结构力学-第四章-结构位移计算-3

1、3 1结构力学结构力学周周 强强 土木工程学院风工程试验研究中心土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：第4章 静定结构的位移计算 概论概论 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法图乘法 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理4-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算一、概述一、概述ABK1t2tds图示简支梁上、下边缘温度

2、分别升高t1和t2，求任一截面K 任意方向的位移。静定结构在温度变化、杆件制造误差情况下不产生内力，但材料热胀冷缩及制造误差引起的变形，可使结构产生符合约束条件的自由位移，这类位移仍可采用变形体系的虚功原理。二、计算公式二、计算公式1KtNttF duMd虚拟状态的外力和内力虚拟状态的外力和内力实际状态的位移和变形实际状态的位移和变形设温度沿杆件截面高度线性分布，即在发生温度变形后，截面仍保持为平面，剪切变形 。建立虚拟状态，由变形体虚功原理：04-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算实际状态微段上的变形 和 ：杆轴处的温度：hhthtt12210微段ds轴向变形、两端

3、面转角dstdut021ttt dstdsdhh001KtNNttFt dsMdstF dsMdshhtdutd4-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算MdM sA单位力弯矩图中该杆弯矩图的面积。 NNdFsA单位力轴力图中该杆轴力图的面积。 0MNKttAt Ah 正负符号取决于正负符号取决于虚功是正功还是负功虚功是正功还是负功。 若杆的轴心处的温度若杆的轴心处的温度t0 是升高，而单位力轴力图中是升高，而单位力轴力图中该杆受拉力，则此杆的内力虚功为正功，此项取正该杆受拉力，则此杆的内力虚功为正功，此项取正号，反之取负号。号，反之取负号。 若温度变化若温度变化t使杆弯

4、曲而某侧受拉，而单位力弯矩使杆弯曲而某侧受拉，而单位力弯矩图中该杆的弯矩也使该侧受拉，则虚内力做正功取图中该杆的弯矩也使该侧受拉，则虚内力做正功取正号，反之为负号。正号，反之为负号。4-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算 例1: 图示刚架，各杆均为矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2处。l=4m设刚架内部温度上升10外部下降20。线膨胀系数=110-5，试求D点的竖向位移。2m2m2m2mABCD-20 Co 10 Coh 解 (1) 在D点作用一向上的单位力F=1，作弯矩图 和轴力图 MNF14m4mM 图111FN图2214124442144N

5、MAA4-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算(2)计算 D点的竖向位移。C52)C20(C104 . 02 . 0)C20(20C10000000.t两侧的温度差为 CCC30)20(100012ttt2)C5(244 . 0C30C11100005)(m0179. 0101800105N0MUAtAhtD有杆轴线处的温升值为4-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算 例2: 图示桁架，受日照均匀温升30。求C点竖向位移。 A2mCB30 解：在C点作单位力并求出各杆轴力 。 NFA00-1.732-1.7322.02.0CB1己知各杆 t0=

6、30,t = 0故 NCAt0V )(m103866. 0732. 12122)C11(C301040054-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算制造误差引起的位移计算：制造误差引起的位移计算：)(.)(mmA272348118每个上弦杆加长每个上弦杆加长8mm,8mm,求由此引起的求由此引起的A A点竖点竖向位移。向位移。118/mm4886m11A1118/118/118/4-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算一、计算公式一、计算公式静定结构仅考虑支座移动时不产生内力和变形，属刚体系位移计算问题，可沿待求位移位移方向虚拟广义单位力建立虚拟状

7、态，采用刚体虚功原理。ADBCBC实际状态实际状态4-7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算0KmKPT设力状态中支座反力为 ，支座实际位移为 ，由刚体系虚功方程：ADBC虚拟状态1P)(45)45(1cccRiicyiRic01iiKccRTiiKccR 1符号规定： 、 方向一致，乘积为正，反之为负。iRic如 支座向下移动 ，欲求C点竖向位移，建立图示虚拟状态。Ba4-7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 例3: 三铰刚架如图所示，若支座A下沉C，求BD柱的转角。 BCDaAcaaBD解：(1) 在BD柱上作用单位力矩M =1，求支座反力。

8、ADEBM=1a1a1a1a1(2) 代入公式计算得： acaccRBD)1( 结果得正值表示柱的转角方向与所假定的单位力矩的方向相同。 4-7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 例4: 图示刚架右边支座的竖向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角A11()2ARyxF cBBlh 0.060.040.00752122 8yxBBradlh（顺时针方向）Bx=4cm4-7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 1. 功的互等定理功的互等定理 F1作用下产生的内力和变形称为第一状

9、态，作用下产生的内力和变形称为第一状态，F2作用作用下产生的内力和变形称为第二状态。下产生的内力和变形称为第二状态。 先加先加F1然后加然后加F2的情况，整个加载过中系统做的的情况，整个加载过中系统做的总功为总功为 121211112221121122WF F F 表示由编号为表示由编号为j 的力引起的力引起i点的位移。点的位移。 ij先加先加F2后加后加F1，整个过程中系统做的总功为，整个过程中系统做的总功为 21112222211122WF F F 4-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 1212221112121222111121212121FFFWFFFW因为因为线弹性体系线

