解析几何初步

1、第九章 解析几何初步倾斜角和斜率斜截式点斜式两直线位置关系两点式截距式一般式平行重合斜交垂直距离点到直线的距离的距离两平行线间的距离直线与方程程相交直线方程直线与圆的位置关系相离相切相交空间直角坐标系空间两点间的距离公式圆与方程平面解析几何初步知识网络外离外切相交内切内含圆的方程圆的标准方程圆的一般方程圆的参数方程圆与圆的位置关系第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程知识梳理1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是00，1800) 直线的倾斜角与斜率k的关系:当时， k与的关系

2、是；时，直线斜率不存在；经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式是 ；三点共线的充要条件是2.直线方程的五种形式:点斜式方程是；不能表示的直线为垂直于轴的直线斜截式方程为；不能表示的直线为垂直于轴的直线两点式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式方程为 .3.几种特殊直线的方程:过点垂直于x轴的直线方程为x=a;过垂直于y轴的直线方程为y=b 已知直线的纵截距为,可设其方程为;已知直线的横截距为,可设其方程为;过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx重难点突破重点: 理解倾斜角与斜率的对

3、应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系 涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线的倾斜角是A. B. C. D. 点拨:转化为: 已知,求 ,答案: C问题2: 求直线的倾斜角的取值范围点拨: 要从和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，当时,随的增大而增大; 当时,随的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范

4、围.，故：当时，直线的倾斜角满足：当时，直线的倾斜角满足所以，直线的倾斜角的范围：和(2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置xyAOxyBOyxDOyOxC问题3：已知函数，当，方程 表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得,从而斜率,截距,故选C（3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点的直线分别交轴、轴的负半轴于两点，当最小时，求直线的方程。点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示,本题用点斜式设出方程最简便。解：设直线的方程为,当且仅当，即k=1时等号成立，但k0,故直线的方程为：x+y+3=0；（4

5、）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：问题5:求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程。点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。解：当直线过原点时,方程为;当直线不经过原点时,设方程为,把代入得, 综上,所求方程为或热点考点题型探析考点1 直线的倾斜角和斜率 题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)例1 已知经过的直线的倾斜角为，且，试求实数的取值范围。【解题思路】由倾斜角的范围得出斜率的范围,从而求出参数的取值范围.【解析】，或，解得：的取值范围是【名师指引】根据正切函数在上的

6、单调性,要分;三种情况讨论,特别注意时容易遗漏.题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交 yxOMQP例2 已知直线l:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若l与线段PQ相交，求k的取值范围；【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得出斜率取值范围 解析由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2）， 要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是k4和k-3/4【名师指引】（1）用“运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意“两条直线相交”和“直线与线段相交”的区别（2）在观察动直线在运动过程中,要特别注意倾斜角是否含有角,若含有,则斜率的范围是,若不含有,则斜

7、率的范围是（分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率）【新题导练】1. 下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-),(7，2)D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)【解析】C. 由KAB=KBC可得2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f(x)=log2（x+1）且abc0，则、的大小关系是A、 B、C、 D、【解析】B把、分别看作函数f(x)=log2（x+1）图像上的点与原点连线的斜率,对照草图可得答案3. (华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线（t为

8、参数），则下列说法错误的是（）A直线的倾斜角为B直线必经过点C直线不经过第二象限 D当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为DCx+y=-2OBAxx+y=1【解析】D. 将直线方程化为，直线的斜率为，直线的倾斜角为，将点代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限4. 若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 解析 如图，当从2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分(四边形OBCD)区域的面积与区域A()的面积之比为，而区域A的面积为2，故所求的面积为5.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为如果是围成的区域（含边界）上的点，则的取值

9、范围是 解析 ：把看作区域上的点与点（-1，0）连线的斜率,结合图形可得结果为6.已知点A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），过P点的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率k的变化范围;解析 ,画出图形，数形结合可得结果 考点2 求直线方程 题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y6=0上，顶点A的坐标是(1, 1)，求边AB, AC所在的直线方程. 【解题思路】从确定直线AB, AC 的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y6=0,直线AB满足:经过点A且与直线2x+y6=0成角，（或|AB|等于点A到直线

