,n),通常叫先验概率。P(B"A),(1=1,2,n

9、),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努禾概型我们作了n次试验，且满足每次试验只用两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互/、影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则人发生的概率为1-P=q,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(°£kEn)次的概率，八、_kknJs一一Pn(k)=CnPq,k=0,1,2,，n。第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设

10、离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=pk,k=1,2,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X|X1,X2，Xk,P(X=xk)p1,p2,，pk,。显然分布律应满足卜列条件：Zpk=1(1)pk-0,k=1,2，(2)km。(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数X,有XF(x)=1/f(X)dX则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有卜面4个性质：1 f(x)之0。Of(x)dx=

11、12 -ro(3)离散与连续型随机变量的关系P(X=x)定P(x<XWx+dx)电f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(XXk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(X<x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a<XWb)=F(b)-F(a)可以彳#到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x内的概率。分布函数具有如下性质：1 °0<F(x)<1,_oo<x<+g;2 F(x)是单调/、减的函数，即

12、xi父x2时，有F(xi)<F(x2)；3 。F()=limF(x)=0,F()=limF(x)=1;x-bc4°F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的；5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。对于离散型随机变量，F(x)=£pk；xk<xx对于连续型随机变量，F(x)=jf(x)dx。-nd八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2，n。_kkn_kP(X=k)=Pn(k)=Cnpq,其中q=1-p,0<p<1

13、,k=0,1,2,，n,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为XB(n,p)。当n=1时，P(X=k)=pkqj,k=0.1,这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为.kp(X=k)=&e-A>0,k=0,1,2，k!则称随机变量X服从参数为九的泊松分布，记为Xn(九)或者P(八)。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n8)。超几何分布D/Y-C_CM*CnZ*Mku0,1,2。，1CN'l=min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(X=k)=qk,p,k=1,

14、2,3,，其中P>0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只洛在a,b内，其酱度国数f(x)在a,b，一1上为常数，即b-a1a<x<bf(x)=ba廿加其他，P,则称随机变量X在a,b上服从均匀分布，记为XU(a,b)。分布函数为0,x<a,x-axbb-a"xwbF(x)=/f(x)dx=i1,x>b。当aWx1<x2Wb时，X落在区间(x1，x2)内的概率为.、x2-x1P(x1<X<x2)。b-a指数分布e八eT,x至0,f(x)=4。，x<。，其中九>0,则称随机变量

15、X服从参数为九的指数分布。X的分布函数为1-尹，x>0F(x)i0,L,x<0。记住积分公式：-boxnedx=n!0正态分布设随机变量X的密度函数为1一.2f(x)=-e202,_g<x<+°%J2n。其中N、仃>0为常数，则称随机变量X服从参数为N、仃2、的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN(N,仃)of(x)具有如下性质：1 。f(x)的图形是关于x=N对称的；2 当x=R时，f(R)=为最大值；242g若XN(1产他篁的分布函数为F(x)=-=Je202dt42gi,00参数N0、仃-1时的正态分布称为标准止态分布，记为XN(0,1)啡其

16、密度函数记为中(x)=小2,2五,一8<x<,分布函数为dxt2H1.二(x)-iJe2dt。J2兀_co(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-x)=1-(x)且(0)=°X女如果XN(N,。2),则N(0,1)。D/_v<"、，'dS21/IS.11P(x1<X三x2)一中|一中I0(6)分位数下分位表：P(XWNq)=o(;上分位表：P(XaNu)=o(。(7)函数分布离散型已知X的分X布列为x1,x2,，xn,P(X=xi)Y=g(X)白Yp1,p2,，pn,勺分布列(yi=g(xi)互/、相等)如下：g(x1),g

17、(x2),，g(xn),P(Y=yi)若用某些g(一?xi)时等，党应将对应白俨pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)<y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。(1)联合离散型分布第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量之(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称之为离散型随机量。设巴=(X,Y的所有可能取值为(x*)0,j=1,2，),且事件-=(xi,yj)的概率为pj，,称P(X,Y)=(x,yj)=Pj(i,j=1,2,)为'=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布

18、有时也用下面的概率分布表来表示：Xy1y2,yj,Xipiip12,p1j,x2p21p22,p2j,aammXip1,pij,aa.a.这里pij具有下面两个性质:(1)pij>0(i,j=1,2,);(21二pj=1.连续型对于二维随机向量t=(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(-°o<x<+=c,-°o<y<收),使对任fb-个其邻边分别平行丁坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)wD=f(x,y)dxdy,D则称之为连续型随机向量；并称f(x,y)为之二(X,Y)的分布密

