第8章串讲 (up)

1、第八章第八章第第8章章： 8- -2，8- -4，8- -5，8- -11，8- -14，8- -16，8- -20，8- -23，8- -27，8- -312H导体表面处导体表面处( (外邻域外邻域) )的场强与表面垂直的场强与表面垂直导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件H E内内 = 0 或导体是等势体，表面是等势面。或导体是等势体，表面是等势面。1. 导体带电只能在表面！导体带电只能在表面！2. 表面附近：表面附近：n0 eE SPn eD DSE3. 孤立导体处于静电平衡时，它的表面孤立导体处于静电平衡时，它的表面各处面电荷密度与各点表面的曲率有各处面电荷密度与各点表面的曲率有关，曲率

2、越大的地方关，曲率越大的地方 ( (表面凸出的尖表面凸出的尖 锐部分锐部分) )，面电荷密度也大。，面电荷密度也大。+ +静电场的基本性质静电场的基本性质 具有普遍性具有普遍性一、一、静电场中的导体静电场中的导体第第8 8章章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质作业作业8-8 38-8 如图所示，电荷面密度为如图所示，电荷面密度为 1 的均匀带电无限大平板的均匀带电无限大平板 A 旁边有一带电导体旁边有一带电导体 B，今测得，今测得 B 导体表面靠近导体表面靠近 P 点处点处的电荷面密度为的电荷面密度为 2。求：。求：( (1) ) P 点处的电场强度；点处的电场强度；( (2) )

3、 导体导体 B 表面靠近表面靠近 P 点处的电荷元点处的电荷元 2D DS 所受的电场力？所受的电场力？解解：导体：导体 B 表面小面积表面小面积 D DS 所带电荷所带电荷在它的两侧分别产生电场强度在它的两侧分别产生电场强度为为 2/(/(2 0) ) 的电场的电场 和和 ，导体导体 B 上其它地方的电荷以及上其它地方的电荷以及导体导体 A 板上的电荷在板上的电荷在 D DS 附近产附近产生的电场为生的电场为 ，可视为均匀。，可视为均匀。由场强叠加原理，在由场强叠加原理，在 D DS 的导体的导体 内一侧有内一侧有 0) )，则金属球壳之间的电势差，则金属球壳之间的电势差 UA UB = 。

4、AR1RR2B 2r2r2r11r1011114RRRRQ 40半径为半径为 R1 的金属球外有一层相对介电系数为的金属球外有一层相对介电系数为 r = 2 的介质球壳，其外半径为的介质球壳，其外半径为 R2，若金属带电为，若金属带电为 q。则。则介质外离球心介质外离球心 r1 处的电场强度处的电场强度 E = ，介质内离，介质内离球心球心 r2 处的电场强度处的电场强度 E= ；金属球心处的电；金属球心处的电势势 = 。2104rqE 2208rqE 210118RRq 418-12 半径为半径为 R 的介质球，相对介电常数为的介质球，相对介电常数为 r，其电荷体，其电荷体密度密度 r r

5、= r r0( (1 - - r/ /R) )，式中，式中 r r0 为常数，为常数，r 是球心到是球心到球内某点的距离。求球内某点的距离。求：( (1) ) 介质球内的电位移介质球内的电位移和电和电场强度分布；场强度分布；( (2) ) 在半径在半径 r 多大处电场强度最大？多大处电场强度最大？解解： ( (1) ) 取半径为取半径为 r ，厚度为，厚度为 dr 的薄球壳，其中电荷为的薄球壳，其中电荷为D rRrrrrRrVq d4 d41dd32020r rr rr r取半径为取半径为 r 的同心球形高斯面，应用的同心球形高斯面，应用 的高斯定的高斯定理，则理，则 RrrrRrrDrr43

6、4d4 443003202r rr r电位移电位移为为 RrrD43 20r r45内层介质中的最大场强内层介质中的最大场强 ( (在在 r = R1 处处) ) 为为内外筒的电压内外筒的电压 0122r121ln2dd2001rRRrErEURrrR R1 r r0：rEr1012 r0 r R2：rEr2022 解解：设内筒带电的线电荷密度为设内筒带电的线电荷密度为 ，则用，则用 的高斯定理可的高斯定理可求得场强分布，求得场强分布，DR1r0R28-14 两共轴的导体圆筒的内、外筒半径分别为两共轴的导体圆筒的内、外筒半径分别为 R1 和和 R2，R2 46两结果相比两结果相比01122rR