10、2x+y6=0的距离的倍）解法1:由条件知直线AC垂直于直线2x+y6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,把A(1, 1)代入得c=-3, 故直线AC的方程为x-2y-3=0,，设B(x,y),则，解得或，所以直线AB的方程为或解法2: 直线AC的斜率为，由点斜式并化简得，直线AC的方程为x-2y-3=0考虑直线AB, AC的夹角为，设直线AB, AC的方向向量分别为则，解得或，所以直线AB的方程为或【名师指引】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解 例4 过点P（0，1）作直线l，使它被两直线l1:2x

11、+y-8=0和l2：x-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.【解题思路1】：设出直线l的点斜式方程，分别与直线l1，l2建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出l的方程；解析1：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1联立解得交点坐标是联立解得交点坐标是而点P（0，1）是AB的中点，解得k=-，故所求的直线方程为： x+4y-4=0；【解题思路2】：设出l,l1的交点A坐标（x1,y1），通过中点坐标公式求出l与l2的交点B的坐标，然后分别将A,B两点的坐标带入直线l1， l2的方程,联立方程组进行求解;解析2：设直线l与已知l1， l2的交点A

12、（x1,y1）,B（x2,y2）P是AB的中点即带入l2的方程的，得（-x1）-3(2-y1)+10=0,即x1-3y1-4=0联立解得A(4,0)故所求的直线方程为：，即x+4y-4=0.【名师指引】（1）解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求” 减少了运算量（2）中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求” 【新题导练】7.已知点A（3，4） （1）经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： ；（2）经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为 ：（3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： ；（4）经过点A且在x轴上

13、的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为： ；解析（1）4x3y0或xy70 当直线经过原点时，方程为4x3y0，当直线不经过原点时，设方程为，代入点A的坐标得直线方程xy70（2）2xy20或8x9y120；设直线方程为，由和求得的值（3）xy10或xy70；斜率为1或-1，由点斜式易得 （4）x2y110或4x3y0；当直线经过原点时，方程为4x3y0，当直线不经过原点时，设直线方程为，由和求得的值8.已知直线经过点,分别交轴，轴正半轴于点A，B，其中O为原点，求AOB的面积最小时，直线的方程；解析 设直线的方程为,令,令,当且仅当，即k=4时等号成立，但k0，则的最小值为 解析 8. 函

14、数1图象恒过定点A(-2,-1),当且仅当即时取等号,5.（2007东莞）直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是( )A B. C. D.【解析】D. 因为1 6. 如果实数满足条件 ，那么的最大值为A B C D【解析】A. 不等式表示的区域是以A(-1，0)、B(-2，-1)、C(0，-1)为顶点的三角形，=，当直线经过点C(0，-1) 时，取最大值2综合提高训练7. 过点作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5求此直线的方程。解：直线l的方程为，令 得；令得解得或所求方程为或xyAEPFDRCQ8. 如图,为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外

15、AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大？解析建立如图示的坐标系，则E（30，0）F（0，20），那么线段EF的方程就是，在线段EF上取点P（m,n）作PQBC于Q,作PRCD于R,设矩形PQCR的面积是S，则S=|PQ|PR|=（100-m）(80-n),又因为，所以，故 ，于是，当m=5时S有最大值，这时.9. 已知直线和点P(3,1),过点P的直线OxMQPym与直线在第一象限交于点Q，与x轴交于点M，若为等边三角形，求点Q的坐标解析：因直线的倾斜角为，要使为等边三角形，直线的斜率应为，设，则，解

16、得：，10. 如图，一列载着危重病人的火车从O地出发，沿射线OA方向行驶，其中，在距离O地5a（a为正常数）千米，北偏东角的N处住有一位医学专家，其中，现120指挥中心紧急征调离O地正东p千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C处相遇。经计算，当两车行驶的路线与OB所围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时。（1）在以O为原点，正北方向为y轴的直角坐标系中，求射线OA所在的直线方程；（2）求S关于p的函数关系式S=；（3）当p为何值时，抢救最及时？AOBCXyN解：（1）由得，直线OA的方程为y=3x.（2）设点N(),则，N（ 又B（），直线BC的方程为