19、度或称为X和丫的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面两个性质：(1) f(x,y)>0;(2) Jf(x,y)dxdy=1.(2)二维随机变量的本质qX=x,Y=y)=4X=xCY=y)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PX<x,Y<y称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(01,o2)|-«<X(01)Mx,，<Y(02)My的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0<F(x

20、,y)<1;(2) F(x,y)分别对x和y是非减的，即当x2>x1时,有F(x2,y)>F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4) FT)=F(-y)=F(xT)=0,F(f")=1.(5)对于x1<x2,y1<y2,F(x2,Y2)-F(x2,y1)-F(xny2)十F(x1，火)之0.(4)离散型与连续型的关系P(X=x,Y=y)SfcP(x<XEx+dx,yYEy+dy)化f(x,y)dxd

21、y(5)边缘分布离散型X的边缘分布为Pq=P(X=k)=£pj(i,j=1,2,)；Y的边缘分布为Pd=P(Y=yj)=£Pij(i,j=1,2,)。连续型X的边缘分布密度为-bofx(x)=ff(x,y)dy;Y的边缘分布密度为*bofY(y)=f(x,y)dx(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y=yj|X=为)=；Pi.在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PijP(X=x|Y=yj)=，P连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x,y)f(x|y)="fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x

22、)=3fX(x)(7)独立性一般型F(X,Y)=FX(x)F丫(y)离散型Pij=P4后零不独立连续型f(x,y)=fX(x)f丫(y)直接判断，充要条件：可分离交量正概率密度区间为矩形二维正态分布1432px_)(y_)3f(x,y)=1=J"一四西厂82兀。1G«P2P=0随机变量的函数若X1,X2,X,Xm+1,X相互独立，h,g为连续函数，则：h(X1,X2,X)和g(Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与丫独立，则：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为_1ll-h12Rx*)

23、(y44)/*1112(1-P)(仃JgI*J|f(x,y)=,2eJ/-2兀仃1。211P其中出，x2。1>0，仃2A0,|P|<1是5个参数，则称(X,口服从二维正态分布，记为(X,Y)N(七，人尸；，仃2,P).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XNI(均，仃；)，丫N(22。；).但是若XN(匕，仃；),丫N(N2。；)，(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)-bo对于连续型，fZ(z)=Jf(x,z-x)dx皿两个独立的正态分布的和仍为正态分布(N1

24、+N2，仃；+仃；)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。工CE,。2=£Ci2。：Z=max,min(X1,X2,Xn)若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x),Fx2(x)Fx(x),则Z=max,min(X3X2,Xn)的分布函数为：Fmax(x)=Fx(x)Fx2(x)Fx(x)Fmin(x)=1-1-FX1(x)*1-FX2(x)-1-Fxn(x)72分布设n个随机变量Xi,X2，Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和n2W=Xii4的分布密度为/nu1Qf-u2u>0,f(u)=221n20,u:二0.我们称随机变量W艮从

25、自由度为n的X2分布，记为此72(n),其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。厘2分布满足可加性：设Yi-2(ni),kZ-'Yi2(nin2-nk).i1t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1),Y2(n),可以证明函数XTY/n的概率密度为r'n-1、f(t)='2J；1+-而言吓n>我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)t1-.(n)-t-.(n)F分布设X72(n)Y72(皿)，且X与丫独立，可以证明X/n1_F的概率密度函数为Y/n2ifmnl4+±yf(y)4但但1n2Jy

26、in2j12；12J0,y<0,y-0我们称随机变量F服从第一个自由度为rn,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1,n2).Fi-Mm)1F：(n2,ni)第四章随机变量的数字特征(1)一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,n,nE(X)=£XkPky(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),-boE(X)=fxf(x)dx皿(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)nE(Y)=£g(Xk)Pkk=1Y=g(X)-boE(Y)=Jg(x)f(x)dx力差一一一2D(X)

27、=EX-E(X),标准差O(X)=vD(X),D(X)=£Xk-E(X)2pkk-boD(X)=Jx-E(X)2f(x)dx矩对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即Vk=E(Xk)=£XikPi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为Nk,即%=E(X-E(X)k.=Z(Xi-E(X)kPi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即k、.&k.,、.Yk=E(X)=xf(x)dx,-COk=1,2,.对于正整数k,称随机变量X与E

