平面解析几何专题突破

1、（一）直线与圆知识要点1.直线的倾斜角与斜率k=tga（aM900），直线的倾斜角定存在，范围是0,K但斜率不一定存在。斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标2 .直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。3 .两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）4 .两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。5 .点到直线的距离公式。6 .会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。7 .曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。8 .圆的标准方程：（xa）2+（yb）2=r2圆的一般方

2、程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件。x=a+r圆的参数方程：卜=的夕掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。（二）圆锥曲线1 .椭圆及其标准方程：第一定义、第二定义标港方程（注意焦点在哪个轴上）,桶扇的荷单几何性质;4八通的几何意义，准线方程，焦半径）桶员的参数方程H=4Sy=b例包当点R在桶圆上时，可用参数方程设点的坐标，把I可题转化大三角谈1句题口2 .双曲线及其标准方程：厚一定义r第二定义I注意与椭圜相类比）精宦方程（注意焦点在哪个轴上I双曲戏的简单几何性质原以六它的几何意义，港线方程，焦半便，海近我）3 .抛物线及其标准方程：定义，

3、以及定义在解题中的灵活应用（艳物拨上的点到焦点的距离问题经常转化为到港纬的距离）精隹方程（注意焦点在哪个轴上，开口方向，p的几何意义】四种瑶式独物妓的简单几何性质焦点坐标，港方程，与焦点有关的结怆）4.直线与圆锥曲线：一位置关系,经京跨化为方程短的解的情况口，茏长.运用韦达定理解决面积注意合理分析汪思点：(1)注意防止由于零截距”和先斜率”造成丢解(2)要学会变形使用两点间距离公式目二氏一马炉+8厂当产当已知直线？的斜率现时，公式变形为d-Ji十寸,卜3-j.l当已知直线的倾斜角色时，还可以得到(3)灵活使用定比分点公式，可以简化运算。(4)会在任何条件下求出直线方程。(5)注重运用数形结合思

4、想研究平面图形的性质或；或八Lfl屈目解析几何中的一些常用结论：1 .直线的倾斜角疝勺范围是0,nt)2 .直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角疝勺增大而增大。当a是钝角时，k与a同增减。3 .截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。4.两直线：L1：A1x+B1y+C1=0L2：A2x+B2y+C2=0L11L2Ca1A2+B1B2=05.两直线的到角公式：L#iJL2的角为atan。1+瓦岛夹角为atan。=+用后|注意夹角和到角的区别6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。7.有关对称的一些结论点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对

5、称点分别是(a,b),(a,b),(a,b),(b,a)如何求点(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点直线Ax+By+C=0关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点(a,又是什么？如何处理与光的入射与反射问题？b)对称的直线方程8.曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：(1)点(a.b)(2)x轴(3)y轴(4)原点1 5)直线y=x2 6)直线y=x3 7)直线x=a9 点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。点P(x0y0)，圆的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2r2G点P(x0,y0)在

6、圆外；如果(x0a)2+(y0b)2O相离d=C相切dr+RC两圆相离d=r+RO两圆相外切|R-r|dr+RQ两圆相交d=|Rr|=两圆相内切d0,n0)。定量一一由题设中的条件找到式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。(4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。(5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。(6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将曲线“

7、化成方程“，将形“化成数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。(7)参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。第二部分解析几何中的范围问题(研究性学习之二)在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长(或实轴长)、轴长(或虚轴长)等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路,首先寻觅出(或直接利用)相关的不等式，进而通过这一不等

8、式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。一、题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.，点M (m, 0)到直线AP的距离为例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线右支上1.k e(1)若直线AP的斜率为k,且(2)当机=J5+1时，4APQ的内心恰好是点M,求此双曲线方程分析：对于(1),已知直线AP的

9、斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于(2),则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺解：(1)由已知设直线AP的方程为y=k(x1),即kxyk=0点M到直线AP的距离为1向一胃1 I d= 1 pss -1 =,但净向3空介-1|2+1解得3或3T1一咨U1+孚3所求m的取值范围为二二-=(8w0)(2)根据已知条件设双曲线方程为当他=忘+1时，点M的坐标为(及+1，。)-A(1,0)，点M到直线AP的距离为1,.A