7、EE 01220maxmaxln2rRRrEU 由于由于 r0 R2，且，且 R2 1，因此当电压升高时，外层介质中先达到因此当电压升高时，外层介质中先达到 Emax 而被击而被击穿。而最大的电压可由穿。而最大的电压可由 E2 = Emax 求得为求得为012211lnrRRRUE 012202ln2rRRrUE 而外层介质中的最大场强而外层介质中的最大场强 ( (在在 r = r0 处处) ) 为为 R) ) A 为一常数，试求球体内的场强分布。为一常数，试求球体内的场强分布。 解：在球内取球壳电荷元解：在球内取球壳电荷元 dq，rrArqrrVqd4dd4dd22 r rr rdqr1Od

8、r半径半径 r 的球内包含电量的球内包含电量 q 为：为：402d4 ddrArrArVqqrVV r r在球内作半径为在球内作半径为 r 的高斯面，应的高斯面，应用高斯定理用高斯定理qrDSDS 24d 4 4242ArDrArD reArE4r02 内内42reArD 内内 的高斯定律的高斯定律D int0dqSDSEED r051平板电容器平板电容器dSdSC r0 牢记！牢记！孤立导体球孤立导体球RCr04 牢记！牢记！柱形电容器柱形电容器球形电容器球形电容器 12r0ln2RRlC 1212r04RRRRC 设设 Q电容的计算方法电容的计算方法EABUUQC 串联：串联： iCC11

9、并联：并联： iCC电容器电容器 UQC 作业作业8-20 作业作业8-21 作业作业8-23 作业作业8-24 作业作业8-27 作业作业8-28 作业作业8-29 作业作业8-25 52 例例( (作业作业8- -19) ) 求平行板电容器的电容。求平行板电容器的电容。解：解：1. 设设 QQ - -Q- - 2. 求求 E两极板间：两极板间： D = 13 ) 2( ) 3 , 1( 203, 1区区区区 EE3. 求求 U332211dEdEdEU lldr00)( 4. 求求 CUSUQC r0 lldSC ABS rld int0dqSDSDS右底右底 = S右底右底253讨论讨论

10、r0 lldSC 1. 两极板间介质充满两极板间介质充满 l = ddSdSC 0r2. 介质为空气介质为空气dSC00 0rC 3. C 可视可视厚度厚度为为 ( (d l) ) 的空气平行板电容的空气平行板电容器和厚度为器和厚度为 l 的介质平行板电容器的串联的介质平行板电容器的串联 lSCldSC 20121111CCC 54若把电介质板换成金属板，在缝内若把电介质板换成金属板，在缝内0 E在金属板内在金属板内0 E两板电势差两板电势差 ldU 0 CldSUSUQC 0 电介质板换成金属板后，电容增大了，电介质板换成金属板后，电容增大了，但为了绝缘，仍需放电介质。但为了绝缘，仍需放电介

11、质。lr d SS558-20 计算两根无限长平行导线间单位长度的电容。导线半计算两根无限长平行导线间单位长度的电容。导线半径为径为 a，两导线轴间距为，两导线轴间距为 d，且，且 d a。+ - - a d- -a xxO解解：设无限长导线各带线电荷密度为：设无限长导线各带线电荷密度为 的电荷，取坐标如图。的电荷，取坐标如图。 由叠加原理求出导线间由叠加原理求出导线间 x 点场强点场强 xdixiE 0022 adalEUd所以单位长度电容所以单位长度电容LCc xxdxadad1120 adln0 aad ln0 LUQ U adln0 R，则，则系统单位长度的电容为系统单位长度的电容为

12、。 RdRRdlnln00 d57解解：11max12RE 设内层导线上的电荷线密度设内层导线上的电荷线密度为为 ，则内层电介质中的最，则内层电介质中的最大大电场强度电场强度( (在在 r = R1 处处) )为为外层电介质中的最大外层电介质中的最大电场强度电场强度( (在在 r = R2 处处) )为为8-21 如图所示，同轴电缆由半径为如图所示，同轴电缆由半径为 R1 的导线和半径为的导线和半径为 R3 的导体圆筒形导体构成，在内、外导体间用两层的导体圆筒形导体构成，在内、外导体间用两层电介质隔离，分界面的半径为电介质隔离，分界面的半径为 R2，其介电常数分别，其介电常数分别为为 1 和和

13、 2。若使两层电介质中最大电场强度相等，。若使两层电介质中最大电场强度相等，其条件如何？并求此情况下电缆单位长度的电容。其条件如何？并求此情况下电缆单位长度的电容。R1R3R2 1 222max22RE 由于由于max2max1EE 608-24 如图所示，一个电容器由两块长方形金属平板组成，如图所示，一个电容器由两块长方形金属平板组成，两板的长度为两板的长度为 a，宽度为，宽度为 b，两宽边相互平行，两长，两宽边相互平行，两长边的一端相距为边的一端相距为 d，另一端略微抬起一段距离，另一端略微抬起一段距离 l( (l E0，两者方向相同。两者方向相同。 ( (B) ) E = E0，两者方向