10、弹性体系做功与加荷的次序无关，有做功与加荷的次序无关，有 故得故得 212121FF 虚功互等定理：虚功互等定理：状态状态的力在状态的力在状态的位移的位移上做功等于状态上做功等于状态的力在状态的力在状态的位移上做功。的位移上做功。2112WW4-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 由功的互等定理由功的互等定理 可推出位移互等定理可推出位移互等定理2. 位移互等定理位移互等定理 令功的互等定理中的力令功的互等定理中的力F1=F2=1 , ,则则有有 2112112112 位移互等定理：位移互等定理：由单位荷载由单位荷载F1 引起的与荷载引起的与荷载F2相相应的位移应的位移21，在数值上

11、等于由单位荷载，在数值上等于由单位荷载F F2 2引起的与荷引起的与荷载载F F1 1相应的位移相应的位移1212。这里用小写的字母。这里用小写的字母表示单位力表示单位力引起的位移。引起的位移。 在一般情况下位移互等定理可写成：在一般情况下位移互等定理可写成： jiij 212121FF4-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 注意：注意：位移互等定理适用于广义力及其对应的广义位移。位移互等定理适用于广义力及其对应的广义位移。 上图表示了两个状态的线位移上图表示了两个状态的线位移12 与与21互等。互等。 上图表示了线位移上图表示了线位移12数值上等于角位移数值上等于角位移21。F =

12、212状态 121F =1121121状态1 22F=1221=21状态 11112 12状态 22= M=2214-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 3. 反力互等定理反力互等定理 第第状态，支座状态，支座1产生单位位移产生单位位移 1V=1而引起支座而引起支座反力反力k11 和和 k21 。 第第状态，支座状态，支座2产生单位位移产生单位位移2V=1而引起支而引起支座反力座反力k12 和和 k22 k12n1k2221k111n1k2124-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 由功的互等定理，第由功的互等定理，第状态的力在第状态的力在第状态的位移上状态的位移上做虚功做

13、虚功 ，等于第，等于第状态的力在状态的力在第第状态的位移上做虚状态的位移上做虚功功 。故有。故有21W12W011022122111kkkk即即 1221kk一般情况下可写成一般情况下可写成 jiijkkk111n1k212k1212n1k224-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 支座支座i由于支座由于支座j发生单位位移所引起的支座反力发生单位位移所引起的支座反力kij，等于支座等于支座j由于支座由于支座i发生单位位移而引起的支座反力发生单位位移而引起的支座反力kji。注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。 例：例： k12 是反力

14、矩，是反力矩， k21是反力，两者互等只是数值上互等。是反力，两者互等只是数值上互等。 121k1221k11 k214-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 4. 反力反力位移互等定理位移互等定理 2112 r4-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 小小 结结 本章讨论了虚功原理以及应用虚功原理来求解结构的位本章讨论了虚功原理以及应用虚功原理来求解结构的位移。虚功原理又分为虚位移原理和虚力原理，它们都是虚功移。虚功原理又分为虚位移原理和虚力原理，它们都是虚功原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移。在应用虚功原

15、理时要涉及两个量：。在应用虚功原理时要涉及两个量：力系和位移力系和位移。这两者是。这两者是彼此无关的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；彼此无关的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位移两者彼此无关位移两者彼此无关，因此可以虚设一组力系因此可以虚设一组力系( (虚力原理虚力原理) )，让让它在实际的结构位移上做功它在实际的结构位移上做功, , 列出虚功方程列出虚功方程，从中求出未知从中求出未知位移位移。 cRsMFFd)(SN 这就是虚力原理表达的虚功方程。也就是位移计算这就是虚

16、力原理表达的虚功方程。也就是位移计算的一般公式最基本的形式。的一般公式最基本的形式。小结小结 位移和变形位移和变形( )( )是结构在给定条件下所具是结构在给定条件下所具有的有的. . 是实际的位移状态。力系是实际的位移状态。力系( )( )则则是虚设的。是虚设的。 虚拟力系的设置应当根据所求位移来相应的虚拟力系的设置应当根据所求位移来相应的设置，并根据需要求出其相应的反力和内力。设置，并根据需要求出其相应的反力和内力。 c;,;RMFFF;,;1SN 变形变形( (, ) )是泛指的，若是荷载引起的则代入公式是泛指的，若是荷载引起的则代入公式(6.3.3) 即导出公式即导出公式(6.5.2）

17、。若是温度引起的，则代入公。若是温度引起的，则代入公式式(6.3.1a) 、(6.7.1a) 和和(6.7.2b)即导出温度变化引起的位移即导出温度变化引起的位移计算公式计算公式(6.7.3a)。 若计算支座移动引起的位移，则因静若计算支座移动引起的位移，则因静定结构因支座位移不会引起结构变形，只会引起结构的刚定结构因支座位移不会引起结构变形，只会引起结构的刚体位移体位移, , 这时这时=0 。公式等号右边前一项为零，。公式等号右边前一项为零，只剩后一项只剩后一项. . 这就是公式这就是公式(4.7.4)。小结小结 虚功原理本身适用于任何变形体，但在本章推虚功原理本身适用于任何变形体，但在本章推导位移计算公式时引