17、.由得C的纵坐标，三角形OBC面积.（3）由（2）知.，时，.因此，当千米时，抢救最及时.备选例题:1过点P（2，1）作直线l分别交x,y轴于A,B两点，求（1）|PA|PB|取得最小值时直线l的方程；（2）|OA|OB|取得最小值时直线l的方程；解：显然直线l的斜率不存在时不符合题意，设直线l的方程为：y-1=k(x-2)(k0，b0)。则|OM|=，|ON|=,由动点P在AOx的内部，得0y0，第2讲 两条直线的位置关系知识梳理1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这

18、两条直线垂直.已知直线, 若,与相交,则 ; 若,则 ;若/,则且; 若与重合,则且2.几个公式已知两点,则 设点，直线点到直线的距离为设直线则与间的距离3.直线系 与直线平行的直线系方程为; 与直线垂直的直线系方程为; 过两直线的交点的直线系方程为重难点突破重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件；掌握两点之间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离.难点:判断两条直线位置关系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程（1）在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成

19、的增解与漏解,关键是要树立检验的意识.要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;要考虑两条直线平行时不能重合;问题1:已知直线，m为何值时，与平行点拨：当m=0时，当时，的斜率为，的斜率为由得或，时与重合，时（2）在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低运算量. 问题2:已知点P（2，1）求过P点与原点距离最大的直线的方程点拨: 过P点与原点距离最大的直线为垂直于直线的直线,直线的斜率为-2, 直线的方程为,即（3）在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的的系数对应相等问题2：求直

20、线与的距离点拨：将的方程化为，则两直线的距离为(4)处理动直线过定点问题的常用的方法: 将直线方程化为点斜式化为过两条直线的交点的直线系方程特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立。问题3:求证:直线恒过某定点，并求该定点的坐标.将直线方程化为若直线过定点，则上式对恒成立，该直线必过定点热点考点题型探析考点1:两直线的平行与垂直关系题型: 判断两条直线平行与垂直例1 已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ： x+6my-4=0 问 m为何值时 （1）与相交（2）与平行（3）与垂直;解析当时； ， 与垂直当时由 ，而无解综上所述

21、（1）时与相交（2）与平行（3）时与垂直【名师指引】判断两条直线的位置关系，一般要分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，平时要培养分类讨论的“意识”例2 已知三边的方程为：，；（1）判断三角形的形状；（2）当边上的高为1时，求的值。【解题思路】（1）三边所在直线的斜率是定值,三个内角的大小是定值,可从计算斜率入手;(2)边上的高为1,即点到直线的距离为1，由此可得关于m的方程.解析： （1）直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以直线与互相垂直， 因此为直角三角形 （2）解方程组，得，即由点到直线的距离公式得 ， 当时，即，解得或【名师指引】（1）一般地，若两条直线的方向（斜率、倾斜角、方向向量）

22、确定，则两条直线的夹角确定（2）在三角形中求直线方程，经常会结合三角形的高、角平分线、中线【新题导练】1.已知直线，直线，则“”是“直线”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析B2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）A0 B-8 C2 D.10解析设所求的直线，则那么m=-8，选 B3. “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的( )A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析当m=或-2时，两条直线垂直，所以m

23、=是两条直线垂直的充分不必要条件，选 B点评还要考虑斜率不存在的情形 4. (山东省枣庄市2008届高三第一次调研考试) 已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点垂直，直线l2：2,4,6等于（ ）A4B2C0D2解析 B ,又考点2 点到直线的距离题型:利用两个距离公式解决有关问题例3 已知直线及点（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程【解题思路】分离参数求定点坐标;寻找到直线的距离最大时，直线满足的条件解析：（1）将直线的方程化为：，无论如何变化，该直线系都恒过直线与直线的交点，由得，直线过定点（2）当时点到直线的距离最大，此时直线的斜率为-5，直线