10、PQ的内切圆半径r=1,PAM=45,(不妨设点P在第一象限)直线PQ的方程为x=2+a/2,直线AP的方程为y=x1因此解得点P的坐标为（2：血+尼）飞，,2J+l将点P坐标代入双曲线方程二w所求双曲线方程为点评：这里的（1）,是题设条件中明显的不等关系的运用；这里的（2）,审时度势的求解出点P坐标，恰如四两拨千斤”同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向例2、设椭圆窗1的两个焦点是网LW仁,且椭圆上存在点P使得直线即与直线巡垂直.（1）求实数m的取值范围；1=2-（2）设L是相应于焦点为的准线，直线正晃与L相

11、交于点Q,若干玛I,求直线尸石的方程.分析：对于（1）,要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有限心。，且:川=，那0便是特设条件中隐蔽的不等关系.对于（2）,欲求直线产外的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.解：（1）由题设知解+】二=用且二历is=二折设点p坐标为（。）,则有”片.二一1%一匕勺+二化简得工；+y；三那小1十下二1联立，解得ml即所求m的取值范围为(2)右准线L的方程为a一2(i)将代入得则.二设点二溶+J/2,-1僧-V/K3-1又由题设知由得冽+J渥T=2J，无解.X9(ii)将相代入得1第

12、十.由题设得-1=2-由此解得m=2#_i_v2而二F，*q二土丁Q从而有-于是得到直线空的方程为y-土(代-汉式-点评：对于(1),解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式腐对于(2),以求解点P坐标RI,J5(晶M为方向，对已知条件产鸟I进行数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.二、圆锥曲线的有关范围”之运用我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：应用”它们来解决有关问题。B两点例、以巧、巧为焦点的椭圆d及与x轴交于A,(1)过风作垂直于长轴的弦MN,求/AM

13、B的取值范围；e的取值范围(2)椭圆上是否存在点P,使/APB=120?若存在，求出椭圆离心率a解：(1)基于椭圆的对称性，不妨设定方为右焦点，m在第一象限，设A(a,0),B(a,0),则/AMB为直线AM到BM的角，又心一工J 利用公式得1+心用血七此时注意到椭圆离心率的范围：0e1O-乌-2 坦君由得t321溷S2才0,y0根据公式得整理得.门-2乖必y=.代入得.一】此时注意到点P在椭圆上，故得2 由得一OM二3讲O口之弋/5占.住f2aO曰A由得-；p存在且此时椭圆离心率的取值范围为TJ于是可知，当厘之;反时，点当&003好-加、10人。)6km/二-51331V+13ffp3占工2

14、=5且野+1J-3km而二环i为二飞+雁二喀3P+1，点P坐标为W+1犷十1）（比WO）又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有咯4：+13Aa+3km飞1+111t于是将代入得+10优=0）4-2Ar3-ROgO）=-1。或00又这里M(1,0)由赤=2MB得G月)=翼4-L已).必+=0(或工1+2x2=3)进而由得i+2=_32r,Jz二一21y?.由得内二一2(必+为如Q一心&代入得才+毋(S*+卷*)O。-M)(5小+4/)二-蒐犷5(33+4-5-4=-3)3O词(9-/)=54-1)注意到由得It0=、L故由得Q父学因而得1a0(1d0(1aXic235=1a3(另一方面，再注意

15、到b$=破4s，,4d(3(1ab0,双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键四、点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：11门二,一一丁.：1，1、点此q）在椭圆j=10占0）内部O乌+乌2、 L,.“一”222点比0伏”为）在双曲线j5=10o,0）内部0&-鲁,L3、 二-/一4、 jy二.例、已知椭圆的焦点为可（-4风（4）,过点与且垂直于x轴的直线与椭圆的一

