D函数展开成幂级数学习教案

1、会计学1D函数展开成幂级数函数展开成幂级数第一页，编辑于星期六：七点 分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题1.如果函数能展成幂级数，系数是什么？以及展开式是否唯一？2.在什么条件下才能展开成幂级数？由上一节的学习，我们知道幂级数有非常好的性质，所以我们想把函数写成一个幂级数，即第1页/共28页第二页，编辑于星期六：七点 分。证明证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页第三页，编辑于星期六：七点 分。因为泰勒系数是唯一的因为泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页第四页，编辑于星期六：七点

2、 分。为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它是否收敛 ？若函数的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 待解决的问题：2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?第4页/共28页第五页，编辑于星期六：七点 分。可见在x=0点任意可导, ,泰勒级数是否收敛于 f (x) ?不一定。机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于f (x)的泰勒级数收敛于 f (x) 的条件，我们有定理：第5页/共28页第六页，编辑于星期六：七点 分。各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的

3、充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明证明（必要性）（必要性）令)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页第七页，编辑于星期六：七点 分。各阶导数, )(0 x则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明证明:（充分性）（充分性）令)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1定理 2 ：设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束 f (x) 的泰勒公式:即f (x)的泰

4、勒级数收敛于 f (x) 。第7页/共28页第八页，编辑于星期六：七点 分。1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共28页第九页，编辑于星期六：七点 分。展开成 x 的幂级数. 解解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结

5、束 第9页/共28页第十页，编辑于星期六：七点 分。展开成 x 的幂级数.解解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足! ) 1( nn0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共28页第十一页，编辑于星期六：七点 分。类似可推出:),(x),(x(P205 例4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共28页第十二页，编辑于星期六：七点 分。展开成 x 的幂级数, 其中a为任意常数 . 解解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 a, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共28页第十三页，编辑于星期六：七点

6、 分。2(1)2!a ax(1)(1)!na aanxn推导推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为第13页/共28页第十四页，编辑于星期六：七点 分。2(1)2!a ax(1)(1)!na aanxn称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 a 有关 .(2) 当 a 为正整数时, 级数为 x 的 a 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 第14页/共28页第十五页，编辑于星期六：七点 分。对应的二项展开式分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共28

7、页第十六页，编辑于星期六：七点 分。利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为把 x 换成)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页第十七页，编辑于星期六：七点 分。展开成 x 的幂级数.解解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页第十八页，编辑于星期六：七点 分。展成解解: 的幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/

8、共28页第十九页，编辑于星期六：七点 分。展成 x1 的幂级数. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页第二十页，编辑于星期六：七点 分。在 x=1 处展开成幂级数. 解解: 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页第二十一页，编辑于星期六：七点 分。1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式1x2!21x式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页第二十二页，编辑于星期六：七点 分。x11当 m = 1 时),(x),(x) 1, 1(x机

9、动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页第二十三页，编辑于星期六：七点 分。1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的幂级数 ?提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页第二十四页，编辑于星期六：七点 分。)()1 (xFx第24页/共28页第二十五页，编辑于星期六：七点 分。将下列函数展开成 x 的幂级数解解:211xx1 时, 此级数条件收敛,因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页第二十六页，编辑于星期六：七点 分。)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn在x = 0处展为幂级数.解解:)(3232x因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共28页第二十七页，编辑于星期六：七点 分。)(00 xxxf200)(!2)(