天津大学机械振动振动系统的运动微分方程PPT教案

1、天津大学机械振动振动系统的运动微分天津大学机械振动振动系统的运动微分方程方程 Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程第1页/共23页 m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xk xkxm xm xm xk xkxk xnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000TnTnxxxxxx 2121xx，一般情况下，一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形

2、式程具有以下形式若用矩阵表示，则可写成若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的式中分别是系统的坐标矢量坐标矢量和和加速度矢量加速度矢量 KxxM 0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。Mechanical and Structural Vibration第2页/共23页 M mmmmmmmmmnnnnn n111212122212K kkkkkkkkknnnnn n111212122212质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration第3页/共23页 刚度矩阵中的元素称刚度影响系数

3、刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简在单自由度系统中，简称称弹性常数弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，具体地说，如果使第如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐个质量坐标标方向施加的力，定义为方向施加的力，定义为刚度影响系数刚度影响系数kij；在第；在第j个质量坐标方个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数向上施加的力称刚度影响系数kjj 。由刚度影响系数的物理意。由刚度影响系数

4、的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为称为影响系数法影响系数法。K kkkkkkkkknnnnn n111212122212刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration第4页/共23页 现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，画出各物块的受力图根据平衡条件，有画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力在此条件下系统保持平

5、衡，按定义需加于三物块的力Mechanical and Structural Vibration第5页/共23页 画出受力图，则有画出受力图，则有xxx123010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令同理，令画出受力图，有画出受力图，有xxx12301，kkkkk132333330 ，最后令最后令Mechanical and Structural Vibration第6页/共23页 因此刚度矩阵为因此刚度矩阵为K kkkkkkkkk12221333300刚度矩阵一般是对称的。刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。

6、即kkijjiKKTMechanical and Structural Vibration第7页/共23页 Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程第8页/共23页 在单自由度的弹簧在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是质量系统中，若弹簧常数是k，则，则 就是就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数柔度影响系数，用，用 表示。表示。1k具体地说，仅在第具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第应于在第i个质

7、量的坐标方向上产生的位移，即定义为个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。 ijn自由度系统的柔度矩阵自由度系统的柔度矩阵 为为n阶方阵，其元素阶方阵，其元素 称为柔度影称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。响系数，表示单位力产生的位移。ijMechanical and Structural Vibration第9页/共23页 现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。 当受到当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个，第二和第三个弹簧的变形为零。弹簧的变形为零。11k111211311111kkk,01

8、321FFF，首先施加单位力首先施加单位力112131、这时三物块所产生的静位移分别是这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是所以三物块的位移都是F1Mechanical and Structural Vibration第10页/共23页 第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有1112kk,1212212321211111kkkkk,01312FFF，令令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为Mechanical and Structural Vibration第11页/共23页 F3再令再令1, 0

9、321FFF131231233123111111kkkkkk,可得到可得到 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkk系统的柔度矩阵为系统的柔度矩阵为Mechanical and Structural Vibration第12页/共23页 柔度矩阵一般也是对称的。柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkkijji T系统的柔度矩

10、阵为系统的柔度矩阵为Mechanical and Structural Vibration第13页/共23页 用柔度影响系数来建立其运动微分方程用柔度影响系数来建立其运动微分方程系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )333322311323322221121331221111)()()()()()()()()(FFFxFFFxFFFx应用叠加原理可得到应用叠加原理可

11、得到Mechanical and Structural Vibration第14页/共23页 写成矩阵形式写成矩阵形式xxxmmmxxx123111213212223313233123123000000 xMx Mxx0位移方程位移方程KxMx xKMx1()是非奇异的，即 的逆矩阵存在K1K与作用力方程比较与作用力方程比较 K1Mechanical and Structural Vibration第15页/共23页即当刚度矩阵即当刚度矩阵是非奇异时是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。当刚度矩阵是奇异时，不存在

12、逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。 K1柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系Mechanical and Structural Vibration第16页/共23页 例例 试写出图所示刚体试写出图所示刚体AB的的刚度矩阵并建立系统的运刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。动微分方程。解：刚体解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心在图面内的位置可以由其质心C的坐标的坐标yC(以水以水平位置平位置O为坐标原点，且水平运动不计为

13、坐标原点，且水平运动不计)和绕和绕C转角转角 确定。确定。Mechanical and Structural Vibration第17页/共23页 图为图为 时的受力图，时的受力图， 分别表示保持系统在分别表示保持系统在该位置平衡，应加在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩点的力和力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l1112211 12 2,由刚体由刚体AB的平衡条件得到的平衡条件得到Mechanical and Structural Vibration第18页/共23页 图为图为 时的受力图，时的受力图， 分别表示保持系统在该分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩

14、和加在位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。点的力。yC01,kk2212,kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,由平衡条件得由平衡条件得K kkk lk lk lk lk lk l122 21 12 21 11 122 22()()刚度矩阵刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration第19页/共23页 例例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI，其质量不计，其质量不计)解：取y1 、 y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， 表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。1111332324( )lEIlEI 表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有222233lEI按材料力学的挠度公式，则有按材料力学的挠度公式，则有Mechanical and Structural Vibration第20页/共23页 表示在表示在m2处施加单位力在处施加单位力在m1处产