28、(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为Nk,即.k匕=E(X-E(X)k=Q(x-E(X)kf(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)=N,方差D(X)=b2,则对于任意正数£,后卜列切比雪夫不等式2P(|X-|>s)<2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(X之B)的一种估计，它在理论上启重要忌义。期望的性质(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),ECjXjEGE(Xj)iViM(4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和丫不相关

29、。(3)方差的性质(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布期望力差0-1分布B(1,p)PP(1-P)的期望和力差二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(Z)九九几何分布G

30、(p)1P1-p2p超几何分布H(n,M,N)nMNnM1M；Nn'；N<N人N-3均匀分布U(a,b)a+b2(b-a)212指数分布e(九)1九1TT九正态分布N(巴仃2)N2CT72分布n2nt分布0n/c、(n>2)n-2二维随机变量的数字特征期望nE(X)=£xpi.i=1nE(Y)=£yjp.j凸-boE(X)=xfX(x)dx皿-boE(Y)=yfY(y)dy函数的期望EG(X,Y)=G工G(Xi,yj)pjEG(X,Y)=-be-beIG(x,y)f(x,y)dxdy-00-00力差D(X)=ZXi-E(X)2p“D(Y)=£X

31、j-E(Y)2p.j-boD(X)=fx-E(X)2fX(x)dx*boD(Y)=y-E(Y)2fY(y)dy6协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩41为X与丫的协方差或相关矩，记为Dxy或cov(X,Y),即Oxy=上1=E(XE(X)(YE(Y).与记号CTXY相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为XXxx与仃丫丫。相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,则称仃XY(X)/D(Y)为X与丫的相关系数，记作PXY(有时可简记为P)。|1,当|P|=1时，称X与丫完全相关：P(X=aY+b)=1“柏羊；正相关，当=1时但>0),兀全

32、相关、负相关，当P=-1时(ac0),而当P=0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： pXY=0； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵°XXQXYYX°YYJ混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl)存在，则称之为X与丫的k+l阶混合原点矩，记为vkl；k+l阶混合中心矩记为：klUki=E(X-E(X)(Y-E(Y).(6)协方差的性质(i) cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii) cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii) cov(X1+X2

33、,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).独立(i)若随机变量X与Y相互独立，则Pxy=。；反之不'直。和不相关(ii)若(X,Y)-N(),口仃；，。2,P),则X与丫相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律切比雪夫大数定律设随机变量Xi,X2,常数C所界：D(X)dilimPn-l|n特殊情形：若X，相互独立，均具有有限方差，且被同一<C(i=1,2,),则对于任意的正数£,有n1n、XXiZE(Xi)<s=1.vnaj,X2,具有相同的数学期望E(X)=科，则上

34、式成为limP1n干、1n-ZXTny<z=1.J伯努利大数定律设每次试供伯刍的频率上这就以严e是n次独立试验中亍中发生的概率，则齐limPn_pc(与利大数定律说明，1事件A发生的次数，p是事件A在力于任意的正数£,有p=1.n1J刍试验次数n很大时，事件A发生J概举七较大判别的可能性很小，即limp'-p|之J=0.5Unq)1格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设Xi,X(Xn)=limP1n廿d,Xn,;1,则对于任1n与Xi3ny是相互意的一<君):独立同分布的随机变量序列，且E:数s有=1.(2)中心极限定理2XtN(匕上)n列维林德伯格定理设

35、随机变量X1,X2,相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk)=N,D(Xk)=。2#0(k=1,2，)，则随机变量n£Xk-nNkYn一厂<n。的分布函数Fn(x)对任意白实数X,有n工Xk-nNt2._,、._:k_1:1.X弓lim匚limPJ-My«a2Htliimfn(x)liimps二xfiedt.-5j赤。|<2i5'IJ此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理设随机变量Xn为具有参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数X,有-1t2Xn-np1,x2-limP一,Wx>_.