24、的方程为即【名师指引】（1）斜率不定的动直线，都应考虑是否过定点（2）处理解析几何的最值问题，一般方法有：函数法；几何法例4 已知三条直线 ，若与的距离是 （1）求a的值 （2）能否找到一点P使得P同时满足下列三个条件P是第一象限的点；P点到的距离是P点到的距离的P点到的距离与P点到的距离的之比是；若能，求P点坐标；若不能，说明理由。【解题思路】由三个条件可列三个方程或不等式，最终归结为混合组是否有解的问题解析（1）(2)设同时满足三个条件由得：设在上则有-（1）由得：-（2）由得 -（3）解由（1）（2）（3）联立的混合组得 所以 【名师指引】（1）在条件比较多时，思路要理顺；（2）解混合组

25、时，一般是先解方程，再验证不等式成立 【新题导练】6. 点到直线的距离的最小值等于 解析7. 与直线的距离为的直线方程为 解析 或8. 两平行直线，分别过点P（-1，3），Q（2，-1）它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则之，间的距离的取值范围是（ ）A B.（0，5） C. D.解析最大值为P，Q的距离，即5，选C9.求过原点且与两定点距离相等的直线的方程解析 直线过线段AB的中点或平行于直线AB，故方程为或考点3 直线系题型1:运用直线系求直线方程例5 求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程和平行的直线方程。 【解题思路】可直接求交点，也可用直线系求解解析解法一.设与直线垂直的直线方

26、程为 设与直线平行的直线方程为联立方程得与的交点（1，-1） 代入求得 m=-5，n=3解法二.设与直线为 由条件分别求得和化简得和【名师指引】（1）使用直线系方程可以回避解方程组，从而达到减少运算量的目的（2）注意直线系不表示直线，这是一个容易丢解的地方题型2:动直线过定点问题例6 已知圆，直线证明不取何值，直线过定点 证明直线恒与圆C相交解析(1)直线化为：故直线是经过和交点（3，1）的直线系，故过定点（3，1）（2）因为 所以（3,1）为圆内的点。故直线恒与圆C相交【名师指引】在处理动直线过定点问题时，分离参数，转化为过两条定直线的交点的直线系是简单易行的方法【新题导练】10、方程所确定

27、的直线必经过点A（2，2） B.（-2，2） C.（-6，2） D.（3，-6）解析代入验证，选A11.已知为m实数，直线：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0， P（7，0），求点P到直线的距离d的取值范围。解析 直线过定点，d的最大值为点P、Q的距离，因点P、Q的距离为，故d的取值范围是 12.直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程解析：设直线方程为,化简得:直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线的斜率为,解得:或代入并化简得直线的方程为或抢分频道基础巩固训练1、若过点和的直线与直线平行,则的值为A6 B C2 D 解析，2、已知三条直线

28、和围成一个直角三角形，则的值是A 或 B-1或 C0或-1或 D0或或解析 C直线垂直时，但时后两条直线重合，又时后两条直线垂直，故选C3、若直线l：ykx与直线2x3y60交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A，) B(，) C(，) D，)解析B直线2x3y60与x轴、y轴交于（0，2）、（3，0）将两点坐标代入可得答案4、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ）A. 0，5B. 0，10C. 5，10D. 5，15解：B. 由得，点P到坐标原点距离的取值范围是0，105、设 ,若仅有两个元素,则实数的取值范围是

29、 解析, 数形结合，注意到直线的斜率为1，当时直线与不可能有两个交点 6、求经过直线和的交点，且与原点距离为的直线方程解析解方程组得交点坐标为（-1，-1），设直线方程为即，解得所求直线方程为综合提高训练7、已知直线与轴轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则 ，的取值范围是 解析由题意知直线与坐标轴交于点和，直线与线段（不含端点）相交，画图易得的取值范围是8、已知两直线,求分别满足下列条件的、的值 （1）直线过点，并且直线与直线垂直； （2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等解析解：（1） 即 又点在上， 由解得： （2）且的斜率为. 的斜率也存在，即，.故和的方程可分别表示为：原点到和的