16、个交点为B,|招引+属引=io14/氏111121,又椭圆上不同两点A、C满足条件：J1131121成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）设弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m,求m的取值范围.解：（1）由题设得2a=10,c=4a=5,b=3,c=4十-i椭圆方程为二：（2）（设而不解）设纲 j）为4城CF J弦AC的中点姆瓦加则由题意得一向-=2（a甸=。.电工J+g%）。斗占=8故有点-,-1:A、C在椭圆*2守二力5上支/+分=225两式相减得1，-此=9向一1一七25必寺打kg-）由及所设得上;九，弦AC的垂直平分线方程为尸一汽赞GT）4369/0169用=yn.=%=m由题意得91

17、6士2注意到当x=4时椭圆上点的纵坐标为5，又点在椭圆内部9故得5991616押一用5今)Rff例、已知双曲线支b的左、右焦点分别为以、外,若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与1尸耳“尸死1成等比数列，求离心率e的取值范围.分析：寻求e的范围的一般途径为(1)认知或发掘出本题的不等关系；(2)将(1)中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式；(3)将(2)中的不等式演变为关于e的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围其中，有关双曲线上点P处的两条焦点半径尸稣尸用的问题，定义中明朗的等量关系：1咫|-回川=2”是认知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系：I丹J+忸耳J之”则是寻求参量

18、范围的重要依据。解：(1)确立不等关系注意到这里产局+1丑闻立出用(2)不等关系演变之一设左支上的点P到左准线的距离为d,则由题意得一二(变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系)又点P在双曲线左支上忸4HF用=编(点P在左支这一条件的应用)111=，由解得叫二2a-+2c，将代入得w-1色一1(3)不等关系演变之二:于是可知，所求离心率e的范围为第三部分直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：(1

19、)条件或目标的等价转化;(2)对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知一一认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就

20、熟，胜券在握。(1)向弦中点问题转化/之后；-w=例1.已知双曲线=1=1(a0,b0)的离心率3，过点a(0,-b)和b(a,0)的直线与原点间的距离为(1)求双曲线方程；m的取(2)若直线V上“*朋(km#O)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求值范围。略解：y=1(1)所求双曲线方程为3(过程略)y-化工+m0比二-l)xa 4 6k靛41)一口*j2由工一少7消去y得:k+也由题意知，当学一亍时，皂-1及-货+10o泡-优？+1口设C弧，DG%).CD中点P区，yj则C、D均在以A为圆为的同一圆上=HF_LS.3kmm3Km1饕3s=-57=-5上加=

21、又一一：“一一一APIS。缺-画-1=J-Q3M=4廨+3k醴上口4ffi3+10ffl2于是由得4由代入得*一4用；口,解得m4(-g0U&+8)于是综合、得所求m的范围为4(2)例2.(1)向弦长问题转化设F是椭圆1g.27的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足(2)过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使lC)l = 2AZ：成立的求点P的轨迹C2的方程；直线l的方程。分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代CD卜 2AS的等价条件：设弦 AD、BC的中点分别为01、02,则，故*5于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题

22、。略解:Od椭圆C1的中心 -点P分FM所成的比入=2三.匕=1(1)点P的轨迹C2的方程为43(过程略)设直线i的方程为力)，(马，力代入椭圆C1的方程得(4Jta4-3)#+(8P-3)x+4Jta-州1=Q43-SV星+%=故有:-9k3-Sia故弦AD中点01坐标为13(A3-Fl)代入椭圆C2的方程得(联O+跳工+4-12=0又有一一“”一、二故弦BC中点02坐标为k-+3,4k3+3P10|=，由、得|QD|=2Moi0=口皿一跃|)注意到6于是将、代入并化简得：1:7，1:-由此解得2。因此，所求直线l的方程为后七2A行=12.化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此

23、，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去化生为熟”之外，重要的当数错重投影”或避重就轻”。(1)借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴(或y轴或其它水平直线)作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。例3.如图，自点M(1,-1)引直线l交抛物线”铲