36、fe2dt.、Jnp(1-p)JJ2nq(3)二项定理若当Ntg时,ap(n,k/、父)，则Nkn-kCMC：,tC：pk(1-p)n"(Nt叼.Cn超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理石当nT比时，npT九>0,则-kkko、n-k九ACnp(1-p)Te(nT笛).k!其中k=0,1,2,n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体)。(1)数理统计的基本概念样本我们把从总体中抽取

37、的部分样品X1,x2，xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi,X2，Xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，X1,x2，xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设Xi,X2，Xn为总体的一个样本，称华=中（Xi,X2，Xn）为样本函数，其中邛/L个连续函数。如果邛中不包含任何未知参数，则称中（x1，x2，Xn）为一个统计量。常见统计量及其性质-1n样本均值x=£Xj.ni二样本力差1nS

38、=，(Xix).n-1y样本标准差S=JZ(xi-x)2.n-1y样本k阶原点矩1kMk=£Xi,k=1,2,.nim样本k阶中心矩，1/-kMk=一£(Xi-x),k=2,3，.niCT2E(X)=D(X)=一,nE(S2)-仃2,E(S*2)-n12,ncnnc11其中S*=X(Xi-X),为二阶中心矩。ny(2)正态总体下的四大分布正态分布设Xi,X2，Xn为来自止态总体N(N,。)的一个样本，则样本函数defx.1u-N(0,1).仃/Nnt分布设Xi,X2，Xn为来自止态总体N(N,。2)的一个样本，则样本函数defX_Rtt(n-1),s/vn其中t(n-1)表

39、示自由度为n-1的t分布。72分布设Xi,X2，Xn为来自止态总体N(N,o)的一个样本，则样本函数%(n1)S2V2w-2(n-1),a其中？2(n1)表示自由度为n-1的，2分布。F分布设X1,X2，Xn为来自止态总体*也。1)的一个样本，而2y1，y2,，yn为来自止态总体N/,%)的一个样本，则样本函数的S2/%2F-，,2-F(n1-1,n2-1),S2/。2其中_nn1_nn2_s£(XiX),S2£(yi-y);R-1iTn2-1iTF(n1-1,n2-1)表示第一自由度为R-1,第一自由度为n21的F分布。(3)正态总体下分布的性质X与S2独立。第七章参数估

40、计(1)点矩倩计设总体X的分布中包含有未知数日1,62，6m,则其分布函数可以表成FXd。,&).它的k阶原点矩Vk=£小，*=1,2厂巾）中也包含了未知参数仇，仇，6m,即Vk=丫3,日2，2m）。又设X1,X2，Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为1nXik（k=1,2,m）.nij这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有,441.1V1（e1也，8m）=乙Xi,ny.八一八一八1,2v2（日1,日2,6m）=一工Xi,ni.AA八1nm。也，6m）=一£Xi.ny由上面的m个方程中，解出的m个未知参数（e；,

41、e2,，e：）即为参数（4,日2，m）的矩估计量。若$为日的矩估计，g（x）为连续函数，则g（理为g（B）的矩估计。极大似然倩计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x；6i,02，8m),其中仇，日2，田m为未知参数。又设Xi,X2，Xn为总体的一个样本，称L(8i，氏n，日m)=nf(xi；ei4i，日2,，em)为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为荐号型随机变量时，设其分布律为PX=X=p(x;if2,6m),则称L(xi,x2,xn；e1n02,0m)=niP(xi出i&2，出m)为样本的似然函数。若似然函数L(xi，x2'xn；%",，*AAAn

42、)在ei,e2,，em处取到最大值，则称Hi,92,，8m分别为3,62，9,m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。61nLn=0,i=i,2,m网右日为e的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(g为g(g)的极大似然情计。估计量的无偏性设e=e(xi,x2,xn)为未知参数h的估计量。若A.E(H=H,则称评选标准金为8的无偏估计量。E(X)=E(X),E(S2)=D(X)后效性A.A.AA设6i=6i(xi,x,2，xn)和82=62(xi,x,2,xn)是未知参数9的两个无偏估计量。若d(6i)<D(02),则称A31A;匕。2功效。一<性A设8n是e的一串估

43、计量，如果对于任意的正数S,者B有limP(|0n-e|a&)=0,n)PC则称en为e的一致估计量(或相合估计量)。若日为日的无偏估计，且D(gT0(nT叼,则日为日的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。(3)区间情计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数0。如果我们从样本X1,x,2，xn出发，找出两个统计量91=3(Xi,X,2，Xn)与%=%(Xi,X,2，Xn)(g<%)，使得区间仇包以1-«(03<1)的概率包含这个待估参数日，即Pg，%=1-：,那么称区间91,62为a的置信区间，1a为该区间的置信度(或置信水平)。单正态总体的期望和方差的区间估计设X，X，2，Xn为总体XNIN,。2)的一个样本，在置信度为1口下，我们来确定N和仃2的置信区间81,3。具体步骤如下：(i)选择样本函数；(ii)由置/度1,查表找分位数；(iii)导出置信区间日