30、距离相等. ，解得：或.因此或. 9、（华南师大附中20072008学年度高三综合测试（三）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米. （）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AM的长应在什么范围内？ （）当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 以AM、AN分别为x、y轴建立直角坐标系，解析 （）以A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则由C在直线MN上得 AM的长取值范围是（3，4）（）由（）知，即当且仅当即时取等号所以时，矩形AMPN的面积取得最小值24

31、10.已知点A（1,4），B（6,2），试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由。解析AB=，直线AB的方程为，即，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为，则一方面有m-3n+3=0，另一方面点C到直线AB的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，即或.联立解得，；联立解得，.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C或，使得三角形ABC的面积等于14.参考例题： 1. 将一块直角三角板（角）置于直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（），要把损坏的部

32、分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成，问如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积最大？分析：用点斜式设出直线的方程，直线与直线的交点可求出，的面积线段的长度和点到直线的距离来表示解析：由图知，设直线的斜率为，直线与不能相交，所以直线的方程为，令得令得,点到直线的距离为而函数在上是增函数，故当取得最大值2.已知点，在直线上求一点P，使最小.解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.设，则，解得，直线的方程为.由，解得，. 第3讲 圆的方程 知识梳理1. 圆的标准方程与一般方程圆的标准方程为，

33、其中圆心为,半径为r；圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是2.以为直径端点的圆方程为3. 若圆与轴相切，则;若圆与轴相切，则 4. 若圆关于轴对称，则； 若圆关于轴对称，则；若圆关于轴对称，则； 5、点与圆的位置关系：在圆内在圆上 在圆外重难点突破重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程, 难点:根据已知条件,求圆的方程重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：(或)得到方程组,进而求出圆的方程1.充分利用圆的几何性质解题圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点）的距离来处理问题1：已知圆和点

34、，点P在圆上，求面积的最小值点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P到直线的距离的最小值为，求面积的最小值为2.运用转化的思想处理圆的对称问题问题2:圆关于直线对称，则 点拨：圆关于直线对称的实质是圆心在直线上，因此可将圆心坐标代入直线方程解决解析：问题3:圆关于直线的对称圆的方程为 点拨：两圆和关于直线对称，可以转化为点对称问题（即圆心和关于直线对称且半径相等），也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值解析：方法1：原点关于直线的对称点为（1，1），所以圆关于直线的对称圆的方程为方法2：设是圆上一动点，它关于直线的对称点为，则 在圆， 圆关于直线的对称圆的方程为热点考点题型探析考点1 圆

35、的方程 题型1: 对圆的方程的认识 例1 设方程x2+y22(m+3)x+2(14m2)y+16m4+9=0。（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。（3）求圆心的轨迹方程解析（1）由得：，化简得：，解得：。所以当时，该方程表示一个圆。（2）r=,当 时，（3）设圆心，则，消去得所求的轨迹方程为【名师指引】（1）已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；（2）第3问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把x,y都表示成m的函数，消去参数可得到方程，用此法要注意变量x,y的范围题型2: 求圆的方程例2（1）求经过点

36、A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程； （2）求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。【解题思路】根据条件，列方程组求参数解析（1）设圆心,则有，所求圆的方程为（2）采用一般式，设圆的方程为，将三个已知点的坐标代入得，解得：故所求圆的方程为【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键，(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程【新题导练】1.若，方程表示的圆的个数为（ ）.A、0个 B、1个 C、2个 D、3个解析:B得，满足条件的只

37、有一个，方程表示的圆的个数为1.2. ( 广州六中2008-2009学年度高三期中考试) 若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为（ ）A-2或2BC2或0D-2或0解析: C 圆的圆心为（1，2），或23.与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为 解析 或4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 解析B设，则，化简得考点2 圆的几何性质 题型1：运用圆的几何性质解题 例3 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦

38、长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形” 解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上，故设圆方程为（x3b）2+（yb）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圆方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点：（1）确定用圆的标准方程还是一般方程；（2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.例4 已知O的半径为3，直线l与O相切，一动圆与l相切，并与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