24、于P1、P2两点，在线段P1、P2上取一点Q,使岷国、阳,必与1的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。解：设】一一I：又设直线l的方程为y代入y=得产一日+&包=口由题意得：；一1-0上2+2北莅十电=此I且占勺=上川21_又由题意得函二两十两作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1FQ，、P2(如图)CL(Ct71),f又令直线1的倾斜角为2则由双皆与，彼得阿MP：2_i3m一=蜀，阿卜三-31rli8血8fd同理,IOcos a，将上述三式代入得MQ =z- 1- 1-1!cos a2缶十后）-2，将代入得x- 1 _ 2 2_Jc-2，将代入得于是由、消去参数k 得 *3+2 y7Q

25、2x-y+1 = 0再注意到式，由得1-血 UU1 或 +应因此，由、得所求点Q的轨迹方程为-y41=0(1-x1或1Cjc0由题意Xt+-1药x-=-4由韦达定理得4.AB=Jl+k2-x3|=J5*J23十门芯+町b+1再设AB中点为凡4/口），则有22,为=2/tB=-L即有尸（-,-1）.“=-pd=_Uri注意到四边形ABCD为矩形，故有ML，且24yH-1_1x+i2由此得小4由（4）得上=-2大一切一5+L卜代入（5）得化简得（尸W）包/=也+170再注意到中2，由（5）得J54.尸-1因此由、得所求动点M的轨迹方程为（5丫1卜+-=-彳（钎4）（产工-1）点评：本例是立足于一条

26、直线与曲线相交”的问题。这里所说的立足于一条直线与曲线相交”的问题，是指这样两种题型：（1）问题由一直线与曲线相交引出；（2）问题中虽然出现多条直线与同一曲线相交，但这些直线的引出存在着明显的顺序（或依赖关系），整个问题构建在某一条直线与曲线相交的基础之上，对此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标既设又解”的策略。这里的解”，是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，是半心半意”地求解，解至中途运用韦达定理，因此，此类问题的解题三部曲为（1）全心全意地设出交点坐标；（2）半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理；（3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用（2）的结果导出既定目标。2、真心

27、实意，求解到底当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。例2.正方形ABCD的中心为M（3,0）,一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E,一条斜率为彳的直线l,若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。解：由题意设抛物线E的方程为，=工芦标、口），又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为k,k-1则由tan 45二3_1+”3y=2(73v=ta-3)直线AM、BM的方程分别为2再设-k=1则由世亏得4=-%又点A、B在抛物线E上，故有4-3)2-物,1工1N4勺=1#于是由、解得求解

28、（交点坐标）便尽量回避。1、设而不解这里所谓的设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。例1.设椭圆4X”+73=1白的上半部有不同三点A、B、C,它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。分析：考察线段AC的中垂线方程，易知其斜率由点A、C同名坐标的差式表出，弦中点由点A、C同名坐标的和式表出。由此想到对交点坐标设而不解”，并借助焦点半径公式求解。解：设题1内，母4,力）但/），弦AC中点M（x0,y0）。而1=4,b=2,国=，_=由已

29、知椭圆方程得-|幺居I=ALI)设椭圆方程为心。又设陷卜，则由题意得|图。卜声根据椭圆定义得户用+忸叫31+依闾初，+|PQ|+，代入得U+在上=4疗，解得1=(4-271”再由两竭叫得晦琲才一1+/仆.代入得(4- 2 点对 + (272 - 2对=4/-7=-1)化简得,，由此解得白口布一百。(2)借助有关图形性质回避交点坐标例3.已知直线1：*+2P-3口与。C-凝+y+x-2ay+a0相交于a、b两点，当匚4_LCF时，求。c的方程。提示：圆心C到弦AB的距离(弦心距)注意到由圆的弦的性质得=而=八=加二,由此解得a的值。(3)利用有关问题的深入认知回避交点坐标这是处置直线与曲线乃至两

30、曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。2口.-I-例4.已知圆M与圆V-了户1口二口相交于不同两点A、B,所得公共弦AB平行于已知直线2工一4-1口，又圆M经过点C(-2,3),D(1,4),求圆M的方程。解(利用对圆的根轴方程的认知迪避交点坐标)：设圆M方程为工、产野士口又已知圆方程为八得上述两圆公共弦AB所在直线方程加+如力户伊-1口).口D2=_=a+2/=-14.由题设得中了E注意到点C、D在圆M上，故有3H9TZ?十4区十尸1=一17a将、联立解得D=2 = 10F21所求圆M的方程为1+/+以-1021=口四、高考真题1.已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭

31、圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点，0A+OBH共线。(1)求椭圆的离心率;(2)设M为椭圆上任意一点，且0M=WA+0B6L，证明,01为定值。分析：(1)求椭圆离心率，首先要求关于a,b,c的等式。为此，从设出椭圆方程与直线AB的方程切入，运用对A、B坐标既设又解”的策略；设而不解”。(2)注意到这里的点为椭圆上任意一点，故考虑对点的坐标解:工y(1)设椭圆方程为戊h则直线ab方程为y=c将代入椭圆方程得(aa+浜讲-2(!?aM+a由韦达定理得(ca-2a)-0由题意3口O此个一土口a3e3-(a3+2a)(e3-ia)02a*c口与与-又三,或十国与I共线一13(71斗Fa)+(工1+

32、/)=口o取勺中工力=攵O/=Qa7=3(-t3)=2er2=ie27e即所求椭圆的离心率为-（2）由（1）得/3,，椭圆方程化为炉+犯，=城设而心区切，由题设得出加烟，内沁岭必）X=丘】十国.y=M十5点M在椭圆上#话+3档）后3必）+2%（为迪+牙必”货X.4-=瑞耳三久:电T3=C3.A3=C3又由（1）知，2822L一十一一一一-可工14-3（+三上+=ca-C34-3e3=I3M (# + *)二通?220将、代得即只4为定值。点评：对于（1）,立足于对A、B坐标既设又解”，对。A+0B与a共线的充要条件叉门十九）十（工】十与）口,先转化”而后代入”，与先代入”而后化简比较，计算量要

33、明显减少。因此，诸如此类的问题，要注意选择代入”的形式或时机，以求减少解题的计算量。2.P、Q、M、N四点都在椭圆# + 上=1一 一2 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知PF与PQ共线，MF与FN共1 线，且PF，MF = 0 ,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：这里必=辰,b=1,c=1,故F（0,1）由题设知PQLMN ,四边形PMQN的面积等于,因此解题从求忸口MN切入。解：这里胃二企,b=1,c=1,F（0,1）,由PF-MF=。得户产_LMF,即户21MM直线PQ,MN中至少有一条直线斜率存在。不妨设pq的斜率为k,则直线pq的方程为1又设将代入椭圆方程得：工1-A

34、02k1+2鹿产 且.11+2._（1）当*手口时，直线MN的斜率为上2卷（-孑十12点纭十1）同理可得（-乎十2=1|MN|PQ|.四边形PMQN的面积;4伏-1)4抬十/2)(炉+2)0心+1)次4+$1+25+2(Jt2+J-)口二M+4令上，则口一（当且仅当fc=1时等号成立）q43+2)口5+川NZS=.当*=1时，9,S是以为自变量的增函数（2）当*=口时，MN为椭圆的长轴，I,I-IS12.所求式的取值范围为UN”)直线AB的方程为y-3-fx-l)即汇事Y-4.Q(2)由题设知，线段CD垂直平分线段AB直线cd的方程为1y-3=工-1即工-，+2=0将与椭圆方程联立，消去y得-

35、.-4.-r一，,一CD的中点为幽4516-口。O八3尾十勒二一14一卫%勾=丁且一W二|,即必-釜注意到由(1)可得网J1+%7小依4T2)由可得必卜、可卜讣由.当 212 时,ab 12时，a、b、c、D四点均在以M为圆心，以为半径的圆上。点评：在这里，对A、B及C、D的坐标均是 既设又解”，解到中途运用韦达定理导出同坐标之间的关系式；对于（ 要切实认知条件的特殊性，根据问题的特殊性，这时化生为熟，转化为熟悉的弦长或弦中点问题。2),4.已知方向向量为的直线l过点（。2仃）和椭圆 J /（八人。）的焦点，且椭圆c的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上 （1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点E （-2, 0）的直线m交椭圆C于点M、N ,满足3（