D多元函数微分学学习教案

1、会计学1D多元函数微分学多元函数微分学第一页，编辑于星期六：七点 三十二分。 第九章 多元函数微分学 (31)一、知识点与考点精讲一、知识点与考点精讲二、典型例题分析与解答二、典型例题分析与解答 第1页/共32页第二页，编辑于星期六：七点 三十二分。1.多元函数的概念不存在.( 为空间区域).则可断定不相等,(D为平面区域),2.二元函数极限与连续性的概念要求动点(x , y) 沿任何方向任何路径趋于定点时均有f (x , y ) a .若沿两条不同路径00()(,)lim( , )x,yxyf x y它表示一曲面,且在xoy坐标面的投影区域为D.第2页/共32页第三页，编辑于星期六：七点 三

2、十二分。4.偏导数的概念与计算法3.有界闭区域上二元连续函数的性质处连续.最值定理、有界性定理、介值定理或则称 z = f (x ,y) 在点其中若00(,)xy(1) 概念:第3页/共32页第四页，编辑于星期六：七点 三十二分。计算偏导函数计算偏导函数时把 y 当作常数,5.全微分(1)二元函数z = f (x, y) 在点在点必要条件:(2) 计算法:存在;时把 x 当作常数.充分条件:在点,zzxy连续.处可微(全微分存在)处处00(,)xy00(,)xy00(,)xy(必要但不充分)(充分但不必要)第4页/共32页第五页，编辑于星期六：七点 三十二分。设自变量还是中间变量都有(3)可导

3、函数z = f (x ,y) 在点只需验证:若等于零,? ?00(,)xy处的可微性的验证:则z = f (x , y) 在点00(,)xy处可微;若不等于零,则z = f (x , y) 在点00(,)xy处不可微.6.二元函数连续、可导、可微之间的关系函数连续可导可微偏导连续则不论u与v是第5页/共32页第六页，编辑于星期六：七点 三十二分。设均为可导函数,则复合函数且其偏导数为:8.隐函数存在定理及隐函数的偏导数隐函数存在定理 1:可导,xy设函数 F (x ,y )在点域内具有连续的偏导数,且则方程F (x ,y) = 0在点的某邻域内的某邻个单值连续00(,)p xy它满足且唯一确定

4、一且具有连续导数的隐函数y = f (x),第6页/共32页第七页，编辑于星期六：七点 三十二分。9. 空间曲线的切线方程与法平面方程设空间曲线 的参数方程为:则 处的对应的曲线上的点隐函数存在定理 2:设函数 F (x ,y, z )在点且的某邻域内具有连续的偏导数,则方程F (x , y , z) = 0在点的某邻域内数的二元隐函数 z = f (x, y),000(,)p xyz它满足条件且唯一确定一个单值连续000(,)p xyz切线方程为:且具有连续偏导第7页/共32页第八页，编辑于星期六：七点 三十二分。此时曲线方程可视为若空间曲线 的方程为切线方程为:法平面方程为:则 处的对应的

5、曲线上的点000(,)p xyz以x为参数的参数方程第8页/共32页第九页，编辑于星期六：七点 三十二分。曲面: F (x , y , z) = 0 上点法线方程为:处切平面方程为:曲面: z = z (x , y)上点000(,)M xyz处切平面方程为:法线方程为:第9页/共32页第十页，编辑于星期六：七点 三十二分。对于二元函数 z = f (x , y),11. 二元函数z = f (x , y)极值的概念及求法则称若在00(,)xy某邻域内一切异于的点(x , y) 恒有00(,)xy为 f (x , y) 在该邻域的一个极大(小)值.00(,)xy函数的极大值与极小值通称函数的极值

6、.函数取得极值的点称为函数的极值点.(1) 二元函数取得极值的必要条件:可导函数的极值点必为函数的驻点.驻点即方程组的实根.第10页/共32页第十一页，编辑于星期六：七点 三十二分。但驻点未必是函数的极值点.此外不存在的点也可能成为函数的极值点.(2) 二元函数取得极值的充分条件:设函数 z = f (x , y)在点的某邻域内有连续的且令则当时,00(,)xy是 f (x , y)的极值点.二阶偏导数,00(,)xy00(,)f xy且当A 0 时是极小值.当A 0 ,解得:故所给二元函数有极小值注释注释:本题考查二元函数的无条件极值.第24页/共32页第二十五页，编辑于星期六：七点 三十二

7、分。在区域上的最大值和最小值.求函数先求 f (x , y)在D内的驻点.由驻点处的函数值为 解解:得 f (x , y) 在D内的驻点为考察边界y = 0 (2 x 2) 上函数的最值.此时函数为:最小值为 f (0 ,0) = 0.最大值为 f (2 ,0) = 4,第25页/共32页第二十六页，编辑于星期六：七点 三十二分。上函数的最值.由知则有令由解得经计算比较知:f (x ,y ) 在D上的最大值为最小值为 注释注释: 本题考查二元函数的最值.第26页/共32页第二十七页，编辑于星期六：七点 三十二分。设 z = z (x , y ) 是由方程确定的函数,求z = z (x , y

8、) 的极值点和极值.解解:方程两边对x求导数得:令得方程两边对y求导数得:将x =3y , z = y代入原方程得:或从而函数z = z (x , y)驻点为(9,3)及(9,3).第27页/共32页第二十八页，编辑于星期六：七点 三十二分。由于 所以 从而点(9,3)是 z = z (x , y)式两边对y求导数得:式两边对y求导数得:极小值为z (9,3) = 3.的极小值点,第28页/共32页第二十九页，编辑于星期六：七点 三十二分。由于所以注释注释:本题考查方程决定的二元隐函数的极值点与210,36ACB从而点(9,3)是 z = z (x , y)的极大值点,极大值为z (9,3) = 3.极值.解题的关键是求方程确定的隐函数的一阶与二阶偏导数.第29页/共32页第三十页，编辑于星期六：七点 三十二分。已知曲线 C :求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点.分析分析:点(x , y , z) 到xoy 面的距离为|z|.故求曲线 C 上距离xoy面最远点和最近点的坐标,等价于求函数在条件22220 xyz35x+ y+ z=与的约解解:令(目标函数)束下的最大值点和最小值点.第30页/共32页第三十一页，编辑于星期六：七点 三