D5-2向量的数量积与向量积

1、第二节一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积 向量的数量积与向量积 第五五章 1M一、向量的数量积一、向量的数量积W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .F的直线移动,沿与力夹角为引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s2. 性质性质为两个非零向量, 则有aa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0babacosba3. 运算规律运算规律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)

2、(ba(3) 分配律cbcacba例例1 证明余弦定理cos2222abbac证证 如图 . 则cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,设4. 数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式设则, 10当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjikzzyyxxbababababa baba,两向量的夹角公式: , 得)(MB, )(MA

3、BM例例2 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解 , 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故,1,1, ,2,3,.2 a baba ba bAab BabA B 已已知知向向量量满满足足条条件件并并且且向向量量满满足足条条件件 求求 练练习习: :1. 定义定义定义向量方向 :且符合右手规则模 :，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac记作(叉积)向量积 ,称c的与为向量babacba思考思考: 右图三角形面积abba21S二、向量的向量积二、向量的向量积2. 性质性质为非零向

4、量, 则，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算规律运算规律(2) 分配律(3) 结合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明sinabba（反交换律)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzij

5、k向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c0|ccc .5152 kj(1,2,3)( 1,1, 2).3ab 和和例例计计算算的的向向量量积积例例5 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 . 解解 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,

6、4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示式混合积的坐标表示式设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxb

7、baayxyxbbaaxcyczc3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用行列式的性质推出)cbacba,ab cab cabcabc思考：思考：( ,)(1,2,3,4)iiiix y zi 空间四点M共面的充要条件是121314()0.M MM MM M 例例6 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA(1,2,3,4)k 求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA

8、413121AAAAAA例例7 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、),(zyxM四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解解: A、B、 C、M 四点共面0ABCM1x2y0z111302展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2. 向量关系:x

9、xabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC22343cos322)2(171. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba22200)2(211ABCD