14、相同。，两者方向相同。 ( (C) ) E E0，两者方向相同。两者方向相同。 ( (D) ) E 738-34 如图所示，一平行板电容器，极板面积为如图所示，一平行板电容器，极板面积为 S，极板，极板间距为间距为 d。( (1) ) 充电后保持电量充电后保持电量 Q 不变，将一厚为不变，将一厚为 b 的金属板平行于两极板插入。与金属板插入前相的金属板平行于两极板插入。与金属板插入前相比，电容器储能增加多少？比，电容器储能增加多少？ ( (2) ) 导体板进入时，导体板进入时，解解：( (1) ) 电容器的电容由电容器的电容由 C0 变为变为 C，储能增量为，储能增量为SbQSdSbdQCQC

15、QW02002022e2222 ( (2) ) W外外 = D DWe B C。 ( (B) ) A C。 ( (C) ) A B B C。ABCCQW22 A40. 将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源。再将一块与极板面积相同的金属板平行地插断开电源。再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，则由于金属板的插入及其所放位置的不入两极板之间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：同，对电容器储能的影响为： ( (A) ) 储能减少，但与金属板相对极板的位置无关。储能减少，但与金属板相对极板的位置

16、无关。 ( (B) ) 储能减少，且与金属板相对极板的位置有关。储能减少，且与金属板相对极板的位置有关。 ( (C) ) 储能增加，但与金属板相对极板的位置无关。储能增加，但与金属板相对极板的位置无关。 ( (D) ) 储能增加，且与金属板相对极板的位置有关。储能增加，且与金属板相对极板的位置有关。插入金属板后插入金属板后 Q 不变。不变。C 由由 变为变为 ，dS0 ddS 0 WCQW221 dd 金属板金属板，用于吸入金属板做功。，用于吸入金属板做功。41. 一平行板电容器，充电后切断电源，两板间充满相对一平行板电容器，充电后切断电源，两板间充满相对介电常数为介电常数为 er 的各向同性

17、均匀电介质，此时两板间的各向同性均匀电介质，此时两板间场强是原来的场强是原来的 倍，能量是原来的倍，能量是原来的 倍。倍。r1 r1 42. 在相对介电常数在相对介电常数 r = 4 的各向同性均匀电介质中，与的各向同性均匀电介质中，与电能密度电能密度 we = 2106 J/ /cm3 相应的电场强度的大小相应的电场强度的大小 E = 。3.361011 V/ /m2r0e2121EDEw 43. 一个平板电容器的电容值一个平板电容器的电容值 C = 100 pf，面积，面积 S = 100 cm2，两板间充以相对介电常数为，两板间充以相对介电常数为 r = 6 的云母片。的云母片。当把它接

18、到当把它接到 50 V 的电源上时，云母中电场强度的大的电源上时，云母中电场强度的大小小 E = ，金属板上的自由电荷电量，金属板上的自由电荷电量 q = 。9.42 103 V/ /m5 10-9 Cwe = 21012 J/ /m3dUE CSdr0 80D44. 两个完全相同的电容器两个完全相同的电容器 C1 和和 C2，串联后与电，串联后与电源连接，现将一电介质板插入源连接，现将一电介质板插入 C1 中，则中，则 ( (A) ) 电容器组总电容减小；电容器组总电容减小； ( (B) ) C1 上的电量大于上的电量大于 C2 上的电量；上的电量； ( (C) ) C1 上电压高于上电压高

19、于 C2 上电压；上电压； ( (D) ) 电容器组储存的总电能增大。电容器组储存的总电能增大。C1C221111CCC 1C C串联串联21QQ 11CQU 22CQU 21CC 21UU 221CUW CU 不变不变 W45. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为 a，外筒半径，外筒半径为为 b，筒长都是，筒长都是 L，中间充满相对介电常数为，中间充满相对介电常数为 r 的各向同的各向同性的电介质，内外筒分别带有等量异号电荷性的电介质，内外筒分别带有等量异号电荷 +Q 和和 - -Q，设设 b a b，忽略边缘效应，求：，忽略边缘效应，求：( (1)

