解析函数与调和函数PPT学习教案

1、会计学1解析函数与调和函数解析函数与调和函数2 第四节第四节 解析函数与调和函数解析函数与调和函数第1页/共23页3 ( ), wf zuivD设在区域内解析. , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 从而从而根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, , uv与具有任意阶的连续偏导数 从而, 22yxvxyv 2222 0,uuxy故, 0 2222 yvxv同理同理第2页/共23页41.Laplace算子算子 偏微分方程偏微分方程 22220HHHxy称为称为Laplace方方程程其中其中2222xy 称为称为Laplace算算子子从以上分析知从以上

2、分析知:( ), f zuivD若在区域内解析. uvDLaplace则 与 在 内满足方程第3页/共23页52 调和函数调和函数定义定义3.5( , ) , 0,( , ).H x yDHH x yD如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数 且满足拉普拉斯方程则称为区域 内的调和函数( ),f zuivDuvD若在区域内解析 则 与 为内的调和函数注注第4页/共23页6- DC R在区域 内满足方程3. 共轭调和函数共轭调和函数注注(1)定义定义3.6 , uvuvxyyx ,.u vvuD的两个调和函数中 称为 在区域 内的共轭调和函数,.vuu v称为 的共轭调和函数中的不能交换(2)

3、定理定理3.18( )( , )( , ),( , )( , ).f zu x yiv x yDDv x yu x y若在区域内解析 则在 内必为的共轭调和函数注注, u vDuivD虽然为 内的调和函数,但在区域内不一定解析第5页/共23页74. 解析函数的构造解析函数的构造D假设 是单连通区域(1)( , ),( , ),.u x yDv x yuivD已知是 内的调和函数 找使在 内解析2222 0,uuxy由于,uuDyx即-与在 内具有连续的一阶偏导数()uuxyyx 且由数学分析的定理知由数学分析的定理知,方法一方法一:应用曲线积分应用曲线积分第6页/共23页8uudxdyyx是全

4、微分,令令( , ),(3.21)uudxdydv x yyx则则00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx注注:(3.22),x y对分别对求偏导数 得 , uvuvxyyx 3.15,.uivD由定理知在 内解析第7页/共23页9注注1: (3.21)可由可由( , )vvdv x ydxdyxyC R方程uudxdyyx去记.方法二方法二:应用不定积分应用不定积分-,vuCRyx由方程有( , )( ),uv x ydyxx-vuCRxy再由方程另一条件有( , )( )xv x yudyxxx,uy ( ).x找第8页/共23页10(2)( ,

5、),( , ),.v x yDu x yuivD已知是 内的调和函数 找使在 内解析( , )uudu x ydxdyxy类似有类似有C R方程vvdxdyyx故故00( , )(,)( , )x yxyvvu x ydxdycyx注注:00(0,0),(,)(0,0),Dxy若则定点可取,(3.22).D若 非单连通 则积分可能为多值函数第9页/共23页115. 解析函数的等价刻划解析函数的等价刻划(1)定理定理3.19( , ),(3.22)u x yD设是在单连通区域 内的调和函数 则存在由式( , ),( ).v x yf zuivD所确定的函数使是 内的解析函数00( , )(,)(

6、 , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx(2)刻划解析函数又一等价条件刻划解析函数又一等价条件( )f zuivD在区域 内解析3.18 定理.Dvu在区域 内, 是 的共轭调和函数3.19 定理第10页/共23页12注注: 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.例例1 2 .xy证明不能作为解析函数的实部证明证明2( , ),u x yxy设由于由于2,uyx220,ux2,uxyy222 ,uxy0,x 故当( , )u x y 不是调和函数,0,xLaplace虽然在直线上满足方

7、程但直线不是区域,2,.zxy即在 平面的任一区域不能作为解析函数的实部第11页/共23页13例例2 2222 : ( , ), ( , ),( )( , )( , ).yu x yxyv x yxyf zu x yiv x y证明都是调和函数 但不是解析函数证证明明2 ,uxx222,ux2 ,uyy 222,uy 2222,()vxyxxy22222,()vxyyxy223222 362,()vx yyxxy223222 362,()vx yyyxy22220,uuxy22220;vvxy第12页/共23页14( , ),u x yz即是 平面上的调和函数( , )0,v x yC 是上的

8、调和函数 , uvxy但0-,CuvCR从而在上 与 不满足方程.vu故 不是 的共轭调和函数( )( , )( , ).f zu x yv x y即不是解析函数第13页/共23页15例例3 32( , )3, ( , )( ),(0).u x yxxyzu x yf zfi验证是 平面上的调和函数并求以为实部的解析函数使2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解解,z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故为z平面上的调和函数( , )vvdv x ydxdyxy由有有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx,

9、c22(33)xydy( , )v x y第14页/共23页16( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故第15页/共23页172233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解解(法二法二),z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故为z平面上的调和函数yxCRvu由方程中一个得( , )v x y( )xu

10、 dyx22(33)( )xydyx233( )x yyx第16页/共23页18xyCRvu 再由方程中另一个得23( , )3( )v x yx yyx6( )xyx6,xy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故第17页/共23页19例例4 ( , )arctan(0),( ).yv x yxxf zuiv已知求右半平面的解析函数解解22,yxy 2211vxyyx2221yvxyxx22,xxy222222 ,()vxyxxy222222 ,()vxyyxy2222 0,vvxy于是( , ) v x y 为调和函数.第18页/共23页20-CR由方程中的一个uvxy得22,uvxxyxy( , )( )uu x ydxyx( )vdxyy22( )xdxyxy221ln()( )2xyy-CR再由方程中的另一个uvyx 得第19页/共23页212212( )2yyxy( )0,y从而 ( ),yc故221 ln(),2uxyc于是22yxyuvyx 故