.直线的倾斜角和斜率.

1、1 2问题情境问题情境直线直线最简单的几何图形最简单的几何图形飞逝的流星沿不同飞逝的流星沿不同的方向运动的方向运动在空中形成美丽的直线在空中形成美丽的直线3问题情境问题情境确定直线的要素确定直线的要素问题问题1：(1) _确定一条直线确定一条直线.两点两点(2) (2) 过一个点有过一个点有_条直线条直线. .无数条无数条 确定直线位置的要素除了确定直线位置的要素除了点点之外之外,还有还有直线的直线的方向方向,也就是直线的也就是直线的倾斜程度倾斜程度.xyoyxo一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义： 当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线

2、的倾斜角倾斜角注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。x0ypoyxlypoxlpoyxlpoyxl规定：当直线和规定：当直线和x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 它的倾斜角为它的倾斜角为02 2、直线的倾斜角范围的探索直线的倾斜角范围的探索由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为：)180,0oo 6问题情境问题情境楼梯的倾斜程度用楼梯的倾斜程度用坡度坡度来刻画来刻画1.2m3m3m2m坡度坡度=高度高度宽度宽度坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡7级宽高级建构数学直线倾斜程度的刻画直线倾斜程度的刻画高度高度宽度宽度直线直线xyoPQM直线的倾斜程度直线的倾斜程

3、度=类比思想类比思想 2 3 2o 2-yx2、直线的斜率定义：定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用通常用k表示，即：表示，即：tank),2()2, 0a0,),2,2(,),20,);k ;k斜率 不存在(,0).k 倾斜角倾斜角不是不是9090的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度9纵坐标的纵坐标的增量增量xyo11( ,)P x y22( ,)Q x y21yy21xx已知两点已知两点 P(x1， ，y1)

4、， ， Q(x2， ，y2)， ，如果如果 x1x2， ，则直线则直线 PQ的的斜率斜率 为：为：1212xxyyk 建构数学直线斜率的定义直线斜率的定义xyyx横坐标的横坐标的增量增量请同学们任意给出两点的坐标请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率并求过这两点的直线的斜率.形形数数10建构数学问题问题5：直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？k0 xpyO（1）.kk3k1131.1.斜率为斜率为2 2的直线，经过点的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1(3,5),(a,7),(-1，b)b)三点，则三点，则a,ba,b的值为的值为( )(

5、)直线 的倾斜角 =30，直线 ， 求 , 的斜率。11l12ll 1l2l解： 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为0002120309033tan11k1l2l2l3tan22koxy2l21l1 _11)4(_10)3(_135,45)2(_60,451.3的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角，的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角，的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率）（，斜斜率率为为的的倾倾斜斜角角为为已已知知直直线线 kkkkkl)3, 1), 1)1,( 45,0 )180,13545,0 16 求过点求过点M(0,2)M(0,2)和和

6、N(2,3mN(2,3m2 2+12m+13)(m+12m+13)(mR)R)的直线的直线l的斜率的斜率k的取值范围。的取值范围。问题问题10：直线斜率的大小与直线的倾斜程直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？度有什么联系？(课后研究课后研究)解解:022)13123(2 mmk21 2111232 mm21)2(32 m21)2(232 m由斜率公式得直线由斜率公式得直线l l 的斜率的斜率21 kk的的取取值值范范围围为为17难点展示难点展示：例题一：直线例题一：直线 l 过点过点M(-1,1)M(-1,1)且与以且与以P(-P(-2,2)Q(3,3)2,2)Q(3,3)为两端点的线段

7、为两端点的线段PQPQ有公共点有公共点, 求直线求直线 l 的斜率的取值范围。的斜率的取值范围。例例2。已知直线的斜率。已知直线的斜率K的变化范围为（的变化范围为（ 1，1， 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 的取值范围。的取值范围。分析：分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。讨论。当当K （ 1，0）时）时,),43( 当当K 0，1 时，时，4,0 解：解： 直线斜率直线斜率K的变化范围（的变化范围（ 1，1=（ 1，0） 0，1，所以直线的倾斜角范围为

8、所以直线的倾斜角范围为),43(4,0 练习练习),5|(|,5cosaa满足已知直线的倾斜角.求该直线的斜率解解:;,90, 0cos,0) 1 (0不存在时当ka), 0, 5|,0)2(aa时当,525251sin22aa.25cossintan2aak;0,在时所求直线的斜率不存当所以a.2502aaa时所求直线的斜率为当推导二推导二:yolx1P2PP的方向如图设向量21PP),(,121221yyxxPP则向上,21PPOP 过原点作向量),(1212yyxxP的坐标为则点,tan1212xxyyk由正切函数的定义得.12的结果的方向向上时推得同样当向量PP),(.12122121

9、yyxxPPPP为直线的方向向量及与它平行的向量都称直线上的向量练习：已知直线已知直线l的一个方向向量的一个方向向量解：解：2323k)3 ,2(v，求直线的斜率。，求直线的斜率。则直线的斜率为则直线的斜率为 :23k 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求直线，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是钝角),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C解：直线解：直线AB的斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率; 1333021 CAk 由由 及及 知

10、，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0 BCk求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：方法：先用经过两点的直线的斜率公式求方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率，斜率， 再求倾斜角。再求倾斜角。0 ABk0 BCk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk 由由 及及 知，直线知，直线AB

11、与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk例例2的和求经过两点)(2 ,() 1 , 2(21RmmPP.,的取值范围的倾斜角并求出的斜率直线ll解解:. 2,2) 1 (21xxm时当;2倾斜角,因此直线的斜率不存在轴垂直于直线xl,21,2)2(mklm的斜率直线时当, 0,2km时当).2, 0(, 0,2km时当).,2(已知点已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点经过点P P的直

12、线的直线l l与线段与线段ABAB有公共点时有公共点时, ,求直线求直线l l的斜率的斜率k k的取值范的取值范围围. .Oxy.PAB已知三点已知三点A(2,3),B(A(2,3),B(a a, 4),C(8, , 4),C(8, a a) )三三点共线点共线, ,求求a a 的值的值. .直线直线L L的倾斜角是连接（的倾斜角是连接（3 3，-5-5），（），（0 0，-9-9）两点的直线的倾斜角的两倍，求）两点的直线的倾斜角的两倍，求直线直线L L的斜率。的斜率。已知直线已知直线 和和 的斜率分别是的斜率分别是 和和 ，求它们的倾斜，求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关系。角及确定两条直线的位置关系。311 Ktg3322 Ktg30,12021由图可知由图可知2l1l333解解:1l2l1203021ll YOX1 1、直线的倾斜角的定义、直线的倾斜角的定义2 2、直线的斜率的定义、直线