函数的连续与间断

1、第九节第九节 函数的连续与间断函数的连续与间断一、一、 函数的连续性函数的连续性二、二、 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类三、三、 连续函数的运算连续函数的运算四、四、 初等函数的连续性初等函数的连续性五、五、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质Continuous and Discontinuous of Functions 一、函数的连续性一、函数的连续性1. 函数在一点处的增量函数在一点处的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为

2、函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 1sin)1sin(1sin xx的增量为在如函数0 xxx)()(0 xfxfy1sinsinx或者xxx0)()(00 xfxxfy定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .注意：此处是邻域，注意：此处是邻域，而非空心

3、邻域而非空心邻域2.连续的定义连续的定义,0 xxx因为),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是)()(lim0lim000 xfxfyxxx从而注意：此处是邻域，注意：此处是邻域，而非空心邻域而非空心邻域例例1 11sin,0,( )01,0,.xxf xxxx试证函数在处不连续证证, 01sinlim)(lim00 xxxfxx, 1)0(f但由定义知由定义知.0)(处不连续在函数xxf),0()(lim0fxfx所以3.单侧连续单侧连续;)(),()(,()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理定理.)()(0

4、0处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()(,),)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连

5、续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的多项式函数在区间二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()2(0处有定

6、义在点xxf;)(lim) 1 (0存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx .)(,)(,00的间断点为并称点处间断在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf.)(0存在即xf1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),()(,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)0(f, 1)0(f),0()0( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)(,)(),()(lim,)(00000的可去间

7、断点为函数则称点义处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfxfxxfxx解解)(lim1xfx2)(lim1 xfx),1(f .1为函数的可去间断点x.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf2)1 (lim1xx)(lim1xfx22lim1xx跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少

8、有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)(lim0 xfx)(lim0 xfx.0为函数的第二类间断点x0lim0 xxxx1lim0 xx1sinlim. 10则为第二类间断点；如有一类不存在，左右极限是否存在，若判断间断点分类：xxxsinlim. 30如；定义，则为可去间断点值，或者函数在这点无，但不等于这点函数左右极限都存在且相等xxsgnlim. 20如等，为跳跃间断点；左右极限都存在但不相例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当

9、xxxaxxxfa解解)(lim0 xfx, 1 )(lim0 xfx,a ,)0(af ),0()0()0(fff要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 axxcoslim0)(lim0 xax三、连续函数的运算三、连续函数的运算定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx定理定理2 2 严格单调的

10、连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.),(cot,arctan上单调且连续在xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点外函数极限存在，即若内函数这一点极限存在即可！点连续。只要在在即不要求更广泛

11、，注：此定理比书上定理0)(4.9.1xx意义意义极限符号可以放到函数中去极限符号可以放到函数中去;例例9 9.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解来做。书上定理按点并不连续，所以不能在注：4 . 9 . 10)1 (1xx极限存在在内函数连续，在外函数0)1 (ln1xxeu例例1111.sin2lim0 xxx求. 112sinlim2sin2lim00 xxxxxx解解12, 1sinlim0uuxxx在及外函数由于连续，所以例例.sin2limxxx求. 202sinlim2sin2limxxxxxx解解

12、02, 0sinlimuuxxx在及函数由于连续，所以幂指函数的极限幂指函数的极限0)(:,)()(xuxDxuyxv幂指函数即可）。来求极限（定理求极限，一般是转化为幂指函数3)()(ln)()(xuxvxveyxuy!)01 (来求直接用第二个重要极限型，则可以若幂指函数为例例xxxx202tanlim求解解xxxx202tanlim由于xxxxe2tanln)2(0limxxxxe2tanln)2(lim0. 422ln2ln2eexxxxxe2tanlnlim)2(lim00 xxxe2tanlimln20例例xxxsin321lim0求解解1.lim)21 (lim21lim6lim

13、20200sin60sin3sin321sin3eeexxxxxxxxxxxxxx解解2.lim21lim6lim3lim3)21ln(0020sin)21ln(0sin3sin3eeeexxxxxxxxxxxx四、基本初等函数及初等函数的四、基本初等函数及初等函数的连续性连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内

14、是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连初等函数仅在其定义区间内连续续, 在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;例如例如,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的去心邻域内没有定义点的去心邻域内没有定义.), 1 上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意

15、2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例1111. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例1212.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000连续点xxfxfxx310cos11sinlimexxxx忽滥用等价无穷小忽滥用等价无穷小五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一

16、如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 1maxy; 1min y,sin xy ,2 , 0上上在在 ; 1miny, 1max y1.1.最值定理最值定理定理定理7(7(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)

17、(xfy 211xyo2 )(xfy 推论推论( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .定理定理9 若函数若函数y=f(x)Ca,b，且且f(a)f(b)0,则至少则至少存在一点存在一点x0(a,b),使使f(x0)=0.定理定理1的几何意义的几何意义: 若函数若函数y=f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,且且f(a)与与f(b)不不同号，则函数同号，则函数y=f(x)对应的对应的曲线至少穿过曲线至少穿过x轴一次轴一次.2.根的存在定理(零点定理)定理定理 1010( (介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(x

18、f在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，对于那末，对于 A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . . 3.介值定理介值定理即可！一般转化为CxfxF)()(几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使

19、),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 例例1313.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使),1 , 0(, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx例例1414.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上

20、连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即六、小结六、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振

21、荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理

22、先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)

23、(2xf在在0 x都连续都连续.但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf思考题思考题下述命

24、题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断

25、点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练练 习习 题题三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续 . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四、四、 讨论函数讨论函数 nnnxxxf2211lim)( 的连续性，若有间断的连续性，若有间断点，判断其类型点，判断其类型 . .五、试确定五、试确定ba,的值的值, ,使使)