20、 ) 圆柱形电圆柱形电容器的电容；容器的电容；( (2) ) 电容器储存的能量。电容器储存的能量。解解：( (1) ) 由题给条件，由题给条件，b a b，忽略边缘效应，忽略边缘效应，应用高斯定理可求出两筒之应用高斯定理可求出两筒之间的场强为间的场强为( (2) ) 电容器储存的能量电容器储存的能量 a b LLrQEr02 abLQrrLQUbaln2d2r0r0 abLQCQWln42r022 两筒间的电势差两筒间的电势差电容器的电容电容器的电容 abLUQCln2r0 46. 一圆柱形电容器，内圆柱的半径为一圆柱形电容器，内圆柱的半径为 R1，外圆柱的半径，外圆柱的半径为为 R2，长为，

21、长为 L L ( (R2 - - R1) )，两圆柱体之间充满相，两圆柱体之间充满相对介电常数为对介电常数为 r 的各向同性均匀电介质。的各向同性均匀电介质。设内外圆柱设内外圆柱单位长度上带电量单位长度上带电量( (即电荷线密度即电荷线密度) )分别为分别为 和和 ， 求：求：( (1) ) 电容器的电容，电容器的电容，( (2) ) 电容器储存的能量。电容器储存的能量。解解：( (1) ) 由题给条件由题给条件 L ( (R2 - - R1) ) ，忽略边缘效应，应，忽略边缘效应，应用高斯定理可求出两筒之间的场强为用高斯定理可求出两筒之间的场强为( (2) ) 电容器储存的能量电容器储存的能

22、量rEr02 abrrUbaln2d2r0r0 abLCQWln42r022 两筒间的电势差两筒间的电势差电容器的电容电容器的电容 abLUQCln2r0 47. 一柱形电容器的两极分别为半径为一柱形电容器的两极分别为半径为 R1 的无限长导体的无限长导体圆柱和半径为圆柱和半径为 R3 的无限长导体圆筒。两导体共轴，的无限长导体圆筒。两导体共轴，其间充以两层均匀电介质。内、外两层介质的介电其间充以两层均匀电介质。内、外两层介质的介电常数分别为常数分别为 1 和和 2，分界面的半径是，分界面的半径是 R2，如图所示。，如图所示。 ( (1) ) 计算该电容器单位长度的电容，计算该电容器单位长度的

23、电容，( (2) ) 若两极间电若两极间电压为压为 U，求电容器单位长度储存的能量。，求电容器单位长度储存的能量。解解：( (1) )设导体圆柱带电的电荷线密度为设导体圆柱带电的电荷线密度为 ，则内层电介质中的电场强度为则内层电介质中的电场强度为 2111 2RrRrE 32213221d2d2ddd2121RRRRRRRRrrrrrErElEU 两导体间的电势差为两导体间的电势差为 1 2R1R2R3外层电介质中的电场强度为外层电介质中的电场强度为 3221 2RrRrE (2) 电容器单位长度储存的静电能为电容器单位长度储存的静电能为22321212ln1ln121URRRRCUW 则电缆

24、单位长度的电容为则电缆单位长度的电容为232121ln1ln12RRRRUC 232121ln2ln2RRRR 48. 两个同心金属球壳，内球壳半径为两个同心金属球壳，内球壳半径为 R1，外球壳半径为，外球壳半径为 R2，中间充满相对介电常数为中间充满相对介电常数为 er 的均匀介质，构成一个球形电的均匀介质，构成一个球形电容器。容器。( (1) ) 求电容器的电容；求电容器的电容；( (2) ) 设内外球壳上分别带有电设内外球壳上分别带有电荷荷 +Q 和和 - -Q，求电密器储存的能量。，求电密器储存的能量。解解：( (1) ) 已知内球壳上带正电荷已知内球壳上带正电荷 Q，则两球壳中间的场

25、强大小为，则两球壳中间的场强大小为 42r0rQE 两球壳间电势差两球壳间电势差 21r012114d21RRQlEURR 21r0124RRRRQ 电容电容 1221r0124RRRRUQC ( (2) ) 电场能量电场能量 21r0122282RRRRQCQW 49. 一电容为一电容为 C 的空气平行板电容器，接上端电压的空气平行板电容器，接上端电压 U 为为定值的电源充电。在电源保持连接的情况下，试求定值的电源充电。在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距离增大至把两个极板间距离增大至 n 倍时外力所做的功。倍时外力所做的功。解解：因保持与电源连接，两极板间电势差保持不变，而：因保持与电源连接，两极板间电势差保持不变，而 电容值由电容值由dSC0 nCndSC 0 221CUW 222121CUnUCW D DCnCUWWW22101212 nnCU 电容器储存的电场能量由电容器储存的电场能量由 在两极板间距增大过程中，电容器上带电量由在两极板间距增大过程中，